República Bolivariana de
Venezuela
Ministerio del Poder
Popular para
Universidad Yacambú
Vicerrectorado
De Estudios Virtuales
Contaduría Pública
Cohorte-acp-082
Sección "A"
CÁLCULO
DIFERENCIAL
TRABAJO
Nº 5
Integrante:
Gladys
Coromoto Pérez Sánchez
C.I.: Nro. 10.641.846
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo tiene como finalidad,
comprender la importancia del estudio del límite de una función del Cálculo Diferencial
Matemático y también de las derivadas y sus aplicaciones en campo de las
ciencias administrativas y en la administración, por cuanto es una herramienta
muy importante debido a que nos permite medir el cambio de una variable, de hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o
producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso,
beneficio, producción total.
También podemos conocer a breves rasgos las
funciones crecientes y decrecientes, máximos y mínimos en todo su dominio.
DESARROLLO
LÍMITE DE
UNA FUNCIÓN:
El
límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial
matemático.
Informalmente,
el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p,
significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se
desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p.
La
definición formal, hecha a finales del siglo XIX se muestra a continuación.
Para
una generalización del concepto de límite, véase "topología de red".
INFINITOS
ASINTÓTICOS:
Una asíntota es una línea recta que puede ser
horizontal, vertical u oblicua a la que se aproxima una curva como gráfica de
determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque.
Asíntota
vertical
Si existe alguno de estos dos límites:
A la recta x = a se la denomina asíntota
vertical.
Sirven para determinar cosas
Asíntota horizontal
, siendo a un valor finito
La recta Y = a es una asíntota horizontal
Caso particular
Si para la
función 
se calcula f(x) cuando x toma valores
positivos o negativos grandes, se puede observar que f(x) se aproxima a cero.
Esta situación se puede escribir como:
y a la recta y = 0
se la denomina asíntota horizontal
|
|
|
Hipérbola equilátera |
Asíntota oblicua
Dada la función 
y
observando su gráfica:
|
|
Se puede concluir
que dicha función no posee asíntota horizontal, sino oblicua.
La asíntota
oblicua se calcula averiguando los siguientes límites:
Por lo tanto la ecuación de la recta asíntota
oblicua está dada por:
y
= mx + b
En este ejemplo la asíntota oblicua es la
recta de ecuación y = x + 2
Propiedad
- Si existe una asíntota oblicua en uno u otro
sentido de infinitud, no existe asíntota horizontal en el mismo sentido. Sí
pueden existir una en un sentido y la otra en el otro.
Ejemplo:
Como te darás
cuenta, curva verde jamás llega a tocar a su asíntota, pero sin embargo, para x
tendiendo a infinito yo puedo llegar a aproximar que la función vale igual que
la asíntota (esto dependerá del grado de error que me permita tener). En el
límite de x tendiendo a infinito, la función vale exactamente igual que su
asíntota, esta es la definición.
Esto es
especialmente útil en ciencias (física, química, etc.) porque permite
resolver sistemas complicados con una expresión simplificada.
CONCEPTO DE
DERIVADA:
En
geometría, la derivada de una función en un punto es el valor de la
pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la
tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje
de las abcisas, en ese punto.
La
derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es
decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de
cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una
función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje 
de
un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de
algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad
en un tiempo dado.
APLICACIONES
EN EL CAMPO DE LAS CIENCIAS ADMINISTRATIVAS:
El
concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo
infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral;
ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. Quizá la
derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.
Se
aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce
el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias
sociales como la economía y la sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la
gráfica de dos dimensiones de f, se considera
la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente
como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una
recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una
recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades
geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas
funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Afortunadamente,
gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son
continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de
derivación.
Las
funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable),
son aproximables linealmente.
APLICACIÓN
DE LAS DERIVADAS EN
Las derivadas en economía son una herramienta muy
útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales,
es decir, hallar la razón de cambio cuando
se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se
esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción. En otras palabras la
idea es medir el cambio instantáneo
en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio en la segunda
cantidad o variable.
Tal línea de pensamiento fue posible desde la
economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley
Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación canalítica como
la revolución marginalista. De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio
o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso,
beneficio, producción, total.
En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en
el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales,
es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una
f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s)
fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como
derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.
No hay que olvidar que se requiere con frecuencia
estimar los niveles donde una función cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea
cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el
cálculo diferencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la
búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de
las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones
de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que
se desea Optimizar esté restringido con desigualdades).
Finalmente la premisa para la diferenciabilidad es la
continuidad de las funciones, o sea que aquellas no posean saltos. Una de las
limitantes cotidianas del desempeño profesional en economía es contar siempre
con funciones continuas.
Según Lagrange:
Sea la función objetivo: F(x1,…,xn) s.a: g(x1,…xn)= C. Donde g es la restricción igualada a una constante
C.
F(x1,…xn)=tg´(x1,…xn),
donde t=un escalar que multiplica la restricción y que se simboliza con la
letra griega lmbda.
Según Kuhn-Tucjer:
F(x1,…xn), s.a: g(x1,…xn) > C, ó g(x1,…xn) < C
FUNCIONES
CRECIENTE Y DECRECIENTE:
Si se dice que una
función f definida en un intervalo es creciente si sólo si f(x1)
< f(x2) siempre que x1 < x2 donde x1
y x2.
Son dos números
cualesquiera en el intervalo.
· Se dice que una
función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo si y sólo si
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2,
donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el
intervalo.
Ejemplo:
Dadas
las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
1.
f(x)=3x+8
Solución: f`(x)=3
Se
observa que f`(x)=3>0 para todo x en R; en consecuencia la función es creciente
en R.
2.
f(x)=x2+2x-3
Solución:
f`(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f`(x)=0,
donde la función f no es creciente ni decreciente.
