數數因子有多少

我們會用 d(n) 表示 n 的因子個數 (Number of Divisors)：如 d(3) = 2、 d(4) = 3 等。

若某數 n 的素因子分解式 (Prime Factorization) 為

那麼 d(n) = (a₁ + 1) (a₂ + 1) ...... (a_r + 1)。

原來 d(n) 是一個積性函數 (Multiplicative Function)，即 d(a*b) = d(a) * d(b) 其中 (a,b) = 1。利用上式，證明這一結果可不難，這工作就留級有心的網友吧。

我們亦會用 w(n) 表示 n 的獨特素因子個數 (Number of Distinct Prime Divisors)，即如 12 = 2*2*3 我們只計列 2 和 3 。因而有 w(12) = 2、w(30) = 3 等結果。

同理，若某數 n 的素因子分解式為

則 w(n) = r。

有了新的函數，自然有了新的問題，這是數學界不變的定律。

數學家對 d(n) = d(n+k) 的解有興趣。最先史派利奧 (Claudia Spiro) 證明了 d(n) = d(n+5040) 有無限多個解，接後英國數學家希思布朗 (D. R. Heath-Brown) 證明了 d(n) = d(n+1) 也存在無限多個解，邊納 (C. Pinner) 更把這推擴至 d(n) = d(n+a) 其中 a 為任意給定整數。

我們更見得到有如 d(242) = d(243) = d(244) = d(245) = 6 或 d(40311) = d(40312) = d(40313) = d(40314) = d(40315) = 8 等有相同因子個數的序列，然而這序列可有多長？匈牙利數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 認為對每個 k，都存在長 k 的序列，但他看不出怎樣用 n 來給出 k 的上界。

匈牙利數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 等在 1987年證明了在不多於 x 中能使 d(n) = d(n+1) 成立的整數個數不多於 x/(ln lnx)³。

對此單單一個數數目的工具，我們的問題已見不少，數學正是這樣的生生不息。