盧卡斯數列
法國數學家盧卡斯 (Edouard Lucas 1842-1891)
(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )
盧卡斯數列
盧卡斯數列 (Lucas Sequence) 和費波拿契數列 (Fibonnacci Sequence) 有莫大的關係。故本人在介紹費波拿契數以後也得為盧卡斯數列多添一章。
先定義整數 P 和 Q 使 D = P2 - 4Q > 0，
從而得一方程 x2 - Px + Q = 0，其根為 a, b，
現定義盧卡斯數列為：
Un(P,Q) = (an - bn) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = an + bn
其中 n 為非負整數，得 U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、......
我們有下列和盧卡斯數列相關的恒等式：
Um+n
= UmVn - anbnUm-n 、
Vm+n = VmVn - anbnVm-n
Um+1
= P*Um - Q*Um-1 、 Vm+1 = P*Vm
- Q*Vm-1 (取 n = 1)
U2n
= UnVn 、 V2n = Vn2
- Qn
U2n+1
= Un+1Vn - Qn 、 V2n+1 = Vn+1Vn
- PQn
若取 (P,Q) = (1,-1)，我們便有 Un 為費波拿契數，
即 0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4141、 6765等。
而 Vn 為盧卡斯數 (Lucas Number)，
即 2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 等。
若取 (P,Q) = (2,-1)，我們便有 Un 為佩爾數 (Pell Number)，
即 0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。
而 Vn 為佩爾 - 盧卡斯數 (Pell - Lucas Number) (詳見另文《佩爾數列》)，
即 2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。
此等全都是數學界很有名的數列。
盧卡斯數的性質
盧卡斯數 (簡記 Ln) 有很多性質和費波拿契數很相似。如 Ln = Ln-1 + Ln-2，其中不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。
所以盧卡斯數有：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，當中的平方數只有 1 和 4，這是由哥恩 (John H. E. Cohn) 證明的。而素數，即盧卡斯素數 (Lucas Prime) 則有： 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。當中現在知道最大的擬素數 (Probable Prime) 為 L574219 ，此數達 120005位之多。
我們有下列和盧卡斯數相關的恒等式：
Ln2
- Ln-1Ln+1 = 5 (-1)n
L12
+ L22 + ...... + Ln2 = LnLn+1
- 2
Lm+n
= (5FmFn + LmLn) / 2 (式中的 Fn
為費波拿契數)
Lm-n
= (-1)n (LmLn - 5FmFn)
/ 2
Ln2
- 5Fn2 = 4 (-1)n
盧卡斯素數龍虎榜
n |
數位 |
發現者 |
年份 |
56003 |
11704 |
歐文 (Sean A. Irvine) / 禾達 (Bouk de Water) |
2006 |
51169 |
10694 |
禾達 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) |
2001 |
44507 |
9302 |
禾達 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) / 倫斯
(John Renze) |
2005 |
36779 |
7687 |
禾達 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) / 倫斯
(John Renze) |
2005 |
35449 |
7409 |
禾達 (Bouk de Water) |
2001 |
19469 |
4069 |
禾達 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) |
2002 |
19449 |
3020 |
都伯納 (Harvey Dubner) / 凱勒 (Wilfrid Keller) |
1995 |
13963 |
2919 |
奧基斯 (Mike Oakes) |
2002 |
12251 |
2561 |
禾達 (Bouk de Water) / 布靴斯特 (David Broadhurst) |
2001 |
10691 |
2235 |
都伯納 (Harvey Dubner) / 凱勒 (Wilfrid Keller) |
1995 |
若我們考慮的是擬素數，即那些通過費馬小定理 (Fermat's Little Theorem) 逆命題測試的數，這有很大機會是素數，或可能是卡邁克爾數 (Carmichael Number)。那我們可把 n 推至 202667。但正因為 n 很大，要判斷該數的素性的確不易。
參考文獻及網址：
Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Lucas Number." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=48.
Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991
Weisstein, E. W. "Lucas Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/LucasNumber.html.