2x+2=0
X=-1. Es
decir para x=-1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el
comportamiento de la derivada antes y después de x=-1 f`(x)=2(x+1).
|
Intervalo |
F`(X) |
|
|
(- oo ,1) |
- |
Decreciente |
|
(- 1, + oo ) |
+ |
Creciente |
Decimos
que la función f tiene un máximo relativo en x= c si
existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) > f(x),
para toda x en el intervalo.
Decimos
que la función f tiene un mínimo relativo en x= c si
existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) < f(x),
para toda x en el intervalo.
MÁXIMOS Y
MÍNIMOS:
Sea c un punto del dominio de la función f. Se dice que:
·
Si f(c) >
f(x) pata toda x en el dominio de la función, f alcanza un valor máximo
absoluto
·
F(c) es el valor mínimo
de f si f(x) < f(x) para todo
x en el dominio de la función.
Máximos
y mínimos de una función
Definición: Decimos que
f(c) es el valor máximo absoluto
de una función f en un intervalo (a,b)
que contiene a c, si f(c) ≥
f(x) 
x 
(a,b). De manera análoga se define un valor mínimo
absoluto de una función en su intervalo.
Teorema: Diremos
sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un máximo
y un mínimo en [a,b]
Extremos
de una función.
f(x) A
C
E
D F
B
X
a b c d e
f
Sea f(x) una función continua en el
intervalo [a, f], en este intervalo, la función presenta dos valores máximos en
A,
C (f(a), f(c)) y un valor
mínimo en B (f(b)), se conocen como máximos
absolutos. Los puntos D, F corresponden a mínimos en su
entorno y por lo tanto son mínimos relativos, análogamente E que corresponde a un máximo relativo.
La interpretación geométrica de la
derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función.
Por ejemplo, cuando la derivada es cero
para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho
punto tiene pendiente cero y por ende es paralela al eje x. También se pueden
establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la
tangente.
Definición:
Decimos que f(c) es un Máximo Relativo de una función f
si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal
que f(x) está definida y f(x) ≤
f(c), x (c – ε, c +
ε).
Se dice que la función f tiene un valor
máximo relativo en el # c si c ε (a,b),
tal que f ( c ) ≥ f ( x) x ε (a,b), en la figura se
puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor máximo relativo en
c. Dicho valor es d y ocurre en c.
El valor máximo relativo de f en (a,b) es d.
Decimos que f(c) es un Mínimo Relativo de una función f
si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0, tal
que f(x) está definida y f(x) ≥
f(c), x (c – ε, c +
ε).
Se dice que la función f tiene un valor
mínimo relativo en el # c si c ε (a,b),
tal que f ( c) ≤ f ( x) x ε (a,b)
EN la figura se puede observar un
ejemplo de una función que tiene un valor mínimo relativo en c. Dicho valor es
d y ocurre en c.
El valor mínimo relativo de f en (a,b) es d.
Demostración
Sea f(c) un valor máximo relativo de f,
y supongamos que f ´(c) existe. Entonces
existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε), con ε >0 tal que x ≠ c en este
intervalo:
(1)
f(x) - f(c) ≤ 0
Cuando x (c – ε, c): (2) x – c
< 0
De (1) y (2) se sigue que x (c – ε, c) (3) 
Por consiguiente: 
En forma análoga, x (c, c + ε) (4) x – c
> 0
De
(1) y (4):
x (c, c + ε) y f
´(c) ≤ 0
Puesto que por hipótesis f ´(c) existe,
tenemos que de f ´(c) ≤ 0 y 0 ≤
f ´(c), se tiene que f´(c) = 0 o bien no
existe. La demostración es análoga
cuando f(c) es un mínimo relativo de f.
Un número c para el cual una función f
está definida y para el cual f´(c) = 0 o f´(c) no existe, se llama un número crítico para f.
Si una función tiene un valor máximo
relativo o mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un
extremo relativo en c.
El teorema anterior establece que la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto en donde ocurre un extremo relativo es paralela al ejex.
Si f es diferenciable, los únicos posibles valores de x para los cuales f tiene un extremo relativo son aquellos en los que f '(x) = 0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que f '(x) = 0, no hay un extremo relativo allí. En la fig.3 se puede apreciar un ejemplo de esta situación.
También puede suceder que alguna función f tenga un extremo relativo en un número dado y sin embargo no ser diferenciable en dicho número. La fig.4 ilustra este hecho.
Por último, para ciertas funciones f (c) existe y f '(c) no existe y sin embargo no hay un extremo relativo en c. En la fig.5 se muestra la gráfica de una función donde ocurre esta situación.
Conclusión: si una función f está definida en un número c, una condición necesaria para que f tenga un extremo relativo en c es que f '(x) = 0 o f '(c) no exista; pero esta condición no es suficiente.
CONCLUSIÓN
Para concluir este
trabajo, puedo decir que después de
realizar la investigación de los distintos puntos nombrados en el material de Cálculo
Diferencial, puedo finiquitar que es muy importantes para la vida laboral,
es decir, que su importancia se establece en que estos conceptos y funciones
nos permiten estudiar, analizar y mostrar de manera gráfica, los resultados en
un determinado ejercicio laboral, proceso administrativo o de producción.
De su aplicación
dependerá que nos manifestemos como profesionales con suficientes conocimientos
teóricos y prácticos que nos permitan y/o ayuden a mostrar en la práctica los
resultados positivos que toda organización y empresa necesita.
INFOGRAFÍAS
ü http://es.wikipedia.org/wiki/LÃmite_de_una_función
ü http://es.wikipedia.org/wiki/AsÃntota
ü http://fisica.usach.cl/~cecilia/word/aplicacderivada_julio2006.doc
ü http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada