Penyelesaian Masalah 

1. Carikan perimeter bagi poligon yang ditunjukkan dalam rajah di sebelah.

Penyelesaian

        Sisi yang tidak diketahui nilainya ialah  AB, BC, CD, EF

        Diketahui bahawa  AB + CD + EF  = HG = 10cm                                                                                                         

        Oleh itu, AB + CD + EF = 10cm

        BC = AH - CI

        Diketahui  CI  =  DJ

                        DJ = FG - ED

                             = 7cm - 5cm

                             = 2cm

        Ini bermakna CI = 2cm

        Oleh itu BC = 4cm - 2cm

                           = 2cm

        Oleh itu perimeter rajah di atas = FG + HG + AH + BC + ED + (AB + CD + EF)

                                                       = 7cm + 10cm + 4cm  + 2cm  + 5cm + 10cm

                                                       = 38cm

2.    p ialah hasil darab dua nombor 4-digit yang dibentuk daripada digit-digit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8              

       tanpa sebarang ulangan. Carikan nilai terbesar bagi p dalam  bentuk

                          x   

       di mana setiap petak kecil ini merupakan satu digit daripada lapan digit yang tersebut di atas. (Anda tidak  

       perlu mengira hasil darab dua nombor berkenaan.)

Penyelesaian:

i)  Susun digit-digit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 untuk membentuk 2 nombor empat digit yang boleh menghasilkan 

    nilai terbesar bagi p.

ii)  Digit pada nilai tempat ribu bagi dua nombor tersebut mesti  8 dan 7

     Digit pada nilai tempat ratus bagi dua nombor tersebut mesti  6 dan 5

     Digit pada nilai tempat puluh bagi dua nombor tersebut mesti  4 dan 3

     Digit pada nilai tempat sa bagi dua nombor tersebut mesti  2 dan 1

iii)  Dengan menggunakan kaedah heuristik 'cuba jaya', kita dapati

       dua digit pertama mungkin 86 x 75 atau 85 x 76

       digit 2 dan 3 mungkin 64 x 53 atau 63 x 54

       digit 3 dan 4 mungkin 42 x 31 atau 41 x 32

       Untuk mengetahui nilai mana yang lebih besar, kita boleh cari beza dua nombor tersebut. Set nombor  

       yang mempunyai beza yang lebih kecil akan memberi hasil darab yang lebih besar

 Daripada jadual di atas, kita dapat:   85 x 76 > 86 x 75

                                                         63 x 54 > 64 x 53

                                                         41 x 32 > 42 x 31             

        Maka, apabila disusun semula digit-digit tersebut, kita perolehi 

                                x   

         menghasilkan nilai terbesar bagi p

3.  Carikan nilai digit sa bagi jawapan kepada:

      1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + ................. + 1x2x3x4x ..............x18x19

Penyelesaian

i) Kita bina satu jadual untuk menyenaraikan digit sa bagi beberapa sebutan yang pertama untuk mengenal        

   pasti  pola yang wujud.

Hasil darab digit sa bagi sebutan pertama  ialah 1

Hasil darab digit sa bagi sebutan kedua alah 2

Hasil darab digit sa bagi sebutan ketiga  ialah 6

Hasil darab digit sa bagi sebutan keempat ialah 4

Hasil darab digit sa bagi sebutan kelima  ialah 0

Hasil darab bagi sebarang sebutan dengan suatu nombor yang berakhir dengan digit sifar akan menghasilkan nombor  dengan digit akhirnya sifar.

Oleh itu, hasil tambah bagi semua digit sa bagi siri nombor di atas  ialah 1+2+6+4 = 13

Maka nilai digit sa bagi jawapan kepada 1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + ......+ 1x2x3x4x ...x18x19 ialah 3

4.  Seorang pelanggan membeli sepasang kasut dengan harga RM20.00. Dia memberi wang RM50.00  

     kepada  En. Ramasamy, pengurus kedai berkenaan. Ramasamy tiada wang kecil untuk tukaran duit, jadi  

     ia menukar duit RM50.00 itu dengan rakannya En. David. Kemudian dia memberikan RM30.00  

     sebagai duit baki kepada pelanggannya. Pada sebelah petang, En. David memberitahu En. Ramasamy  

     bahawa wang RM50.00 yang diberinya adalah wang palsu. En. Ramasamy terpaksa menggantikan duit     

     palsu itu.Berapakah kerugian En. Ramasamy akhirnya?

