找到素數的概率只有零
在上一章《天下素數有多少》，我們已引証了素數 (Prime Number) 的個數是無限，但另一方面，我們發現素數的出現是愈來愈稀疏，看下表：
x |
p(x) |
p(x) / x |
1000 |
168 |
0.1680 |
10000 |
1229 |
0.1229 |
50000 |
5133 |
0.1026 |
100000 |
9592 |
0.0959 |
500000 |
41538 |
0.0830 |
1000000 |
78498 |
0.0785 |
2000000 |
148933 |
0.0745 |
5000000 |
348513 |
0.0697 |
10000000 |
664579 |
0.0665 |
20000000 |
1270607 |
0.0635 |
90000000 |
5216954 |
0.0580 |
100000000 |
5761455 |
0.0576 |
1000000000 |
50847478 |
0.0508 |
上表中 p(x) 為不小於 x 的素數個數，即素數計算函數 (Prime Counting Function) 。我們看見不錯素數是在增多中，但相對於全體自然數的增長卻只是愈來愈稀疏了了。所以我們有「幾乎全部是合數」或「找到素數的概率只有零」的說法。這和「素數個數有無限個」似乎是相比矛盾，事實卻是這樣，奇妙嗎？
參考文獻及網址：
華羅庚 , 數論導引 , 香港 : 商務印書局 , p. 87 , 1967
