高斯和艾森斯坦把問題弄大了
德國數學王子高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777-1855) |
德國數學家艾森斯坦 (Gotthold Eisenstein 1823-1852) |
不屬整數的素數
素數，我們可以理解為整數中不可再分解的東西。我們可以以同樣的方法在不同域 (Domain) 中定義素數，這便是本章所介紹的「高斯素數 」(Gaussian Prime) 和 「艾森斯坦素數」 (Eisenstein Prime)。
在整數中， 1 不是素數 ，我們稱其為單位 (Unit)，任何數和單位的乘積不影響其素性 (Primality) 。但在別的域中，單位可不只一個，如在有理數域中，單位便是 +1 和 -1。由此 7 和 -7 在有理數域中也是素數，這 -7 稱作 7 的相伴元 (Associate)。
高斯素數
若我們把定義擴展至複數域中：高斯整數 (Gaussian Integer) 為形如 a+bi 的複數，其中 a、b 均為整數 及 i2 = -1 。這高斯整數和普通整數相像，也是惟一分解的 (Unique Factorization) (除去因子的次序、單位 + 1、 - 1 、 + i 、 - i 及相伴元以外的分解是惟一的) 。在高斯整數的世界中，形如 4k-1 的素數 (如 3、7、11、19、23、......) 仍為素數，但其他的則可進一步分解成其他高斯素數：
2 = (1+i) (1-i) |
5 = (2+i) (2-i) |
13 = (2+3i) (2-3i) |
17 = (4+i) (4-i) |
29 = (5+2i) (5-2i) |
37 = (6+i) (6-i) |
若我們把高斯素數的位置記下，便有下圖：
艾森斯坦素數
若我們又把定義擴展至另一數域中：艾森斯坦整數 (Eisenstein Integer) 為形如 a + bw ，其中 a、b 均為整數 及 w 為一複的三次單位根，滿足 w2 + w + 1 = 0 ) 這裡也是惟一分解的 (除去因子的次序、單位 + 1、 - 1 、 + w 、 - w 、 + w2 、 - w2 及相伴元以外的分解是惟一的)。在艾森斯坦整數的世界裡，素數 2 和 形如 6k- 1 的素數 (如 5、 11、 17、 23、 29、 41、 ......) 仍為艾森斯坦素數，但是 3 和那些形如 6k+ 1 的素數 (如 7、 13、 19、 31、 37、 43、 ......) 則可進一步分解成其他艾森斯坦素數。艾森斯坦素數也稱作 艾森斯坦 - 雅可比素數 (Eisenstein-Jacobi Prime)。
3 = (1-w) (1-w2) |
7 = (2-w) (2-w2) |
13 = (3-w) (3-w2) |
19 = (3-2w) (3-2w2) |
31 = (5-w) (5-w2) |
37 = (4-3w) (4-3w2) |
留意 形如 a + bw2 也可是艾森斯坦素數，因 w = - w2 - 1。
到底艾森斯坦素數有什麼特性，數學家歸結出下列數點：
1 - w
素數 2 和 形如 6k-
1 的素數，即所有形如 3k + 2 的素數。
形如 a + bw
或 a + bw2 ，其中 (a + bw)
(a + bw2) = a2 - ab + b2
= p 是一個形如 3k + 1 的素數。
而這樣令 p = u2 + 3v2，我們則有 a = u+v 及 b = 2v 了。
若我們把艾森斯坦素數的位置記下，便有下圖：
唯一分解定理
讀者看到這裡，或許有點惘然，何謂唯一分解？
原來我們熟識的素因子分解在別的代數系統中未必是唯一的，其在正整數中的唯一性是一個很完美的特性。當然我們介定了相伴元以後，使其再複數域等也是唯一分解，從而產生本章內容。
哪裡不是唯一分解？
如在以 根 -5 建立的環 (Ring) 上，即任何以 a + bz 形式存在的數集，式中 z2 = -5。
6 = 2 * 3 = (1 + z) * (1 - z)
是故 6 在該環上不是唯一分解。當然在這樣的地方也無法定義素數了。
參考文獻及網址：
Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994.
Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 85, 1991.
Weisstein, E. W. "Gaussian Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/GaussianPrime.html.