Penyelesaian

i) Kita lukis garis nombor untuk mewakili wang yang diterima dan dikeluarkan oleh En Ramasamy.

    Oleh itu, Ramasamy telah mengeluarkan wang sendiri sebanyak RM30 dan telah memberi sepasang 

    kasut kepada pelanggan.

    Kesimpulannya, Ramasamy kerugian sebanyak RM30 dan sepasang kasut.                    

5.  Nombor perdana terbesar yang pernah dijumpai (pd. 1 Jun 1999) ialah 2^6972593 - 1. Apakah 

     bakinya apabila nombor ini dibahagikan dengan 5?

Penyelsaian:

i)  Nilai 2^6972593   -1 adalah terlalu besar. Masalah ini tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan kalkulator.

ii)  Apabila suatu nombor dibahagi dengan 5, kita dapat mencari bakinya jika kita tahu digit terakhir (digit sa)    

     bagi nombor itu.

iii)  Kita senaraikan beberapa sebutan pertama untuk mengenalpasti polanya.

     2¹ berakhir dengan digit 2

     2² berakhir dengan digit 4

     2³ berakhir dengan digit 8

     2⁴ berakhir dengan digit 6

     2⁵ berakhir dengan digit 2

     2⁶ berakhir dengan digit 4

      2⁷ berakhir dengan digit 8

      2⁸ berakhir dengan digit 6

      ...

iv)   Kita dapat mengenalpasti pola yang wujud pada jujukan ini. Didapati bahawa

       2^{4n + 1} berakhir dengan digit 2 , n = 0, 1, 2, 3, 4, ...

       2^{4n + 2} berakhir dengan digit 4   

       2^{4n + 3} berakhir dengan digit 8

       2^{4n +4} berakhir dengan digit 6

       Diketahui  6972593  =  4 x 1743148 + 1

       maka        2^{4 x 1743148 + 1}  berakhir dengan digit 2

       dengan itu    2^{4 x 1743148 + 1}  - 1 berakhir dengan digit 1

       Apabila dibahagi dengan 5, bakinya ialah 1

6.   Terdapat sebuah kalkulator ringkas yang hanya mempunyai kekunci "7", "0" dan "+" yang berfungsi. 

      Carikan bilangan minimum yang kekunci "7" perlu ditekan supaya boleh menghasilkan nilai 222222 pada 

      tetingkap kalkulator ini.

Penyelesaian

i)  Jika kekunci "7" ditekan sekali, kita akan dapat 7             

    Jika 7 ditambah sebanyak 2 kali, kita akan dapat 14

    Jika ditambah 7 sebanyak 3 kali, kita akan dapat 21

    Untuk menentukan bilangan digit 7 yang paling minimum  yang perlu ditambah untuk menghasilkan nilai digit  

    sanya 2, kita boleh rujuk kepada senarai gandaan 7

    Gandaan bagi 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, ...

ii) Untuk menghasilkan digit sanya  2,  bilangan digit "7" yang minimum yang perlu ditambah ialah sebanyak 6  

    kali  (6x7=42)

    Untuk menghasilkan digit 2 pada nilai tempat puluh, kita perlu tambah  4 dengan suatu nombor gandaan 7  

    yang berakhir dengan 8. Oleh itu, bilangan digit 7 yang minimum yang boleh menghasilkan nombor berakhir 

    dengan digit 8 ialah 4 (4x7 = 28)

    Untuk mendapat digit 2 pada nilai tempat ratus, kita perlu menambah 3 dengan suatu nombor gandaan 

     7 yang berakhir dengan 9. Oleh itu, bilangan digit 7 yang minimum yang boleh menghasilkan nombor 

     yang berakhir dengan digit 9 ialah 7 (7x7 = 49)

    Untuk mendapat digit 2 pada nilai tempat ribu, kita perlu tambah 5 dengan suatu nombor gandaan 7 yang     

    berakhir dengan digit 7. Oleh itu, bilangan digit 7 yang minimum yang boleh menghasilkan nombor berakhir 

    dengan digit 7 ialah 1 (1x7 =7)

    Untuk mendapat digit 2 pada nilai tempat puluh ribu, kita perlu menambah 1 dengan suatu nombor   

    gandaan 7 yang berakhir dengan 1. Oleh itu, bilangan digit 7 yang minimum yang boleh menghasilkan 

    nombor berakhir dengan digit 1 ialah 3 (3x7 = 21)

iii) Kita boleh wakili maklumat di atas dalam bentuk jadual.

Kesimpulannya:

Bilangan minimum kekunci "7" yang oerlu ditekan pada kalkulator tersebut ialah sebanyak 21 kali.

7.  Imagine a huge circular metal belt which fits the earth snugly (rapat-rapat) at its equator. Later the 

     metal belt expands slightly by a length of 4 meters so that there is now a gap (jurang) between it and the 

     earth's surface (assume that it is still circular and concentric (sama pusat) with the earth's surface). Will this  

     gap be big enough for a sheet of normal writing paper to be slipped through (untuk melaluinya)? Explain 

     your  reasoning.

Penyelesaian

            Katakan diameter logam ialah d

             Lilitan logam = pd

             Apabila lilitan logam dipanjangkan sebanyak 4m, maka lilitan logam yang baru = pd + 4

                                                                                                                                  = p(d + ⁴/_p)

              Daripada lilitan logam yang baru, didapati diameter logam sudah bertambah sebanyak   ⁴/_p  m. Oleh 

              itu jejarinya turut bertambah sebanyak  ²/_p m, iaitu hampir 0.63662m. Penambahan sebanyak ini    

             mencukupi bagi seorang dewasa untuk merangkak melaluinya.  

8.  Berikut adalah perbualan antara En. Chai dengan Cik Latifah di rumah En. Chai:

     En. Chai:  Saya mempunyai 3 orang anak. Hasil darab umur mereka adalah 72 dan hasil tambah umur 

                     mereka adalah sama dengan nombor rumah saya. Apakah umur mereka?

     (Selepas keluar ke pintu rumah untuk melihat nombor rumah.......)

Cik Latifah:   Saya masih tidak dapat mengesan umur anak-anak anda.

En. Chai:       Okay, saya berikan sedikit panduan lagi. Anak sulong saya suka makan coklat vanila.

Cik Latifah:   (Selepas memikir dan mengira sebentar) Ah, baru saya nampak! (dan dia terus sebutkan     

                     umur anak-anak itu.)

Apakah nombor rumah dan umur anak-anak En. Chai?

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita bina satu jadual dan senaraikan semua set tiga faktor yang mungkin bagi 72 dan cari hasil tambah ketiga-tiga faktor tersebut.

 Dari perbualan antara En. Chai dengan Cik Latifah, kita tahu bahawa Cik Latifah sudah tahu nombor rumah En. Chai tetapi masih tidak dapat mengesan umur anak-anaknya. Berpandukan maklumat ini, kita dapati nombor rumah En. Chai ialah 14. Tetapi terdapat 2 set jawapan di mana jumlahnya adalah 14;

                                         2, 6, 6   Jumlah = 14

                                         3, 3, 8   Jumlah = 14

Maklumat tambahan yang diberi En. Chai ialah anak sulongnya suka makan coklat vanila. Dengan itu, set faktor 2, 6, 6 tidak mungkin umur anak-anaknya. Jadi, umur anak sulong En. Chai ialah 8 tahun dan 2 orang lagi anaknya berumur 3 tahun.

9.  A man walks 1 mile south, then walks 1 mile east, and finally 1 mile north. He finds that he has come back 

     to the same (initial) spot that he started from. Where is the location of that initial spot? Explain how you    

     arrive at your answer.

    Penyelesaian

    Lokasi asal pemuda tersebut ialah pada sebarang titik di kutub utara bumi. Hanya pada permukaan sebuah sfera sahaja di kutub, seseorang dapat bergerak ke selatan, ke timur dan ke utara dengan jarak yang sama akan kembali semula ke tempat asalnya.