哥德巴赫猜想
引子
各位看看下面幾道算式：
| 6 = 3 + 3 | 8 = 3 + 5 | 10 = 5 + 5 | 12 = 5 + 7 |
| 14 = 3 + 11 | 16 = 5 + 11 | 18 = 5 + 13 | 20 = 7 + 13 |
| 22 = 11 + 11 | 24 = 7 + 17 | 26 = 3 + 23 | 28 = 11 + 17 |
| 30 = 13 + 17 | 32 = 3 + 29 | 34 = 11 + 23 | 36 = 17 + 19 |
| 38 = 7 + 31 | 40 = 11 + 29 | 42 = 19 + 23 | ...... |
看罷大家有什麼歸納和結論呢？也許你已和數學家哥德巴赫 (Christian Goldbach 1690-1764) 有相同的體會了。
外交官的奇想
哥德巴赫是十八世紀普魯士 (Prussia) (即現在之德國的一部份) 數學家。但他不是自幼學習數學，他本是法律系畢業的學生。1725年，他來到俄國，出眾的才華使他成為彼得堡科學院院士和兼任秘書，1742 年，他被德國任命為駐莫斯科外交公使。
哥德巴赫閒來喜愛思考數學問題，有一天他對
奇數 = 奇數 + 奇數 + 奇數
這一數學常理感興趣。哥德巴赫討來一些數字來測試，發其中似乎會有一更完美的現像：
奇數 = 奇素數 + 奇素數 + 奇素數
哥德巴赫再以更大的奇數來測試，全是對的。於是他大膽的作了一個奇想：「任何一個不小於 9 的奇數均可寫成三個奇素數之和。」
如：
9 |
=3+3+3 |
|||
11 |
=3+3+5 |
|||
13 |
=3+3+7 |
=3+5+5 |
||
15 |
=3+5+7 |
=5+5+5 |
||
17 |
=3+3+11 |
=3+7+7 |
=5+5+7 |
|
19 |
=3+3+13 |
=3+5+11 |
=5+7+7 |
|
21 |
=3+5+13 |
=3+7+11 |
=5+5+11 |
=7+7+7 |
23 |
=3+3+17 |
=3+7+13 |
=5+5+13 |
=5+7+11 |
... |
... |
... |
... |
... |
哥德巴赫對他這個奇想是否正確這一問題，他本人無法給出証明和解釋。 1742年 6月 7日，當時 52歲的哥德巴赫寫了一封信給身在俄國彼得堡工作的瑞士數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) ，信中告訴歐拉他的發現并希望歐拉可替他作出証明或否定。其實自 1729年 至 1764年，他們二人一直有書信往來，長達 35年的情誼，實難得。
同年 6月 30日，歐拉的回信中說：「任何不小於 9 的奇數都可寫成三奇素數之和，我雖未能給出嚴格証明，但我確無疑地認為這是正確的結論。」另外歐拉亦提出：任何不小於 6 的偶數都可寫成二奇素數之和。
其實 4 = 2 + 2 也是可以表達為兩素數之和的偶數，而 7 = 2 + 2 + 3 也可以寫成三素數之和：但古人對偶數存有歧見，故在列寫命題時把之除外了。顯然，若關於三素數之和的問題被解決了，兩素數之和的問題也迎刃而解。因任何一不小於 9 的奇數均可寫成 3 和一個不小於 6 的偶數的和。該偶數又可寫成兩奇素數的和，連同 3 這一奇素數，合共便是三個奇素數了。但反之則不可，於是我們稱這兩道問題為「哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)」 (其中關於三素數之和的猜想又稱作「華林素數猜想 (Waring's Prime Number Conhecture) 」 ) ，不過古往今來的數學家通常多提偶數的哥德巴赫猜想而已。
哥德巴赫猜想的出現，很快便成了數論界的新寵兒，數學家們爭相為此獻計，可惜証明工作有如攀登高峰一樣舉步維艱。1900年，德國數學大師希爾伯特 (David Hilbert 1862-1943) 在巴黎舉行的第二屆國際數學家會議 (International Congresses of Mathematicians) 上為十九世紀的數學工作總結時，把這問題和黎曼猜想 (Riemann's Conjecture) 納進其廿三條數學未解之謎中的第八題，當中大部份的難題在上一世紀已獲解決。數論學者更把哥德巴赫猜想和費馬大定理 (Fermat's Last Theorem) 與及孿生素數猜想 (Twin Primes Conjecture) 並列為數論三大難題，這有如數學皇冠上的明珠，是數學家夢寐的目標。可見這猜想的重要性。
參考文獻及網址：
Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, p. 64, 1987.
Guy, R. K. "Goldbach's Conjecture." §C1 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 105-107, 1994.
Guy, R. K. Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed. New York: Springer-Verlag, 2004.
Weisstein, E. W. "Goldbach Conjecture." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html.
