O movimento dos planetas, que aparenta ser desordenado quando visto em relação ao fundo de estrelas, tem sido um enigma desde os primórdios da história.

Johannes Kepler (1571-1630), depois de uma vida dedicada aos estudos, desenvolveu as leis empíricas que governavam os movimentos.

Vamos discutir as leis de Kepler uma a uma. Embora as aplicações que faremos aqui sejam para planetas em órbita em torno do Sol, as são válidas também para satélites, naturais ou artificiais, em torno da Terra ou de qualquer outro corpo celeste massivo.

1. Lei das Órbitas

   “Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol sendo um dos focos”.

   

   A figura mostra um planeta de massa m se movendo numa dessas órbitas em torno do Sol, cuja massa é M. Supomos que M>m, de tal modo que o centro de massa do sistema planeta-Sol está praticamente no centro do Sol.

   A órbita na Figura é descrita ao darmos o seu semi-eixo maior a e a sua excentricidade e, esta última definida de tal maneira que ea é a distância do centro da elipse até qualquer um dos focos F ou F'. Uma excentricidade zero corresponde a um círculo, onde os dois focos coincidem no seu centro. A excentricidade das órbitas planetárias não é muito grande, parecem circulares. A excentricidade da órbita da terra é apenas 0,0167.

   
   
   

2. Lei das áreas

   “Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais”.

Em termos qualitativos, essa lei nos diz que o planeta moverá mais devagar, quando estiver mais afastado do Sol, e mais rápido, quando mais perto. No final das contas, a Segunda lei de Kepler é totalmente equivalente à lei de conservação do momento angular.

A área sombreada da figura acima é com boa aproximação, a área varrida num tempo Dt. A área DA é, aproximadamente, a de um triângulo com base rDq e altura r. Assim, DA ~ (1/2)r²Dq. Esta expressão se torna mais exata à medida que Dt (e, logo, Dq) tende a zero. A taxa instantânea com que a área está sendo varrida é, então,

 

dA/dt = 1/2 (r²) dq /dt = 1/2 (r²w) (equação i)

 

onde w é a velocidade angular da linha que liga o planeta ao Sol (que é a coordenada polar r).

 

A figura acima mostra o momento linear p do planeta, juntamente com suas componentes. O módulo do momento angular L do planeta em relação ao Sol é dado pelo produto de r e a componente de p perpendicular a r, ou

L = rp1 = (r) (mv1) = (r) (mwr) = mr²w (equação ii)

onde substituímos v1 pelo seu equivalente wr. Eliminando r²w entre as equações i e ii, obtemos

dA/dt = L/2m

Se dA/dt é constante, como Kepler afirmou, então significa que L deve ser constante também - o momento angular é conservado. Assim, a Segunda lei de Kepler é equivalente à lei de conservação do momento angular.

3. Lei dos períodos

   “O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita”. 

Vamos considerar uma órbita circular com raio r (o raio é equivalente ao semi-eixo maior). A aplicação da Segunda lei de Newton, F=ma, ao planeta da órbita fornece

G M m / r² = (m) (w²r)

Aqui substituímos F pela sua expressão dada pela lei da gravitação de Newton, e escrevemos w²r para a aceleração centrípeta. Se substituímos w por 2p/T, onde T é o período do movimento, encontramos

T² = (4p²/GM) r³ (lei dos períodos).

(4p²/GM) é uma constante, seu valor dependendo somente da massa (M) do corpo central.

A lei acima vale também para órbitas elípticas, desde que substituiremos r por a (semi-eixo maior da elipse), com excelente aproximação, para as órbitas do sistema solar: ela prevê que a razão T²/a³ é essencialmente a mesma para cada órbita planetária.