變異的哥德巴赫猜想

若我們把哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 的分柝方法改變少許,便是一道新的問題了。

問題是把任一奇數表成一素數和一個 2 的方冪之和。

如: 5 = 3 + 2 或 17 = 13 + 4 或 33 = 17 + 16 或 65 = 61 + 4 等等。

這問題既像哥德巴赫猜想,又有點似孿生素數 (Twin Primes),頗有趣。這問題最先由波歷納克 (Prince A. de Polignac) 於 1849年提出:「每個奇素數均為一奇素數和一個 2 的方冪之和。」但很快他便發現自己的錯,959,這一個數竟無法以上述方法表示。

959
-
2
=
957
=
3 * 11 * 29
959
-
4
=
955
=
5 * 191
959
-
8
=
951
=
3 * 317
959
-
16
=
943
=
23 * 41
959
-
32
=
927
=
32 * 103
959
-
64
=
895
=
5 * 179
959
-
128
=
831
=
3 * 277
959
-
256
=
703
=
19 * 37
959
-
512
=
447
=
3 * 149
959
=
7 * 137

後來數學家愛爾特希 (Paul Erdos 1913-1996) 也研究過這問題,且證明存在一由奇整數組成的算術級數,其中每一個成員均如 959 一樣那麼「不同凡響」,每一個成員均不可以 p + 2k 的形式存在。

整數 n = 7、15、21、45、75 和 105 滿足以下性質:對每個 2k < n,n - 2k 均為素數。愛爾特希猜想滿足上述性質的奇整數便只有這六個 (偶數 4 也滿足上述性質),是否如此,這便留待有心人開發了。

2
4
8
16
32
64
n = 7
5
3
n = 15
13
11
7
n = 21
19
17
13
5
n = 45
43
41
37
29
13
n = 75
73
71
67
59
43
11
n = 105
103
101
97
89
83
41

參考文獻及網址

Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991

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