Exercício de Otimização Dinâmica

 

 

8.OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS DINÂMICOS

8.3 Controle Ótimo

                       

Aluno: Giovani Tonel

E-mail: [email protected]

Data: Outubro de 2006

Disciplina: Otimização de Processos

 

REATOR CSTR - DETERMINAÇÃO DO CONTROLE ÓTIMO

 

Rodar o arquivo run_cstr.m para ver os dados do processo.

 

 (reação exotérmica)

 

Fig. 1 – Reator CSTR não-isotérmico.

 

Obs: assumido área de troca térmica (At) constante.

 

Equações do Balanço de Massa e Energia:

 

Onde:

      

Equações do Controle:

,

onde:  e  .

Fig. 2 – Temperatura do reator CSTR não-isotérmico sem ação de controle para determinação do estado estacionário.

 

Linearizando o sistema e substituindo as condições estacionárias obtém-se as matrizes A, B, C e D (ver arquivo optim_control.html ):

 

 

Para este caso particular que o sistema é invariante no tempo, com A e B controlável, t_f= ∞ e matrizes de pesos constantes, a lei de controle ótimo pode ser obtida através da solução da equação de Ricatti estacionária, usando o método LQR implementado no Matlab:

 (Solução de Ricatti)

 (LQR – Matlab)

Onde W= R , S= P e N=0.

Com a solução da equação de Ricatti dinâmica, a lei do controle ótimo quadrático:

      

que é independente da condição inicial x_o. O sistema dinâmico em malha fechada pode ser escrito como:

,   onde A_K é a matriz característica da dinâmica do sistema regulado.

Para o nosso caso,

 

Como os autovalores (E) da matriz Ak são todos reais, isso caracteriza um sistema estável.

Já que a matriz Ak é “carrega” toda a dinâmica do sistema regulado, então resolvendo o sistema acima para várias condições iniciais e trabalhando com variáveis desvio, o comportamento esperado é que  vá pra ‘zero’ para quaisquer condições inicias, assim obtém-se a solução do controle ótimo  ( ver arquivo reator_simulink_optim.mdl).

Pontos de operação inicial:

caso 1

       h    = 2.5       m       

       Ca   = 50        kmol/m^3 

       T    = 650       K

caso 2

       h    = 3         m       

       Ca   = 50        kmol/m^3 

       T    = 500       K

caso 3

       h    = 2.0       m       

       Ca   = 300       kmol/m^3 

       T    = 100       K

caso 4

       h    = 2.0       m       

       Ca   = 1         kmol/m^3 

       T    = 900;      K

   

 

Fig. 2 – Solução do controle ótimo  encontrado para o ponto de operação 3.

 

Nota-se que tanto quanto o valor de u₁* e de u₂*,  tem um comportamento que extrapola e/ou satura esta variável manipulada no seu inicio para poder ‘trazer’ o sistema para o ponto estacionário.

 

Observações

Na simulação feita no EMSO, a ação do controlador PIDT se mostrou inversa a ação que deveria ser tomada, pois a medida que a temperatura ia subindo no inicio, o parâmetro u₂ também ia aumentando ( de 0 à 1), fazendo com que T_W aumenta-se em direção a T_máx, assim mais calor era injetado (e mais calor era gerado pela reação exotérmica) no sistema até o ponto que a temperatura do reator foi igualada a temperatura da camisa (T= T_W= T_máx), sendo que neste ponto a válvula já saturou.  A comprovação da ação inversa do controlador PIDT foi facilmente mostrada alterando-se o parâmetro de -1 à 1 (PIDT.Options.action=1). Abaixo segue o gráfico obtido com as modificações.

 

Fig. 3 – Controle do processo para o set-point de temperatura 0.85 (T= 630 K).