新的費馬數

波蘭數學家謝爾品斯基 (Waclaw Sierpinski 1882 - 1969)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

謝爾品斯基數

盧卡斯 - 歐拉定理 (Lucas - Euler Theorem) (詳見《費馬數的素性判斷》一章) 使大家開始注意到形如 k*2^m+1 的素數，不僅如此，這亦是尋找孿生素數 (Twin Primes) 的一大途徑。現存最大的孿生素數正是：

33218925*2¹⁶⁹⁶⁹⁰±1 即 k = 33218925, m = 169690

這是一對有 51090個數位的素數。其實早在上世紀 70 年代，數學家巴利爾 (Robert Baillie) 等人已開始研究形如 k*2^m+1 的素數，他們不但發現了新的費馬數因子 (Fermat Number Divisor)，還找到一些比較大的孿生素數：297*2⁵⁴⁶±1 。由於這樣種種原因，研究形如 k*2^m+1 的素數在數論 (Number Theory) 中很快便成了大紅的課題了。

首先是形如 k*2^m+1 的素數會有多少個？

如果我們把 m 固定，則數列 {k*2^m+1} 是公差 2^m 的算術級數，根據狄利克雷定理 (Dirichlet's Theorem) ：任何算術級數 (Arithmetic Progression) 中皆有無限個素數，只要其首項和公差互素，則在上述數列中存有無限個素數。即在數列 {k*2^m+1} 中 (k,m) = 1 ，便會有無限個素數。但若固定的是 k 又如何？是否會有無限個素數呢？

早在 1960 年，波蘭數學學派創始人數學家謝爾品斯基 (Waclaw Sierpinski 1882 - 1969) 作了一個一般性的証明：存在無窮多個正奇數 k 使得 k*2^m+1 對所有自然數 m 都是合數。人們稱這樣的 k 為謝爾品斯基數 (Sierpinski Number)。關於謝爾品斯基數的研究主要有兩個方向：

是否存在謝爾品斯基數 k ，使 k*2^m+1 與任意 s 個素數的乘積互素？

尋找最小的謝爾品斯基數 k₀。

1962年美國數學家塞爾弗里奇 (John L. Selfridge 1953- ) 發現了兩個重要事實：

78557*2^m+1 的數總可被 3、5、7、13、19、37 或 73 整除，即 78557 是謝爾品斯基數。對於這可使全體數列皆是合數的謝爾品斯基數，我們稱其為第二類謝爾品斯基數 (Sierpinski Number of the Second Kind)

當 k<383時，必存在形如 k*2^m+1 的素數，即在 k<383 中不會有謝爾品斯基數。

所以最小的第二類謝爾品斯基數必在 383 和 78557 之間。

下表列出部份已知的第二類謝爾品斯基數和其可被整除之素數集：

第二類謝爾品斯基數	可被整除之素數集
78557	3、5、7、13、19、37、73
271129	3、5、7、13、17、241
271577	3、5、7、13、17、241
322523	3、5、7、13、37、73、109
327739	3、5、7、13、97、257
482719	3、5、7、13、17、241
575041	3、5、7、13、17、241
603713	3、5、7、13、17、241
903983	3、5、7、13、17、241
934909	3、5、7、13、19、73、109
965431	3、5、7、13、17、241
1259779	3、5、7、13、19、73、109
1290677	3、5、7、13、19、37、109
1518781	3、5、7、13、17、241
1624097	3、5、7、13、17、241
1639459	3、5、7、13、17、241
1777613	3、5、7、13、17、19、109、433
2131043	3、5、7、13、17、241

黎塞爾數

此外在 1956年瑞典人黎塞爾 (Hans Riesel 1929- ) 提出了相類似而關於 k*2^m-1 的問題，即在 {k*2^m-1} 的數列中存在無窮多個正奇數 k 使之成為合數，即把第二類謝爾品斯基數中的「加號」換成「減號」，我們把這些數稱為黎塞爾數 (Riesel Number)。而黎塞爾本人亦証明了 k₀ = 509203 以及 k_r = k₀ + 11184810r 其中 r = 1, 2, 3, . . 皆是黎塞爾數，但最小的黎塞爾數是什麼呢？而黎塞爾本人則認為這數應和謝爾品斯基數有相同性質，或許我們可在尋找最小謝爾品斯基數的同時找到靈感。

布賴爾數

後來，有人希望找到一整數既有第二類謝爾品斯基數的特點，亦有黎塞爾數的特點，人們稱其為布賴爾數 (Brier Number)，這是由法國數學家布賴爾 (Eric Brier 1972- ) 最先提出。

布賴爾於 1998 年找到了一個例子：29364695660123543278115025405114452910889 這是一個長 41 數位的整數。

後來其他學者也找到一些比較「小」的例子：

布賴爾數	發現者	發現年份
878503122374924101526292469	加洛特 (Yves Gallot)	2000
3872639446526560168555701047	拿殊 (Chris Nash)	2000
623506356601958507977841221247	凱勒 (Wilfrid Keller)	2000

(OEIS A076335)

到底什麼是最小的布賴爾數呢？

參考文獻及網址：

Ballinger, R. "The Riesel Problem: Definition and Status." http://www.prothsearch.net/rieselprob.html.

Ballinger, R. "The Sierpinski Problem: Definition and Status." http://www.prothsearch.net/sierp.html.

Gallot, Y. "A Search for Some Small Brier Numbers." http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/papers/smallbrier.html.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Problem 029.-Brier Numbers." http://www.primepuzzles.net/problems/prob_029.htm.

Weisstein, E. W. "Brier Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/BrierNumber.html.

Weisstein, E. W. "Riesel Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RieselNumber.html.

Weisstein, E. W. "Sierpinski Number of the First Kind." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheFirstKind.html.

Weisstein, E. W. "Sierpinski Number of the Second Kind." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiNumberoftheSecondKind.html.