Si le preguntaramos a un contador - uno que no tenga ni la menor idea de PL- que a partir de la solucion al problema del enunciado I nos respondiera cual es el costo unitario de producir (y vender) el bien 1 y el 2 muy probablemente nos mirara primero con cierta desconfianza - pero si no hay precio de los insumos!!! - para luego , mas cautamente contestarnos que el costo de 1 , dado que se requiere una unidad del insumo A y una de B el costo unitario ( Cua) se calcularia como Pa + Pb mientras que el costo unitario (Cub) del bien 2 se calcularia como 2Pa + Pb , toda vez que se requieren dos unidades de A y una de B por unidad de 2. Eso si se conocieran los precios de los insumos A y B cosa que se desconoce. Con la misma desconfianza nos responderia a que el costo total de producir ambos bienes seria igual a:

APa + BPb ( es decir 150Pa + 100Pb). Si finalmente le preguntamos si puede obtener esos precios de los insumo si se asume que producir y vender 1 y 2 son actividades competitivas en las cuales o bien no hay beneficio alguno o bien si hubiere perdidas no se produciria el bien, la respuesta que daria seria : los precios que resuelven el siguiente conjunto de ecuaciones y V el costo total resultante:

1 = Pa + Pb

1,6 = 2Pa + Pb

V = 150Pa + 100Pb

Hecho esto , nuestro contador nos diria que lo que acaba de hacer no es otra cosa que imputar precios a los factores productivos , lo que determina que el costo total V sea igual al ingreso total Z. Resolviendo el sistema anterior obtendria Pa = 0,6 , Pb = 0,4 y V = 130

Si ahora formulamos el problema dual del enunciado I de referencia obtendremos :

min V = 150Pa + 100Pb

sujeto a 1 <= Pa + Pb

1,6<= 2Pa + Pb

y Pa,Pb>=0

Reconocemos inmediatamente que este problema es el problema de minimizacion No 1 cuya respuesta encontramos arriba y es Pa =0,6 , Pb =0,4 y V= 130. Teniendo en cuenta los comentarios de nuestro contador arriba, la interpretacion a nuestro problema dual es la siguiente : Lo que se busca es minimizar el valor imputado a los insumo sujeto a que el costo (unitario) de produccion de cada bien sea igual o mayor al precio unitario del mismo. Y aqui nos apresuramos a sacar a relucir el Teorema de Dualidad II para senalar que si el costo excediera al ingreso de cualquiera de los bienes este no seria producido.

Si le hubieramos preguntado a un economista , en cambio, acerca del costo de producir los bienes 1 y 2, este nos hubiera contestado algo como sigue: " El costo de oportunidad de una unidad del factor A - o su precio sombra- en la empresa de referencia se obtiene averiguando cual es el mejor uso para una unidad adicional de dicho insumo; en este caso , si dejaramos de producir una unidad del bien 1, se liberarian 1 unidad del factor A y otra de B con lo que sumados a la unidad de A adicionada se podria producir una unidad del bien 2. O sea que en terminos de valor se pierde $1 por un lado pero se adiciona $ 1,6 por el otro , es decir se adicionan $ 0,6 neto como resultado de adicionar una unidad de A - y ajustar optimamente la produccion-. Este seria el costo o beneficio de oportunidad del insumo A. En terminos analogos se razonaria para establecer el costo de oportunidad - precio sombra -de una unidad del factor B. Si se deja de producir una unidad del bien dos - y en consecuencia se liberan 2 unidades de A y una de B - al adicionar una unidad de B es possible producir 2 unidades del bien 1. En terminos de valor se pierden $ 1,6 -por la perdida de la unidad del bien 2 -pero se ganan $ 2 - por la produccion de dos unidades del bien 1- o sea se obtiene un neto de $ 0,4 por la incorporacion de una unidad adicional de B .El costo de oportunidad de B seria pues $ 0,4."

Comparando los precios sombra de los insumos obtenidos por el economista y los precios imputados por el contador vemos que estamos describiendo el mismo fenomeno pero de angulos diferentes. Notemos en este problema que si alguno de los factores no constituyera restriccion a la produccion -por ejemplo si B fuera igual a 400- la adicion - o para el caso sustraccion de una unidad de dicho insumo- no modificaria en absoluto el nivel optimo de produccion- por lo que no adicionaria o sustraeria valor a la actividad desde el punto de vista del economista o sea que el valor de este insumo pasaria a ser 0. Bajo estas circumstancias - exceso o superabundancia de B si se prefiere-, el maximo ingreso se obtiene produciendo solamente el bien 2 - con lo que se obtienen $ 150- . Desde la perspectiva de la PL si la restricion 2da - la que corresponde a B - se cumple con desigualdad , de acuerdo al Teorema II de Dualidad , la segunda variable del dual sera igual a 0 , esto es el precio de B - tal como lo habria previsto el razonamiento economico. En cuanto a nuestro contador , al solamente producirse el bien 1, ante igual interrogante que el efectuado arriba , este concluiria tambien que Pb resultaria igual a 0 por cuanto el costo sin beneficios de la actividad 1, la no obtencion de beneficios en las actividades restantes y la imputacion de todo el costo al ingreso generado implicaria :

Pa + pb = 1 , 2Pa + Pb >= 1,6 y 150Pa +400Pb = 150

El unico conjunto de precios -no negativos- de los insumos que imputa correctamente- es decir cumple con las tres condiciones anteriores es Pa = 1 y Pb =0 , el mismo resultado del economista y del programador lineal.

Un examen de los valores de la primera fila de la tabla de simplex 3 (final ) arriba , revela la solucion del problema dual ya que 130 = V ,-0,6 para la variable de holgura Xa y - 0,4 para la variable Xb muestra los valores correspondientes a menos Pa y menos Pb del problema dual. Siendo Pa y Pb el valor de agregar una unidad de A y de B respectivamente ,esto del signo negativo se entiende perfectamente si se tiene en cuenta que incrementar en una unidad el valor de las variables de holgura significa restarle una unidad del insumo correspondiente a la actividad productiva. Esto significa que la tabla de simplex no solo da la solucion al problema primal si no que tambien - como yapa - da la solucion al problema dual ( cambiando los signo a la primera fila de variables no basicas y sustituyendo por estas los precios sombra o valuaciones marginales de los flujos externos correspondientes). (Esto ocurre en todas las tablas de simplex excepto en el improbable caso conocido como "degenerado" que tiene lugar cuando una de las variables basicas asume el valor 0 en el optimo).