EL VALOR DE LA
INTUICIÓN
(SOBRE UNA TEORÍA
INTUITIVA DE CONJUNTOS SIN ANTINOMIAS)
Pretendo mostrar cómo se puede expresar
consistentemente, en idioma vulgar, los dictados de la intuición sobre las nociones
de conjunto y de propiedad, superando las dificultades lógicas para establecer
la relación entre ambas que han propiciado la aceptación de axiomáticas que, a
mi juicio, no se atienen a la realidad de las nociones vulgares, pues alguno de
sus postulados, cuya falsedad espero quede patente, no son compatibles con la
existencia de conceptos evidentes, históricamente reconocidos como
fundamentales.
En concreto, se rechaza el axioma llamado de
comprensión, o separación, que postula la existencia del subconjunto de los
elementos de un mismo conjunto cualquiera que poseen una misma propiedad
cualquiera, así como el de unión fuerte, que postula la existencia del conjunto
que tiene por elementos sólo los comunes a todos los conjuntos que son, a su
vez, elementos de un mismo conjunto cualquiera, y el llamado de regularidad,
que impide la existencia de conjuntos que sean elementos de sí mismos.
Ciertamente, ni el primero ni el tercero citados son deseables: el uno somete
una noción primitiva, como la de conjunto, que debe suponerse clara si se
pretende fundamentar la Matemática sobre ella, a otra, como la de propiedad,
que sí puede admitirse primitiva, pero no que se tenga –!la teoría convencional
de clases, que parece pretender generalizar la de conjuntos equiparando las
nociones de clase y de propiedad, tiene que admitir la existencia de algunas
que no pueden pertenecer como ejemplares a ninguna otra!– suficiente clara; el
otro, obviamente, tiene carácter de mera restricción. En cuanto al segundo,
será sustituido por otros más débiles, que pueden considerarse casos
particulares suyos, permitiendo interpretaciones de la noción de propiedad en
términos conjuntistas más sencillas que las dadas en versiones anteriores,
donde no se realizó esta sustitución, lo cual obligaba a admitir ciertos
postulados causantes de complicaciones ahora superadas (y, quizás, de la
reticencia general a reconocer el valor de la teoría). También podría
rechazarse el axioma llamado de sustitución en sus formulaciones más
corrientes, que presuponen el axioma de comprensión, pero ya se verá una forma
satisfactoria de decir lo que se pretende con él independiente de éste.
Ciertamente, las nociones primitivas son
lógicamente anteriores a los axiomas que puedan postularse sobre ellas,
permitiendo darles sentido y asegurar su mutua compatibilidad, aunque haya
infinidad de ellos lógicamente independientes. Así pues, hay que aceptarlas
tales como sean, tratando siempre de evitar las confusiones que impiden la
expresión consistente de las relaciones entre ellas, mas
nunca de ignorar su evidente existencia. También, conviene rechazar la llamada
lógica modal y considerar sin sentido las frases que no sean sentencias, o sea,
estrictamente ciertas o falsas: es justo la confusión entre ambas nociones, de
sentencia y de frase, lo que ha conducido la Lógica del último siglo a unos
resultados que me atrevo a calificar de aberrantes.
Procuraré ajustarme a los usos
convencionales de los términos empleados, pero sin someterme a un pretencioso
formalismo que resulta inútil después de rechazar el citado axioma de
comprensión. Así, cuando me interese definir el significado de alguna palabra,
me limitaré a introducirla subrayada en un contexto suficientemente
significativo. Podré hacer ciertas consideraciones de carácter un tanto
metafísico que quizás resulten extrañas a espíritus no afines al mío, con las
que sólo pretendo sugerir ciertas intuiciones que me hacen sentir seguro de
estar en el buen camino, pero pueden ser obviadas por aquéllos que no las
compartan, pues no afectan a la validez lógica de los resultados. (Trataré de
comunicar esta evidencia con mayor eficacia en una posterior obra, Teoría de
los Entes (T. E.), que espero llegar a escribir).
Las nociones de ente y de noente
son las más primitivas de todas, por lo que doy por supuesta su posesión, y
pueden servir para precisar el sentido con que uso ciertos términos lógicos, el
que hace ciertas las sentencias siguientes:
– Sólo La Nada no es ente: Sólo los
noentes no son entes.
– Sólo cero entes no existen y cuantosquiera
entes existen.
– Sólo cero noentes existen o no existen.
– Todo y ningún noente es y no es un mismo
ente cualquiera.
– Ningún ente es y no es un mismo ente
cualquiera.
– Todo ente es o no es un mismo ente
cualquiera.
– Cada uno de cada dos entes es sí mismo y
no es el otro.
Quede claro, pues, que ni el nombre propio
“La Nada” ni el común “noente” son significativos, o sea, propio o común de
ente alguno, y que se considera la relación de existir en un sentido maximal
absoluto, equivalente al de "ser sí mismo". También, que resulta un
tanto intrascendente el decidir si es, o si no es, cierto que los noentes
cumplen, o no cumplen, una condición cualquiera, pues sólo cero noentes podrían
sí o no hacerlo; o sea, en ningún caso sería cierto que un(o) –nótese el uso
del cuantor numeral– noente(s) cumple(n) o no cumple(n) la condición. (La
confusión entre distintos criterios posibles para establecer convenciones al
respecto puede ser la causa de una aparente contradicción. Nótese que al
admitir la veracidad de ambas posibilidades opuestas de cumplimiento,
atribuyendo valor cuantitativo al artículo indeterminado o adjetivo numeral,
pero no al artículo determinado o adjetivo demostrativo, resulta totalmente
carente de valor informativo la afirmación, en su sentido estricto, de la
existencia de tal o cual sujeto, mas no la de su inexistencia, por lo que debe
suponerse la negación de ésta cuando se quiere realizar la afirmación de
aquélla sin incurrir en trivialidad. Por supuesto, siempre que resulte evidentemente
falso el sentido primario de una expresión, no debe tomársela como errónea si
admite uno secundario que sea verdadero.)
Ciertos entes son conceptos, por cuya
intuición se reconoce a los entes representados como individuos
suyos. Cuanto más abstracto, o menos concreto (por representar
más entes), es el concepto, tanto más general, o menos preciso
(por confundir más entes entre sí), es el reconocimiento –reservo la
palabra “conocimiento” para expresar el reconocimiento debido a ciertos
conceptos especiales, primarios, a tratar en T.E.–
que proporciona. En cada idioma, todo concepto es denotado por un nombre,
que designa los individuos propios de aquél. Cada concepto tiene
infinidad de otros equivalentes a él, con sus mismos individuos
representados, (y también de iguales, o equivalentes no idénticos pero
sí denotados por los mismos nombres), pero sólo uno de ellos debe ser
considerado como conjunto, que incluye, o excluye, como elementos
a los entes que son, o no son, individuos de sus conceptos equivalentes. Así
pues, se puede definir conjunto como concepto determinado –en T. E. se verá
cómo puede hacerse esto– entre todos sus equivalentes. (Desde luego, si la
noción de conjunto tiene tanto valor en Matemáticas, no es sólo por estar cada
uno determinado por la inclusión de sus elementos, sino también por haber uno
que sea equivalente a cada concepto, algo que las teorías conjuntistas
convencionales no pueden admitir, asumiendo la noción de concepto en toda la
amplitud necesaria aquí dada (que no es la mayor, ni quizás la más idónea
–véase después– de las usuales), pero cuya posibilidad espero poner aquí en
evidencia.)
Como se consideran ambas nociones, de
concepto y de conjunto, lo suficientemente intuitivas para ser tenidas por
primitivas, deberá ser la interpretación de los axiomas la que se ajuste a
ellas y no éstas a ellos (fuera de los márgenes que el estado de determinación
de la noción permita). Por supuesto, podré postular, en cada momento, los
axiomas que estime oportunos para mis propósitos, siempre que sean compatibles
con lo ya establecido. Ahora, para precisar similitudes y diferencias entre la
teoría aquí propuesta y la convencional, interesa citar éstos:
A.1: Cada dos entes tienen un conjunto del
cual sólo ellos son elementos.
A.2: Uno (al menos) de cada dos conjuntos
incluye como elemento algún ente excluído por el otro.
A.3: Cada dos conjuntos tienen otro, su intersecto,
que incluye sólo los entes que son elementos comunes de ambos.
A.4: Todo conjunto tiene otro, su complementario,
que incluye sólo los entes excluidos por aquél.
A.5: Todo conjunto cuyos elementos son
conjuntos tiene otro que solo incluye los conjuntos complementarios de éstos.
A.6: Todo conjunto tiene otro, a llamar subconjunton,
que sólo incluye los subconjuntos de (contenidos en, sin
elementos no propios de) él.
A.7: Todo conjunto tiene otro, su cardinal,
que incluye sólo los conjuntos coordinables con (por biyección propia
sobre) él.
A.8: Existe un conjunto que incluye sólo los
cardinales de conjuntos.
(En versiones anteriores aparecía también un
axioma postulando la existencia, por cada conjunto normal, que no se
tiene a sí mismo como elemento, de otro, no normal, que sólo incluye los
elementos del primero y a sí mismo. Se puede admitir o rechazar, pero ello no
afecta a la potencia de la teoría, sino sólo a la determinación (a tratar en T.
E.) del concepto que se considera conjunto: seguiría habiendo, en todo caso, un
conjunto equivalente a cada concepto, ya fuera normal o no normal. Nótese que
aparece, en lugar del axioma fuerte de unión, el mucho más débil A.3, que si
bien no permite demostrar el pretendido teorema que afirma la existencia del
producto de la unión de todos los conjuntos que son elementos de un mismo
conjunto y debe ser ahora considerado falso (sin tener que sentir reparo
alguno, pues no siempre tiene que ser posible el salto transfinito en la unión
de todos los conjuntos de una serie, como en tantas otras operaciones
matemáticas), sí lo va a hacer, junto a nuevos axiomas a postular, con todos
los casos que verdaderamente interesan.)
Puede ya deducirse fácilmente que existen
los conjuntos vacío, que excluye a todo ente, y universal, que
incluye a todo ente, así como el conjunto total de conjuntos (a llamar conjuntón),
y el total, perconjunton de los que contienen (perconjuntos) uno
mismo cualquiera; también, que todo ente tiene un conjunto del cual es elemento
único, y que hay tantos conjuntos distintos, normales y no normales, y con
tantos elementos, como se quiera. (Se podría postular la existencia del
conjunto de los números naturales, o cardinales de conjuntos finitos,
no coordinables con ninguno de sus subconjuntos propios (no iguales a
ellos), pero prefiero esperar a tener postulada la enumerabilidad de todo
conjunto infinito, no finito, para obtenerla como teorema.) También
resulta fácil ver que la propiedad de ser conjunto normal, que no es elemento
de sí mismo, no define, en el sentido obvio, conjunto alguno, pues no existen
conjuntos que sólo incluyan (todos) los entes que son conjuntos normales, ya
que deberían tener y no tener a sí mismos como elementos. Sí existen, en
cambio, conjuntos –el universal es uno de ellos– de los cuales son elementos
todos los conjuntos normales; pero sucede que necesariamente también incluyen
(infinidad de) otros que no son normales, como a ellos mismos (ya que, si no,
serían normales y, al no incluirse a sí mismos, no podrían ya cumplir la
condición de incluir a todo conjunto normal). Queda, pues, claro que la
existencia del conjunto universal y de la propiedad de ser conjunto normal es
incompatible con la pretendida veracidad del citado axioma conjuntista de
comprensión. Sin embargo, cabe también preguntarse qué pasa con la propiedad de
ser propiedad normal, de no poseerse a sí misma. (La incapacidad para
contestar esta pregunta sin incurrir en contradicción creo ha sido la causa de
que se haya preferido aceptar un axioma perfectamente rechazable antes que la
evidente existencia de tales conjunto y propiedad, pero aquí se va a dar la
respuesta.)
Lógicamente, la noción de
propiedad (en el sentido usual aquí dado) es posterior a la de concepto, pues
se requiere, para servirse de ella, la posesión de un idioma que dé sentido a
las expresiones nominales complejas, o sea, que determine qué entes son denominados
por cada una de ellas (normalmente, los que cumplen la condición de hacer
verdadera la proposición definidora, al sustituir la variable por su nombre
propio), en función de sus componentes más simples, que denotan conceptos
supuestamente intuidos. Su interés radica en que todo nombre, o
expresión nominal con sentido, expresa una propiedad que está presente,
o ausente, respectivamente, en los entes sí, o no, denominados por él,
pudiéndose postular que cualesquiera entes poseen, como ejemplares,
una propiedad presente sólo en ellos. Existe, pues, una diferencia esencial, si
bien sutil, entre la sencilla noción de concepto y la más compleja de
propiedad: no todo nombre que expresa una propiedad puede denotar un concepto
que tenga por individuos justo a los entes (ejemplares) denomnados por él. Esto
es así, aún cuando la potencia de la noción de concepto (en el sentido un tanto
restringido aquí dado) permita definir las propiedades como ciertos conceptos
especiales (sin que ello quiera decir que los individuos del concepto tengan
que ser los ejemplares del la propiedad, sino que la posesión de ésta por éstos
queda determinada, de la manera que sea, por la pertenencia de aquéllos a
aquél), en un proceso gradual e infinito (si no se quiere poner límite
innecesario a las posibilidades del idioma) que exigirá distinguir (para evitar
paradojas) entre distintos usos antes confundidos de palabras iguales.
En efecto, definiendo, primero, 0-clase,
que 0-asocia a ciertos entes cualesquiera, sus 0-ejemplares, como
conjunto de éstos, y después, inductivamente, (n+1)-clase, que (n+1)-asocia
a sus (n+1)-ejemplares, como n-clase que n-asocia sólo los conjuntos atómicos,
de elemento único, de éstos, se puede postular, primero, que toda propiedad
tiene algún número natural, n, tal que sus ejemplares son, justamente, los
n-ejemplares de una n-clase, y después, llamando n-propiedad a la que
tenga al número natural n, su orden, como mínimo de los que cumplen la
condición, identificar cada propiedad de cada orden n sucesivamente mayor que 0
–las 0-propiedades ya están identificadas con los conjuntos– con un concepto
equivalente a la n-clase (como conjunto y, por tanto, concepto que es, según la
definición inductivamente realizada) que n-asocia justo los ejemplares de la propiedad,
pero distinto a los otros identificados ya con propiedades de orden menor, de
modo que toda n-clase (que también es clase de todo orden menor,
al menos) identificada con n-propiedad, a llamar n-clase propia, tenga
tantos conceptos equivalentes identificados con propiedades como órdenes puedan
considerarse suyos, uno más que el indicado por el máximo, rango, de
ellos. Ahora, llamando sistema y n-sistema a los conceptos
identificados con propiedades y n-propiedades, respectivamente, se puede
postular que existe, por cada orden n, tanto el conjunto (0-sistema)
total de n-sistemas como el de todos los sistemas –éste es uno de los
postulados más débiles que sustituyen al aquí rechazado axioma fuerte de unión
de la teoría convencional– de todo orden. (En textos anteriores, la asunción
del tal axioma (obtenido como teorema) obligaba a definir las (n+1)-clases de
forma distinta (también válida en éste, si bien se haya preferido la más
sencilla), admitiendo también como n-ejemplar de la n-clase tanto a todo conjunto
que incluya sólo (n+1)-ejemplares, como a todo el que no excluya ninguno de
ellos (pudiendo incluir otros entes no (n+1)-ejemplares), para impedir que su
aplicación reiterada permitiera demostrar la existencia del conjunto total de
tales ejemplares y dejara sin valor la nuevas nociones de clase, así como a
admitir la inexistencia del conjunto total de los conjuntos finitos (y, por
tanto, la del total de infinitos y la de los conjuntos infinitos de conjuntos
finitos) y, en general, que la clase total de conjuntos finitos de ejemplares
de una clase cualquiera tenga orden mayor que el de ésta. La versión actual
carece de estos inconvenientes, manteniendo toda la potencia de las otras.
Nótese que también admite la definición del otro concepto de propiedad
anterior, igualmente eficaz, como cierto conjunto de no más que dos elementos:
la n-clase propia de los ejemplares de la n-propiedad y la n-clase vacía (no
propia, si n>0, y cuyo rango indica el orden considerado de la clase propia,
entre cero y el rango de ésta).)
Se puede ahora definir logia de grado
n, o n-logia, como conjunto de todos los sistemas n-lógicos, de
orden propio igual o menor a n, y admitir una axiomática relativa a
éstos perfectamente análoga a la de los conjuntos (algo que no se podía hacer
en las versiones anteriores), con lo que se obtiene una cadena infinita de
logias de distintos grados, pero con formulaciones axiomáticas exactamente
iguales que pueden inducir a error si se confunden los conceptos subyacentes.
(Para evitarlo, nótese que todo sistema de un grado, u orden lógico,
también lo es de cualquier otro mayor, y que tiene tantos conceptos
equivalentes a él (no idénticos, sólo con los mismos individuos representados)
que son sistemas, identificados a propiedades distintas (por tener distintos
ejemplares asociados), como indique el rango de la clase equivalente a
él (como concepto) más uno. Esperaré a T. E. para mostrar cómo se puede
determinar qué conceptos son los identificados como sistemas, y cuáles son los
órdenes lógicos atribuídos a cada uno.) Obviamente, el proceso de construcción
de las sucesivas logias es gradual e infinito, pues la de grado mayor debe
apoyarse –se requiere la elección de ciertos conceptos distintos de los ya
elegidos como sistemas de órdenes propios inferiores– en la del inmediato
anterior, por lo que, si bien se ha podido postular la existencia del conjunto
total de sistemas, no puede considerarse como la logia de grado máximo, pues la
infinitud del proceso impide dotarle de una estructura lógica –¡comprender esto
es crucial para poder apreciar la consistencia de la teoría!– perfectamente
análoga a la de ellas: En efecto, se puede postular que todo sistema que sea
producto de la unión –usaré la terminología conjuntista, en la forma obvia,
para referirme a sistemas– de sistemas disjuntos, sin ejemplares
comunes, de órdenes propios distintos tiene orden propio no menor que
cualquiera de éstos ni mayor que todos ellos, lo que implica que exista el
producto de la unión de cualquier número (necesariamente finito) de tales
sistemas de una misma logia cualquiera, pertenezca también a ésta y tenga orden
propio igual al mayor de los de aquéllos, mas no que exista –de hecho, no
existe– el producto de una infinidad de ellos (necesariamente no todos de la
misma logia). Con todo, sí es admisible el axioma, capaz de satisfacer todas
las exigencias razonables, que postula la existencia del producto de la unión
de cualquier infinidad de sistemas pertenecientes a una misma logia cualquiera,
si bien puede suceder que tal producto no pertenezca a ésta (por ser un sistema
de orden lógico superior a su grado).
(Se podría haber considerado una noción más
general (y, quizás, más primitiva) de concepto que permitiese identificar las
n-propiedades o n-sistemas, no con sendos conceptos equivalentes a
sendas n-clases propias con los mismos n-ejemplares, sino con sendos conceptos
con tales n-ejemplares como individuos, cualquiera que fuese el orden n.
Así, los nuevos conceptos, como las propiedades, se agruparían en órdenes,
siendo el orden 0 el propio de los conceptos antiguos, o sea, el de los
equivalentes a conjuntos, y, en general, el orden n el propio de los conceptos,
n-conceptos, equivalentes a los nuevos sistemas de tal orden, o sea,
representantes de los mismos –nótese que no es necesario el uso del prefijo
“n”, pues el orden queda determinado por la clase de equivalencia del concepto–
individuos. Desde luego, en T.E. preferiré esta noción más general, aunque aquí
haya querido recordar la línea de versiones anteriores, que pretendían poner de
manifiesto la potencia de la noción intuitiva de conjunto, mediante la
definición de n-clase como conjunto especial. No obstante, no resulta difícil
ver que las estructuras lógicas obtenidas por uno u otro camino son
perfectamente compatibles e igualmente potentes.)
Ya resulta fácil contestar a la pregunta
antes hecha sobre la propiedad de ser propiedad normal, no ejemplar de sí
misma: Aun cuando exista el sistema (conjunto) total de las propiedades, la
expresión “propiedad normal”, o ”sistema normal”, sólo tiene sentido propio si
es relativo a un orden (o grado) cualquiera, pues no existe la pretendida
relación absoluta de asociarse a sí mismo que corresponde a la inexistente
logia máxima, y resulta posible postular que la propiedad de ser n-propiedad
normal no es n-propiedad, o n-sistema, sino (n+1)-propiedad, o (n+1)-sistema
(necesariamente normal, al ser todo ejemplar suyo n-propiedad, no
(n+1)-propiedad). (Esto no impide que existan las relaciones absolutas de
representar y de asociar, a secas, como debe ser por existir las nociones
absolutas de concepto y de propiedad: es el “sí mismo” lo que obliga a suponer
el orden lógico.)
Definiendo ordenamiento//n-ordenamiento
de un sistema, base, cualquiera como sistema//n-sistema cuyos ejemplares
son conjuntos tales de ejemplares de aquél que uno de cada dos contenga al
otro, resulta obvia la relación de orden determinada por cada uno en su sistema
base, así como la existencia, por cada ordenamiento, a llamar natural,
determinante de un orden total y sin conjuntos infinitos como ejemplares, de un
primer ejemplar de su sistema base, y, solo si éste es finito (necesariamente
de orden 0), de uno último. También, se puede postular este axioma (cuya
trascendencia no creo necesario recalcar):
A.9: Todo conjunto infinito tiene otro que
es ordenamiento natural suyo.
Que todo conjunto infinito es numerable, o
sea, coordinable con el de los números naturales, me temo sólo pueda
convencerse de ello quien tenga suficiente clara la noción –trataré de ella en
T. E.– de lo que son ciertos entes reales o actos (realizados por el Yo
Único) que se suceden naturalmente por el Devenir Eterno, algunos de los
cuales son actos intuitivos de conceptos que representan un solo ente
cualquiera (y por los que se reconoce a éste); pues todo ente tiene –todo acto
posible, como el de intuir un concepto equivalente a uno cualquiera, debe
llegar a realizarse– infinidad de conceptos a realizar que lo tienen por único
individuo, y el orden en que se realiza el primero (a partir de uno cualquiera)
de los actos de reconocimiento de los distintos entes únicos determina,
obviamente, un ordenamiento natural y total de ellos.
Obviamente, ya se puede deducir que todo
cardinal de conjuntos infinitos es el mismo, o sea, que no hay más que un cardinal
al que poder llamar infinito, siendo los demás, a llamar finitos,
identificables con los números naturales. También, pues está contenido en el
conjunto universal, que todo sistema es numerable. La dificultad para admitir
la numerabilidad general puede ser debida a la creencia equivocada de que todo
ordenamiento natural ha de ser un conjunto o 0-sistema, cuando, en realidad,
puede haberlos de cualquier orden. En efecto, nada impide postular que el orden
mínimo del sistema total de pares de ejemplares correspondientes de sendos
sistemas coordinados es igual al mayor de los de éstos, así como –este axioma
puede ser considerado como el nuevo de sustitución– que el sistema de los
primeros términos de pares de un mismo sistema tiene orden no mayor que éste.
Veamos ahora que no son admisibles los
razonamientos al uso con los que se pretende demostrar la existencia de
conjuntos (o sistemas) no numerables, pues en todos ellos (por reducción al
absurdo) juega un papel esencial el pretendido axioma conjuntista de
comprensión, aquí rechazado por resultar evidentemente incompatible con la
existencia de ciertos conjuntos exigidos por la noción primaria (y vulgar):
– El conocido razonamiento que pretende
demostrar que ningún conjunto es coordinable con el de sus subconjuntos se vale
del falso axioma al deducir, de la supuesta coordinabilidad, la existencia
contradictoria del conjunto que tiene por elementos sólo a los propios de aquél
que no se corresponden, en la supuesta coordinación, con subconjuntos que los incluyan.
En realidad, el tal conjunto no existe, pero no porque no sea posible (en el
caso de conjuntos infinitos) la coordinación, sino porque la dicha propiedad
definidora no es del orden 0, sino de otro necesariamente mayor. Así pues, sí
que existe el sistema de esos ejemplares, pero es de ese orden, no del cero.
–
Otro tanto sucede con el también conocido razonamiento que pretende
demostrar la imposibilidad de enumerar el sistema total de series, o secuencias
infinitas, de elementos de un mismo conjunto de cardinal mayor que 1. La noción
de serie, como la de propiedad normal, resulta ser relativa a un orden (el
propio del sistema de sus segmentos iniciales), y puede postularse que el
sistema total, relativamente al orden n, de series, n-series, es un sistema
de orden n+1, por lo que todo ordenamiento natural suyo debe ser de orden
superior a n, así como la serie, obtenida a partir de él, cuyo r-ésimo término
es, para cada r, distinto del r-ésimo término de la serie que ocupa justamente
el r-ésimo lugar en el supuesto ordenamiento natural del sistema total de las
n-series, por lo que no resulta contradictorio que sea distinta a todas las del
sistema ordenado.
Así pues, debe quedar claro que la
determinación de los órdenes de las distintas infinidades de entes no es
cuestión de tamaños o cardinales, sino de ciertas complejidades inherentes a
ellas: el mismísimo sistema total de entes resulta ser del orden 0, y con
ordenamientos propios (que lo tienen por base) del mismo orden, mientras que
cualquier sistema infinito puede tener subsistemas, sistemas contenidos
en él, así como ordenamientos propios, de cualesquiera órdenes mayores que el
suyo. (Puede verse esto suponiéndolo coordinado con el sistema de sus
subsistemas, considerando la propiedad (necesariamente de orden mayor) de ser
ejemplar de aquél, mas no del subsistema apareado con él, y haciendo igual con
el sistema de ejemplares que la poseen, repetidamente, hasta encontrar
subsistemas complementarios (en el sistema inicial) del orden deseado, para conseguir,
a partir de sendos ordenamientos naturales de éstos e intercalando
correlativamente sus términos, un ordenamiento –puede postularse que del mismo
orden anterior– del sistema inicial. Queda en el aire, si puede tener también
subsistemas infintos de ordenes menores. Espero poder
mostrar en T. E. que no siempre puede haberlos.)
Ahora, voy a contestar a una pregunta que
podría producir cierta inquietud: ¿Qué pasa, entonces, con la noción de medida:
Pues si todo sistema es numerable, resulta que la recta real, como sistema que
es de puntos, o números reales, deberá poderse cubrir con una sucesión de
intervalos abiertos de longitudes en progresión geométrica descendente de suma
límite arbitrariamente pequeña, siendo evidente que la recta tiene longitud infinita...?
En efecto, es así; pero no hay contradicción
en ello, ni repugna al sentido común, si se advierte que las nociones
supuestamente primitivas de punto (como serie decimal) y de continuidad (subyacente en la pregunta) no
tienen carácter absoluto, sino sólo relativo a orden lógico, y que la condición
de ser sistema continuo de puntos resulta tanto más fuerte cuanto mayor es el
grado de la logia considerada: Ciertamente, la identificación de la recta real
con el 1-sistema total de puntos, o números reales, definidos como 0-series
decimales, implica que toda 0-serie convergente de puntos determine un punto
límite, pero no que toda 1-serie decimal lo tenga; así que se pueden definir
nuevos puntos (no identificables a números reales) como 1-series decimales
–para obtenerlas, basta con escoger las sucesivas cifras de modo que
correspondan a intervalos cuyas longitudes superen a la suma de los de sus
subrecubrimientos propios– que no caen dentro de ninguno de éstos y cuya
inclusión en la recta no afecta a la longitud de los intervalos ya existentes,
lo que viene a indicar que la noción de medida de un intervalo poco tiene que
ver con la de cantidad de sus puntos. ( Desde luego,
la determinación de una serie de orden mayor que 0 no está al alcance del poder
humano, mas sí el reconocimiento de su existencia, por intuición de conceptos
sin otros individuos que ellas.)
(En realidad, se pueden manejar dos nociones
muy distintas de medida, aplicables a sendas categorías disjuntas de cosas
(o entes distintos del Yo Único), que agrupan éstas según sí o no sean de
naturaleza discreta o extensa (o sea, sí o no analizables en
términos de componentes simples, no descomponibles en otros). La primera
citada tiene necesariamente que ver con el cardinal del sistema total de tales
componentes simples de la cosa discreta en cuestión (cuales pueden ser, en el
caso de actos cognitivos como los conceptos, los subconceptos atómicos,
de un solo individuo, o, en el caso de actos sensitivos como signos o imágenes –su
posibilidad de digitalización siempre existe–, los elementos de percepción o
puntos luminosos ), y su número de medida puede expresarse como una serie de
sumandos, relativos a sendos componentes simples (ya que todo sistema es
numerable), con valores racionales; o sea, debe ser un número real, si la tal
serie es de orden 0, y, en todo caso, pertenecer a uno de los sistemas totalmente ordenados, semejantes al de los
números reales, de la cadena creciente –cada anterior es subsistema de cada
posterior– que se obtiene considerando los sucesivos órdenes lógicos de series
decimales. En cambio, la segunda citada (que puede considerarse más primitiva
que la anterior y posibilita interpretaciones erróneas de ella) tiene que ver
con la extensión del espacio (en el sentido más primitivo del
término, distinto del usual en Matemática), cosa que no es parte de
otra, mas sí divisible en partes extensas, que se tocan –cada dos
complementarias son adyacentes– y son divisibles, a su vez, sólo en partes
tales. Sucede que el sistema total de medidas o extensiones de partes del
espacio tiene una estructura que, a mi juicio, todavía no ha sido tratada con
acierto en Matemática –espero hacerlo en T.E.– aunque puede decirse que debe
admitir no sólo la existencia de sendos subsistemas identificables a los
sistemas decimales de cualesquiera órdenes, sino también la de extensiones
infinitésimas (que impiden la relación de orden total de aquel sistema, pero
posibilitan postular el orden lógico cero tanto para él como para el de valores
solo infinitesimalmente diferentes a los de un mismo sistema decimal de orden
lógico cualquiera, y también para el de ciertos números reales, a llamar espaciales,
que son razones entre volúmenes de partes determinables (por obvios
procedimientos geométricos) a partir de puntos pertenecientes a rectas de un
mismo sistema ortogonal infinito y distantes racionalmente del origen,
permitiendo la existencia de infinidad de subsistemas maximales totalmente
ordenados que incluyen todos los números espaciales, así como una obvia
correspondencia entre los pares de éstos y ciertas partes extensas, a llamar segmentos.
Con todo, también este sistema, como cualquier otro, es numerable y puede
hacerse sobre él una pregunta análoga a la antes hecha sobre la recta real. No
pasa nada, sigue sin haber contradicción: Todo sistema, cualquiera que sea la
naturaleza de sus ejemplares, es una cosa discreta y puede ser recubierto de
tal manera, siempre que tenga la estructura adecuada para dar sentido a la
posibilidad. Sin embargo, las cosas extensas, aunque no existan las partes
absolutamente simples en que dividirse, sí deben –así lo exige la propia noción
primitiva– poder hacerlo en finitud de ciertas otras, a llamar piezas,
que no puedan dividirse en dos partes que no se toquen –resulta muy intuitiva
la existencia de una infinidad descendente de grados de intimidad
en la relación de contacto– en el grado más elevado, y puede no ser posible
para ellas, con el sentido pretendido, la operación de unión generalizada a
infinidad de factores (como sucede en el caso de desigualdad entre el volumen
del pretendido producto y la suma límite de los de factores).
Queda por precisar un criterio –trataré de
hacerlo en T.E.– que permita determinar el orden
lógico de cada sistema. No obstante, se puede conjeturar que todos los sistemas
verdaderamente fundamentales o imprescindibles en la práctica, logias
incluídas, son de orden 0. Si el sistema total de números reales tiene orden 1,
es porque incluye números que no son espaciales. Esto, por supuesto, no impide
que la belleza y sencillez del concepto propio de aquéllos los haga
extremadamente útiles.
Espero hayan quedado suficientemente
desveladas las confusiones que provocan las conocidas paradojas que han
propiciado la aceptación de axiomas equivocados en la Teoría de Conjuntos,
causantes de la complicación, tan enorme como inútil, del panorama matemático
actual. La intuición no engaña, sólo aporta datos en su propio idioma natural,
no aprendido, que la razón debe traducir al idioma vulgar. Si no se acierta en
ello, las consecuencias pueden ser fatales para quienes, despreciando aquélla,
actúan como simples máquinas lógicas.
No
deja de sorprenderme el escaso interés que un trabajo con la trascendencia de
éste parece despertar entre las muchas personas con capacidad más que
suficiente, a mi parecer, para comprenderlo que ya lo conocen (por medios más
directos que Internet). Quizás sea ello debido a la dificultad para admitir
hechos como el de que ciertas infinidades de individuos puedan tener orden
mayor que las infinidades de los conjuntos atómicos de éstos, o que no exista
el producto de la unión de infinidad de sistemas disjuntos de órdenes
distintos. No obstante, esas posibilidades deben resultar perfectamente
naturales si se reconoce la infinidad de entes esencialmente iguales a todo
conjunto o todo sistema, como cosas que son, y la complejidad del necesario
proceso de elección que determine, entren todos ellos, el considerado como tal
conjunto o tal sistema. Aunque la naturaleza humana no tiene capacidad para
realizar ese proceso, sí la tiene para comprender su existencia y apreciar su
carácter gradual, que permite pasar de un orden al siguiente (sin llegar nunca
al máximo inexistente). Ciertamente, poner en evidencia esto requiere profundizar
en una teoría más general que la de conjuntos, cual puede ser la Teoría de los
Entes, que espero llegar a presentar suficientemente avanzada, si consigo el
tiempo libre necesario para ello. Con todo, el hecho de permitir explicar
consistentemente todos los dictados de la intuición (algo no conseguido hasta
ahora), debería bastar para el éxito de lo presente. A quien no lo crea asi, le
invito a que me exponga sus razones por medio de esta dirección: [email protected] . Trataré de
contestarle satisfactoriamente Muchas
gracias.