新梅森猜想

在 1989年，美國數學家貝特曼 (Paul Trevier Bateman 1919- ) 、塞爾弗里奇 (John L. Selfridge, 1953- ) 和瓦格斯塔夫 (Samuel S. Wagstaff) 提出了新梅森猜想 (New Mersenne Conjecture) ，簡記 NMC。

猜想是這樣的：

若 p 為一奇自然數，且符合首兩個條件，則第三個條件也成立。

p = 2^k ± 1 或 p = 4^k ± 1 ；

2^p - 1 為一素數 (包括梅森素數 (Mersenne Prime) )；

(2^p + 1) / 3 為一素數。

此類素數及後被稱為瓦格斯塔夫素數 (Wagstaff Prime)，名字是由另一數學家莫蘭 (Francios Morain) 提出。

現在這猜想對不少於 12441900 的 p 是正確的，但我們面對和找梅森素數一樣的困難，就是 2^p - 1 是一個極大的數，要判斷其素性也不易，故瓦格斯塔夫素數的成員依然不多。現在已知最大的瓦格斯塔夫素數為 p = 42737，即 (2⁴²⁷³⁷ + 1) / 3 ，該數是一個有 12865 數位 (Digit) 的素數，由莫蘭於 2007年找到的。

參考文獻及網址：

Lifchitz, R. "Status of the New Mersenne Prime Conjecture." http://www.primenumbers.net/rl/nmc/.

Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Wagstaff." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=14.