1. Resumo

Este relatório mostrará o comportamento de uma corda vibrando em várias freqüências e que diante de certas freqüências suas ondas ficam estacionárias formando ventres, onde o número deles depende da frequência emitida pela fonte de áudio. Além do número de ventres, mostraremos que o comprimento, densidade linear e tensão, interferirão de maneiras diferentes nas freqüências de vibração da corda.

2. Introdução

Consideremos uma corda fixa em ambas as extremidades, uma seqüência contínua de ondas senoidais é refletido e rerefletido. A corda é presa nas extremidades (dois nodos). Como os nodos estão separados entre si de 1/2 comprimento de onda, o comprimento da corda deve ser l/2, 2(l/2), 3(l/2), ... ou em geral qualquer múltiplo inteiro de meios comprimentos de onda. Em outras palavras se considera uma corda particular de comprimento L, ondas estacionárias podem ser nela originadas por vibrações de várias freqüências diferentes, ou seja, aquelas que originam ondas de comprimento de onda: 2L, 2(L/2), 2(L/3),...

Da relação f=v/l e do fato de v ser a mesma para todas as freqüências. As possíveis freqüências são: v/2L, 2(v/2L), 3(v/2L),...

A freqüência mais baixa, v/2L, é chamada de fundamental e as outras de sobretons. Essas últimas são assim, 2f₁, 3f₁, 4 f₁, etc. Sobretons cujas freqüências são múltiplos inteiros da fundamental formando a chamada série Harmônica. A fundamental é o primeiro harmônico. A freqüência 2f₁ é o primeiro sobreton ou segundo harmônico; 3f₁, é o segundo sobreton ou terceiro harmônico e assim por diante.

Sabendo que:

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Isolando a frequência temos a equação de Euler-Lagrange:

Equação 1. f é a frequência da corda, n é o número de ventres, L é o comprimento da corda (entre as duas extremidades fixas), P é a força tensora na corda e m é a densidade linear da corda [massa (m) / comprimento total da corda (l)]

[Apostila de Física Experimental II - UEPG]

Cordas vibrantes no violão

A escala musical comumente utilizada, chamada escala temperada, divide cada oitava em 12 semitons: Dó - Dó# - Ré - Ré# - Mi – Fá - Fá# - Sool - Sol# - Lá- Lá# - Si; e a cada oitava a freqüêc;ncia varia de um fator 2, sendo a razão entre as freqüências de semitons vizinhos igual a 21/12. Assim, com a definição da freqüência de uma nota, toda a escala musical é construída e o padrão é o Lá fundamental, 440Hz. Em um instrumento de cordas como o violão, as notas musicais são obtidas através das freqüências naturais de oscilação de suas cordas, que são dadas pela equação de Euler-Lagrange. Nesta expressão, n=1,2,3,... é o número do harmônico, L é o comprimento, P é a tração e m é a densidade linear da corda. A nota musical atribuída a cada corda é definida pela freqüência do primeiro harmônico (n=1). Diferentes notas musicais são obtidas em uma mesma corda no violão pela variação do comprimento do segmento vibrante, alterando a “posição” de um dos extremos, pressionando-a entre dois trastes. A cada traste a nota emitida varia um semitom.

A tração de cada corda do violão pode ser determinada com o uso de um dinamômetro, a partir do conceito de equilíbrio de forças. Puxando-se cada corda, na direção perpendicular a mesma, com uma força (F) em seu ponto médio (que coincide com a posição do 12^o traste), a tração (T) da corda pode ser determinada pela seguinte relação, envolvendo o deslocamento (h) do ponto médio: Conhecendo-se a tração a que cada corda é submetida, pode-se calcular sua densidade linear com o uso da equação de Euler-Lagrange, já que, se utilizarmos um violão afinado, a freqüência de cada corda é determinada pela sua respectiva nota (82,5; 110; 147; 196; 247 e 330Hz).

Para se conseguir notas de freqüências muito diferentes são utilizadas cordas de diferentes densidades lineares (entre 0,4 e 5,3g/m), visando manter as trações semelhantes (~55N), provavelmente com o intuito de evitar deformações no braço do violão.

[H.M. Nussenzveig / L.B. Horodynski-Matsushigue]

3. Experimento

3.1. Material

• Alto falante;

• Gerador de Áudio;

• Fios de Nylon (de diâmetros 0,40; 0,20; 0,35 e 0,25 mm respectivamente) ;

• Massas aferidas (~20g).

3.2. Métodos

• Monte o esquema abaixo:

• Varie a freqüência (f) no gerador de áudio até obter na corda uma onda estacionária [para cada freqüência de onda estacionária obtem-se uma certa quantidade de ventres (n) na corda];

• Repita o procedimento deixando o número de ventres (n) fixo e variando a tensão (P);

• Varie a freqüência (f) deixando o n° de ventres (n) e a tensão (P) fixos, desta vez variando o comprimento (L) da corda;

• Finalmente varie f, com n, P e L fixos, com diferentes diâmetros de corda [variando a densidade linear (m)].

4.1. Resultados obtidos

4.1.1. Tabelas

• Obtenção da freqüência (F) variando o número de ventres (n):

L = ___ cm

P = ___ N

m = ___ g

l = ___ cm

m = ___ g/cm

• Preencher a tabela abaixo: