PRÓLOGO

(Sobre la Teoría de los Entes)

 

 

Soy un pensador que, muy agradecido por los conocimientos que el estado actual de la ciencia le ha permitido adquirir, pero insatisfecho por su falta de claridad en los conceptos primarios, ha dedicado su vida a aclarar éstos, tratando de superar las dificultades lógicas surgidas al calor del ambiguo idoma vulgar, que han propiciado la admisión de postulados indeseables, contrarios al sentido comùn, en los actuales fundamentos matemáticos y físicos. Creo haberlo logrado en parte esencial y pretendo llegar a expresarlo eficazmente en un texto definitivo, Teoría de los Entes (T. E.), en el que estoy ya empeñado, sin saber cuándo podrá estar listo para darlo a conocer, pero ello me ha permitido poner ya en evidencia los graves errores de concepto cometidos en las actuales teorías conjuntista, relativista y cuántica, que hacían inútiles los muchos esfuerzos realizados por mantener la matematica y la física dentro del dominio de la intuición. Esto es lo que he procurado hacer en los dos textos aquí presentados, cuyas primeras versiones fueron escritas hace ya muchos años y que han sido de vez en cuando retocados para subsanar alguna incorrección detectada –mi capacidad para el despiste parece no tener límites– o introducir ciertas mejoras más o menos puntuales. Aunque no pretendo haber eliminado todos los fallos, no creo tenga ello demasiada importancia, ni valga la pena superar mi falta de ganas por revisar viejos escritos, pues estoy seguro del acierto en sus puntos esenciales, más que suficientes, y prefiero dedicar el nunca excesivo tiempo disponible a avanzar en T. E.. No obstante, como creo que no se ha prestado a esos textos toda la atención que su trascendencia merece y se pone en grave riesgo –había confiado en que el éxito casi seguro, a mi juicio, me permitiría disponer de todo el tiempo libre necesario– la culminación del sueño de mi vida, voy a tratar de aprovechar mis mayores conocimientos actuales para mejorar, en este nuevo prólogo, la clarificacion de los conceptos primarios pertinentes, introduciendo la terminología actual de T. E. (que puede diferir de la usada en los textos prologados, anteriormente escritos) para distinguir entre significados varios de nombres vulgares iguales y evitar las nefastas consecuencias de su confusión (y advirtiendo que todos sus neologismos tienen significados muy intuitivos, perfectamente determinados, aunque sus posibles definiciones en los ambiguos términos vulgares sólo pretendan sugerirlos). Precisamente, la clave para resolver el conflicto entre las pretendidas razones de las tres citadas teorías actualmente consagradas y los dictados de la intuición creo está en la distinción entre los varios usos de las palabras “conjunto” (por la conjuntista), “espacio” y “tiempo” (por la relativista) y “partícula” (por la cuántica); pero es necesario, para ello, comenzar por el principio.

 

Definiendo el concepto de ente (o concepto que tiene a todos los entes como individuos propios) como el más general posible, o sea, el que comprende a cualquier otro (por ser sus individuos necesariamente entes), considero evidente la existencia –éste es quizás el descubrimiento más trascendente de todos los posibles– de un único ente singular, sin otros esencialmente iguales (o iguales en esencia) a él, a llamar YO (o El Yo), y de infinidad de otros, a llamar cosas, cada uno de los cuales tiene infinidad de copias propias. El éxito de T. E. se debe en gran medida al uso de un idioma natural apropiado para designar las cosas, con ciertas relaciones obvias entre sus nombres que facilitan la determinación precisa de sus significados. Tales nombres naturales se forman como secuencias finitas de signos, a llamar letras (o dígitos), pertenecientes a un alfabeto infinito y ordenado según los números naturales, teniendo las dos primeras, “0” y “1”, el valor unidad, 1, y cada una de las sucesivas restantes el valor del ordinal correspondiente. A cada secuencia se le asigna como valor propio la suma de valores (iguales o distintos) de todas sus letras y se ordena la totalidad de ellas atendiendo, primero, al propio orden de sus valores; después, al de sus mayores segmentos iniciales sucesivos, y, finalmente, al orden alfabético odinario referente a los dígitos de valor unidad. Nombres naturales distintos siempre tienen significados distintos, resultando el que designa a todos los entes esencialmente iguales a cada uno de sus designados, a llamar principal, tener una secuencia propia de letras en orden no decreciente de valor, creciente para las que lo tienen igual a potencia de 2 (con exponente no nulo), y ser el primero de los que tienen –todos los que difieren sólo en el orden de sus letras no iniciales de valor mayor que 1 son de éstos– la misma totalidad de iguales esenciales a sus propios designados. Todo nombre con la letra “0” como inicial, a llamar común, tiene infinidad de entes distintos en esencia designados por él, mientras que cualquiera que comience por una letra distinta sólo designa tantos de éstos como sea el valor de su letra inicial, justo aquéllos de los designados por el nombre común asociado, el diferente sólo en la primera letra, que son también designados por sendos nombres con letra inicial “1”, a llamar propios, y primeros en aparecer en la lista relativa a los de significado comprendido en el de aquél, si principal. De los nombres formados sólo por letras de valor 1, a llamar primarios, todos los comunes, y sólo los propios con letra final “1”, son principales; cada dos de tales comunes que difieren sólo en su letra final tienen significados complementarios en el propio de la subsecuencia inicial común mayor. En general, el significado de cada nombre común sin letras de valor igual a potencia de 2 (mayor que 1), comprende al de todo otro que lo tenga como subsecuencia inicial, mientras que el común principal con letras tales –en general, al nombre con ellas lo llamaré secundario– designa los mismos entes que el obtenido por supresión de ellas, más o menos (según, respectivamente, no o sí lo sean por éste) los designados por los nombres propios ordinarios cuyos ordinales en la lista particular son iguales a los exponentes. Respecto a los nombres restantes, los compuestos por uno común primario más una sola letra final de valor no igual, ni menor en la unidad o en menos que exp(2,exp(2,n)–n)·(exp(2,exp(2,n))–1) que la potencia de 2 más próxima, siendo n el máximo número natural tal que exp(2,exp(2,n+1)) no es mayor que esta potencia, son todos principales, con significados obtenibles por unión finita de los de comunes primarios que tienen a aquél por subsecuencia inicial, con n+2 letras de valor igual a 1 añadidas al final, mientras que ningún nombre común con letras de los restantes valores –los llamaré extraordinarios (y a los otros, ordinarios)– tiene un tal significado. Termino con esto diciendo que los nombres no principales resultan formar pronto mayoría apabullante en la lista total de los nombres naturales, desbordando la capacidad humana, por lo que resulta más que conveniente (al menos, en principio) prescindir de ellos, si se quiere llegar lejos con los principales, donde se encuentran los que tienen significados interesantes de verdad (y siendo, de ellos, los extraordinarios los que, en definitiva, hacen el proceso de asignación de significados –el de los ordinarios acaba haciéndose rutinario, a pesar de permitir separar cualesquiera dos cosas esencialmente distintas con sendos nombres comunes que las designan– interminable y perpetuamente interesante).

 

Según lo dicho, resultan ser “0” y “1” los dos primeros nombres naturales: el primero, común de todas las cosas; el segundo, propio de ciertos entes (todos esencialmente iguales entre sí), a llamar estados (de El Yo) en el idioma vulgar, entre los que existe una relación natural de orden semejante a la ordinaria de los números enteros (que ya se verá tiene mucho que ver con uno de los significados de la palabra “tiempo”). Los siguientes nombres naturales, “00” y “01”, son los comunes de todos los pertenecnientes a sendas categorías complementarias, las dos principales en que se clasifican las cosas, a llamar aentes y uentes, respectivamente: los primeros son o los tales entes llamados estados (1) –el paréntesis encierra el nombre natural– o ciertos otros, a llamar hechos (002), definibles vulgarmente como pasos (realizados por El Yo) de un estado anterior, el inicial, a otro posterior, el final; los segundos son o los entes (esencialmente iguales todos) a llamar espacios (10), o ciertos otros, a llamar sitios, o partes de espacio (014), definibles como entes extensos, divisibles sólo en otros que se tocan y también son extensos.

 

Ya se ha llegado a uno de los sentidos a distinguir de la palabra “espacio”, precisamente el más sencillo y fácil de intuir (al menos, para mí). La relación de contacto entre las partes de un mismo espacio es múltiple: existe una infinidad de grados de contacto, de “intimidad” sucesivamente decreciente (tanto menor ésta cuanto mayor el ordinal de aquél, por lo que quizás sería más natural hablar de la relación de distacto), siendo siempre del primer grado (el de mayor intimidad) el contacto entre dos partes complementarias del mismo espacio, y nunca mayor el ordinal del grado entre dos partes que el de la dimensión de cualquiera de ambas (lo que puede servir para definirla). Según esta noción, cualquier parte puede siempre dividirse en otras dos de cualquier dimensión igual o mayor que la suya, mientras que el producto de la unión de dos disjuntas ( sin parte común) –esta operación está definida sólo para partes de un mismo espacio– nunca puede tener dimensión que supere a la mayor de ambas. Es importante darse cuenta de esto, que debe resultar ya evidente, si se ha acertado con lo significados que doy a las palabras en cuestión, y que espero lo sea, en todo caso, después de tratar los otros sentidos de espacio, para llegar a los cuales se requiere avanzar por T. E., dejando de lado la rama de los uentes y aclarando de paso los conceptos pertinentes a la teoría conjuntista.

 

Las nombres naturales “000” y “001” son comunes de los individuos de sendas clases complementarias de aentes: la primera agrupa los estados con los hechos, a llamar acciones (0012), cuyos estados propios inicial y final no son consecutivos; la segunda a los hechos, a llamar actos, cuyos estados inicial y final sí lo son. Resulta obvio que la relación de orden entre los estados induce otra totalmente análoga entre los actos, y que toda acción puede considerarse compuesta por actos consecutivos, de los cuales el primero y el último tienen sendos estados inicial y final identicos a los propios de la acción, Esto permite analizar rutinariamente las acciones en términos de los actos, y centrar nuestro interés sólo en éstos. Así, pasaré a presentar las primeras dos clases complementarias de actos: una, la de los llamados factos (0010), que incluye los actos volitivos, todos iguales en esencia y a llamar vólitos (101), y los sensitivos, a llamar sensos (00108), y, otra, la de los actos intuitivos, a llamar logues (0011), que, a su vez, comprende la de los logues primarios, a llamar entemas (00110), y la de los referentes a otros logues (como términos propios), a llamar relatos (00111), los cuales pueden ser entidades (001110) o reflexos (001111), según no o sí sean, respectivamente, referentes a sí mismos. Precisamente, llamaré conceptos (00115) a los logues que no son reflexos, o sea, a entemas y a entidades. Con la salvedad de estar determinados sus términos sólo hasta la igualdad esencial, todo relato puede considerarse como directamente referente a sólo dos logues, sus términos directos, o sea, como relato del primero con el segundo, siendo el primero un concepto en todo caso, y el segundo un concepto, si de entidad, o un reflexo (sobre el relato), si de reflexo. Como los términos de un relato pueden ser también relatos, con términos propios (que también lo son de aquél), cada uno puede ser considerado directa o indirectamente referente a cierto número total, a llamar grado entemático, de entemas terminales propios o términos entemáticos (iguales o distintos), y todo reflexo, también, a cierto otro número total, grado reflexivo, de reflexos, o términos reflexivos; más aún, toda entidad con grado (entemático) igual a g (igual o mayor que 2) puede considerarse directa o indirectamente referente a un número total de términos, conceptivos, igual a 2(g–1) (pues son necesarios g–2 pares de paréntesis para pasar de los g términos simples (entemáticos) a los dos directos (asociando cada vez dos consecutivos), y cada par supone añadir un término complejo más a los primeros), mientras que todo reflexo de grado entemático g (igual o mayor que 1) lo puede ser a un número de términos, conceptivos o reflexivos, igual a 2g (pues todo reflexo tiene un término simple no contado en su grado: el reflexo de sí mismo, igual en esencia a él, necesario para cerrar el bucle de la reflexión). (Se puede generalizar el grado entemático, para que sea atribuible no sólo a relatos, sino a todos los logues, conviniendo en que cada uno de ellos sea término de sí mismo, de modo que los propios entemas tengan grado igual a 1, y el número total de términos generalizados de un relato sea ahora igual a 2(g–1)+1 (nímero impar), mientras que el de un reflexo se mantenga igual, por contarse sólo uno de los términos extremos (el propio relato y el reflexo del mismo) a 2g (número par, suma del total de términos reflexivos y conceptivos, siempre en número igual o mayor éstos que aquéllos, obviamente). Con esta convención, se ordenan normalmente los términos de un logue iniciando con él mismo y siguiendo de modo que todos los términos del primero directo de cada término sea anterior a todo otro del segundo directo de cada mismo término. (También podré referirme a otros grados, como el de complejidad de un término, igual a número expresado de términos generalizados propios, o el de profundidad, igual a número de pasos, de un término a otro que lo sea directo suyo, necesarios para ir del logue inicial, único de orden 0, al propio término, pero se supondrá normalmente el entemático, anteriormente definido.)

 

Diré que, en general, un logue representa sólo a los entes llamados individuos suyos, y que por la intuición (como acto componente) de un entema, se los conoce, mientras que, por la de un relato, se los reconoce. También, que el reconocimiento aportado por un relato supone el conocimiento o reconocimiento aportado por cada uno de sus términos, entemas o relatos. Cualesquiera entes tienen un concepto, y también un reflexo, del que sólo ellos son individuos, y todo logue tiene infinitud de otros distintos en esencia que son equivalentes a é, o sea, con sus mismos individuos. Si bien todos los entemas equivalentes son también iguales en esencia entre sí, y todas las copias de un concepto son equivalentes a él, no ocurre, en general, ni lo uno ni lo otro con los reflexos. Llamaré forma (001135) a un concepto sólo si representa a todas las copias de sus individuos propios, y nulidad, o forma nula (00111037), a la entidad sin individuos propios. Todos los entemas son formas no nulas, mas no todas las formas no nulas son equivalentes a entemas (sino sólo, por definición, las de primer grado lógico, que incluye también a las nulas). El conocimiento será tanto más preciso, o menos general, cuanto más concreto, o menos abstracto, sea el entema que lo aporte; dicho de otro modo, cuanto menor sea el número de entes esencialmente distintos representados. Así, el más general posible, lo aporta el entema de ente (1011), que representa a todos los entes. El más preciso, a llamar entendimiento, lo aportan los entemas llamados ideas, cuyos individuos son todos iguales en esencia, sean las de El Yo (1011001), sean las de una cosa (00110110). En cuanto a los relatos, debe advertirse que sus individuos también lo son de sus términos iniciales, no necesariamente –son justo aquéllos del primero directo que se dice cumplen la relación en juego con los del segundo– de los otros, y su intuición no “añade” más conocimiento a los de sus entemas terminales (de ahí lo de “reconocer”). Así, la intuición de la entidad de ente no igual esencialmente a ningún ente más, con dos entemas de ente como términos y equivalente a la idea de YO, no supone el entendimiento de éste, sino sólo su reconocimiento como tal, si es que existe (algo que no se deduce de la propia existencia de la entidad, que puede ser nula, pero sí de la de la idea). Otro tanto pasa con los distintos conceptos equivalentes a las ideas de estado (10110110) y de espacio (101101101) (en los sentidos propios de los nombres naturales “1” y “11”): para poder estar seguro de que existen tales entes llamados estados y espacios (y de la biyección, a tratar luego, entre los unos y los otros), hay que ser capaz de entenderlos, o sea, de intuir sendas ideas propias, cuyo carácter de logue primario, no referente a otros conceptos (como el de sistema de referencia, más complejo o menos fundamental), no casa con los postulados relativistas.

 

Haré patente ciertos criterios seguidos en la asignación de significados diciendo que llamo, respectivamente, volición, sensación, intuición y noción a la acción compuesta sólo por vólitos, sensos, logues o entemas, así como momento, sentimiento, intuimiento, conocimiento y reconocimiento, al hecho compuesto sólo por (uno o varios) actos, sensos, logues, entemas o relatos esencialmente iguales todos entre sí; también, llamaré relación, en el sentido estrictamente canónico (y reservándome el derecho a usar la palabra en otros menos estrictos y, quizás, más vulgares), a la acción compuesta por un primer relato y sucesivos logues iguales en esencia a sus términos, la cual será reflexión si el componente inicial es un reflexo (pudiendo haber cuantas copias seguidas se quiera de la primera reflexión componente). En cambio, reservaré palabras tales como “esencia”, “existencia”, “potencia”, “referencia”, “equivalencia”, equipotencia”… para llamar no a acciones, sino a ciertos actos (concretamente, entemas) especiales, algunos de los cuales, por determinar de modo natural acciones (tales como relaciones) pueden confundirse con éstas. Así, puede ser definida la esencia, de un ente cualquiera, como entema cuyos individuos son todos los entemas que, a su vez, tienen a tal ente como individuo propio (de modo que los entes iguales en esencia son justo los que la tienen idéntica, por tener todo entema a todos o a ninguno de ellos como individuos propios), mientras que la existencia lo puede ser, para distinguirse de la esencia, como entema de los conceptos (entemas o entidades) que tienen al ente en cuestión como individuo propio. La potencia de un entema (o de un concepto) se define, en uno (u otro) de los varios usos que podré admiti de la palabra, como entema cuyos individuos son todos los entemas (o conceptos) comprendidos en aquél. Más fácilmente, las referencias son definidas como entemas de los relatos esencialmente iguales a uno mismo, mientras que las equivalencias, y las equipotencias pueden serlo como entemas cuyos individuos son todos los entemas (unas veces), o todos los conceptos (otras veces), que tienen, a su vez, como individuos propios sólo a entes de los considerados, en unos u otros casos, como equivalentes o equipotentes. Dejando pendiente la definición de correspondencia (matemática) entre (los individuos de) dos conceptos, llamaré correlación a la acción compuesta por dos conceptos, inicial y final, y una correspondencia entre ellos. (Hago constar que, a pesar de mis buenos deseos y para no alargar demasiado, con más y más definiciones, un texto que no pretendo sea definitivo, he usado y tendré que seguir usando alguna que otra palabra como las subrayadas en sentidos vulgares un tanto distintos a (si bien estrechamente relacionados con) los que deberían tener según estos criterios mostrados, con los que sólo pretendo introducir, a modo de ensayo, un poco de orden en el enorme caos del lenguaje vulgar.)

 

Como todo entema que no sea idea de El Yo tiene infinitud de individuos propios (contando los iguales), su intuición no aporta la determinación de ente único, sino salvo igualdad esencial. Si bien es posible determinar una sola cosa cualquiera por intuición de relatos, sucede que la capacidad humana no basta para intuir entidades con sólo número finito, no nulo, de cosas como individuos, sino que necesita recurrir a los reflexos, o sea, hacer referencia al propio acto reflexivo: el orden propio (entero) existente entre los actos posibilita la determinación de cualquier acto mediante su ordinal, anterior o posterior al reflexo, así como la de cualquier acción o estado (y también la de cualquier uente, como se verá más tarde). (Así, por ejemplo, el reflexo de acto n-ésimo posterior al propio reflexo representa como único individuo el paso a dar del estado n-ésimo, contando a partir del estado final del propio reflexo, al siguiente.) Mas sucede que los reflexos no aportan reconocimientos que puedan considerarse propiamente constantes de sus individuos (como lo hacen las entidades en el proceso de su intuición), sino, en general, variables: los reflexos pueden tener iguales esenciales que no son equivalentes entre sí. Así, por ejemplo, sucede con cada reflexo de ente idéntico al propio reflexo: todos son relatos iguales en esencia, con sendos individuos únicos, también copias unos de otros, pero no idénticos –cada uno sólo puede serlo a sí mismo–, por distinguirse en los estadíos en los que ocurren (o acciones circunstanciales de las que son componentes). En realidad, cualesquiera entidades (equivalentes o no entre sí) tienen sendos reflexos esencialmente iguales todos entre sí de los que son posibilidades, o sea, entidades equivalentes (como logues que son todos) cada una a uno de ellos. Procede, pues, definir las potencialidades de un reflexo como entidades de posibilidades propias de sus iguales en esencia, y la potencia como entema de todas sus potencialidades, así como llamar equipotentes entre sí a los reflexos que la tienen idéntica. Según esto, todos los reflexos iguales en esencia también lo son en potencia, pero hay, en general, infinidad de equipotentes que no son copias unos de otros. (A propósito del reflexo antes citado como ejemplo, quiero llamar la atención sobre el hecho de que ninguna de sus posibilidades es complementaria (o sea, carece de indiviuos comunes y tiene a todos los restantes) de cualquiera de las del reflexo de ente no idéntico al propio reflexo (cuyos individuos son todos los entes existentes, salvo él mismo), pues todas éstas tienen un individuo en común con aquélla: una copia de aquel reflexo, y carecen de un individuo que tampoco lo es de la primera: una copia de este reflexo.)

 

Aunque la capacidad humana no basta para determinar cosas únicas de modo constante, sí permite intuir conceptos de entidades con individuos únicos, así como el entema de tales conceptos, que garantiza tanto la existencia de éstos como la de sus entidades individuales, o sea, de estadíos superiores a los humanos, a llamar divinos, de tales actos determinantes. Definiendo la realidad de un estado, y la circunstancialidad de un hecho, como el concepto (entidad) de los hechos que tienen, respectivamente, el estado como inicial o final propio, o el hecho como componente propio, así como la realía de un estado, y la circunstancia de un hecho, como el entema de los hechos que son iguales en esencia a los individuos de las realidades, o de las circunstancialidades propias, resulta evidente que cualesquiera aentes, iguales o distintos en esencia, tienen, cada uno, todas sus realías o circunstancias (iguales entre sí) distintas en esencia a las de cada otro. Como la existencia de la realía o de la circunstancia (fuera del alcance humano) de un aente queda garantizada por la del entema (al alcance humano) de tales otros entemas llamados realías o circunstancias, también lo queda la del relato de hecho componente común de los individuos de la circunstancia, resultando evidente que lo representa como único individuo propio. En cuanto a los uentes, la correspondencia natural existente entre estados y espacios (a tratar después) permite determinarlos también de forma obvia. Adviértase que la determinación del acto único mediante la realización de un concepto implica la del propio orden entero naturalmente existente entre los actos, pero no la imposible (mediante conceptos) del propio concepto realizado, ya que, como cualquier cosa, tienen infinidad de iguales en esencia, cada uno de los cuales determina el mismo acto único (distinto a ellos mismos): ni siquiera en estadíos divinos, cualquiera que sea su capacidad, se puede (o puede El Yo) saber, con absoluta seguridad, cuál de esas copias del concepto realizado es la idéntica al propio concepto, o sea, cuál de los futuros (y cuál de los pasados) posibles es el actual, o propio suyo.

 

Para despejar posibles dudas interpretativas, diré que construyo el nombre común normal de todos los conceptos (o de las entidades) equivalentes entre sí añadiendo al nombre “concepto” (o “entidad”) la conectiva “de” y cualquier nombre común que designa sólo a sus individuos (y denota a los propios conceptos equivalentes); asímismo, el propio de (las copias de) un entema, con “entema de” y el nombre común de sus individuos; item, el común de todos los relatos (o reflexos) con términos directos correspondientes iguales (sea cual fuere la relación de referencia entre los individuos de éstos) con “relato de” (o “reflexo de”) seguido del primer nombre (común o propio) terminal, de la conectiva “con” y del segundo nombre terminal; finalmente, el propio del relato (o reflexo) que establece cualesquiera relaciones entre los individuos de los términos directos de sendos otros suyos de complejidad mayor, con “relato de” (“reflexo de”) seguido de los nombres terminales, comunes o propios, que denotan sus sucesivos términos simples (y designan los individuos de èstos), intercalando (o sobreentendiendo) los pares de paréntesis que indican las asociaciones establecidas entre los términos del relato, y, entre ambos nombres (simples o complejos) de cada par, el indicador de la relación binaria establecida por el relato entre los téminos correspondientes. También se puede formar el nombre común normal de todos los logues equivalentes anteponiendo “logue de” al nombre común de sus individuos, pero debe advertirse que, mientras siempre existe el entema de los conceptos equivalentes a uno cualquiera, puede suceder que no exista el entema de tales logues (por no ser equivalentes todas las copias de reflexos equivalentes), sino sólo las entidades de tales logues, asi que no se puede pretender evocar con tal nombre un tal entema, sino, como máximo, el entema de los conceptos equivalentes –hay que procurar ver esto claro, si se quiere tener éxito en el estudio del presente texto– a tales entidades. Llamo la atención sobre los distintos usos que doy a las palabras iniciales de “logue de…”, “concepto de…” o “entidad de…”, por una parte, y de “relato de…” (o de “reflexo de…”), por otra, y que me permiten pasar del nombre propio normal de (los iguales esenciales de) cierto relato que sea entidad al común (con significado obviamente decreciente) de todos los logues, conceptos o entidades equivalentes a él sustituyendo, sin más, la tal palabra del uno por la del otro. Sobre los indicadores de relaciones, baste decir que, en general, son expresiones relativas al nombre siguiente (y, posiblemente, a los anteriores) que sirven, junto con éste, para limitar el significado del precedente, pudiendo constar bien de una simple palabra específica (“sí”, “no”…), bien de varias, como nombres (“individuo”, “parte”…) o adjetivos (“igual”, “distinto”…) y conectivas (“a”, “de”…)… (Adviértase que no se concede valor significativo independiente a tales nombres relativos, componentes de los indicadores, sino sólo dependiente de los propios sustantivos terminales.

 

Como los relatos (o las referencias) determinan, cada uno, tantas relaciones binarias, de tipos iguales o distintos, como sea su grado entemático propio menos uno o menos cero, según sea entidad o reflexo, el criterio (seguido en T.E.) para clasificarlos, asignandoles nombres comunes naturales primarios (con sólo letras de valor unidad), se atiene, primero, a la estructura del relato (definible como entema de los relatos cuyos términos correspondientes, según el orden normal, son del mismo grado), y, segundo, al orden natural de los propios tipos de relación, algo cuya determinación, ya en su fase inicial, resulta un tanto problemática, pero que puede dejarse indeterminado, por no interferir el proceso rutinario posterior. En todo caso, se puede definir el tipo referencial de relato como entema de los relatos análogos, que tienen la misma estructura y los mismos tipos de relaciones binarias establecidas entre sus términos correspondientes que pueden ser distintos (o diferir sus nombres propios normales en sus componentes terminales, pero no en sus indicadores de relaciones binarias). (Debe advertirse que el nombre ¨relación” se usa vulgarmente en multitud de sentidos, cuales pueden ser, precisamente, los tales tipos referenciales. También, que la condición de ser indicador relativo a componentes terminales anteriores del nombre normal del relato no hace a éste reflexo, si no lo es al nombre inicial. Así, el nombre “relato de concepto individuo de sí mismo” puede designar un concepto, o un reflexo, según se interprete como equivalente a “relato de concepto individuo del mismo concepto”, o a “relato de concepto individuo del mismo relato”: el primero de estos nombres designa al relato (concepto) cuyos individuos son los conceptos que se tienen a sí mismos como individuos (no idénticos a, sino independientes de la copia actual del relato), mientras que el segundo designa al relato (reflexo) cuyos individuos son los conceptos que tienen a la copia actual del relato en cuestión como individuo propio (la misma para todos, pero dependiente de la copia actual del relato.)

 

El entema de concepto (o la totalidad de los conceptos) puede dividirse en infinidad de entemas (o de entidades) disjuntos, sin idividuos comunes, a llamar órdenes lógicos y numerar a partir del cero, tales que cada uno de ellos represente sólo a los conceptos equivalentes a otros con igual grado entemático mínimo, o sea , sin equivalentes que lo tengan menor (de modo que los conceptos de orden lógico n, o n-lógicos, pueden tener cualquier grado entemático superior a n, siempre que sean equivalentes a relatos con n+1 términos entemáticos y nunca a otros con menos). Definiendo grado lógico (n-grado) como entema producto de la unión de los sucesivos primeros órdenes (n+1 primeros, del 0 al n), o sea, entema que comprende a éstos y a ningún entema más disjunto de ellos, resulta que, el primer grado lógico, el 0-grado, representa sólo los entemas y conceptos equivalentes a ellos, así como el segundo, el 1-grado, todas las finidades, o entidades finitas, no equivalentes a la idea de El Yo, así como las que difieren de un entema, por exceso o defecto, en una de éstas (pero no sólo ellos), mientras que todos los conceptos de grado mayor que 1 son infinidades, o sea, tienen infinitud de individuos propios. (Se puede proceder de modo análogo con la totalidad de los logues, en vez de la de los conceptos, pero entonces los órdenes lógicos, así como los grados, a llamar ahora logias, ya no pueden ser entemas, sino sólo entidades, pues las posibilidades de reflexos iguales en esencia pueden tenerlos distintos, hasta sin haberlo máximo.)

 

Precisando el significado vulgar de la palabra en el sentido considerado más interesante, llamaré teoría al entema de los logues comprendidos en el mismo concepto, a llamar universal (de la teoría), que representa a todos los individuos, a llamar proentes (de la teoría), de todos ellos. Así pues, la teoría de los entes representa, propiamente, no a todos los entes (como hace el entema de ellos), sino sólo a los que son logues (sus individuos propios). También, llamaré idioma de una teoría al entema de los sensos (nombres) que denotan, cada uno (y salvo igualdad esencial), sólo a uno de los logues individuales de ella (y designan a los individuos de los logues denotados), y que son de valor constante o variable, según denoten, respectivamente, conceptos o reflexos (por designar los primeros, en todas las circunstancias (o sea, todas las copias de uno mismo) los mismos entes, mientras que, en general, depende de sus circunstancias el que los segundos designen los individuos de una o de otra posibilidad individual de la potencia del reflexo. Ejemplos de nombres variables especiales son los llamados sentencias, que denotan sendos reflexos cuyos indiviuos son los idiomas en los cuales tienen sentido verdadero, y que son llamadas ciertas, si el idioma actual (de ahí lo de ser reflexo) es uno de ellos, mientras que falsas, si no lo es: El conocimiento de las normas del idioma sobre la veracidad o falsedad de las sentencias en función del significado de sus argumentos nominales y de las relaciones (dependientes del idioma actual) indicadas por el verbo y las demás palabras componentes permite la definición usual de una teoría mediante la condición de que sus individuos (logues) hagan ciertas todas las sentencias postuladas como axiomas cuando sus argumentos variables los denotan, así como la comunicación entre personas, con la condición de decir siempre frases ciertas (que posibiliten, a partir de sus datos, o argumentos con significado conocido, descubrir el significado desconocido del argumento en cuestión).

 

Quiero llamar la atención sobre el hecho de que el idioma de los nombres naturales considerado al principio no es, ni mucho menos, completo (en el sentido de denotar todo concepto distinto, equivalente o no, con nombre distinto), sin que ello impida la perfección en la parte que le toca (algo que creo es posible lograr, a pesar de los numerosos cambios habidos y por haber en el proceso). Primero, es obvio que no tiene secuencias para designar a El Yo. Tal carencia resulta fácilmente subsanable de dos maneras: una, introduciendo una letra especial, sea “I”, para designar sólo a tal ente cuando es la única de la secuencia, y también a los designados (cosas) por el segmento final restante cuando va al principio de una mayor (sin que pueda ir en cualquier otro lugar de la secuencia); otra, con nueva letra especial, sea “E”, para desigar a todos los entes cuando va sola, y a todos menos los designados por el segmento restante cuando va al inicio de la secuencia. Segundo, carece de nombres de valor variable, que denoten reflexos; y tercero, sus nombres no distinguen entre los conceptos equivalentes denotados (o, si se prefiere, sólo permiten denotar uno de ellos). Estas carencias pueden remediarse introduciendo nuevas letras especiales, sean “U” y “A”, que sustituyan sendas subsecuencias iniciales “101111” y “101110”, comunes de todos los nombres propios que designan reflexos o entidades: el nombre resultante es el que denota al reflexo o entidad designado por el nombre completo de partida (o sea, uno de los que denotan los reflexos equipotentes a él o entidades equivalentes a ella, y designan, variable o constantemente a sus individuos, los de cada posibilidad del reflexo o los de la entidad). Así, se puede completar el idioma natural de modo que los nombres antiguos sean los que denoten los entemas, si principales, o las únicas entidades a llamar primarias entre todas las equivalentes no nulas, si no son principales, mientras que los nuevos, según sean constantes o variables, denotan las restantes entidades o los reflexos. Es evidente que tal idioma natural, completado o no, no puede sustituir al vulgar en la comuniciación ordinaria (basada en los reflexos y condicionada por la limitada capacidad humana, que exige, para lograr la máxima eficacia, cierto equilibrio entre la precisión y la ambigüedad), pero sí servir para precisar perfectamente los significados (y facilitar el reconocimiento del camino a seguir en la construcción de T. E.).

 

La Matemática puede definirse como la teoría cuyos proentes son los conceptos, a llamar sistemas, y las acciones, a llamar procesos (mejor que secuencias, que prefiero definir como entemas), compuestas por copias de sistemas, a llamar términos (en nuevo sentido), atómicos (de individuos únicos, que pueden también ser impropiamente llamados términos), tales que hay sólo un sistema equivalente a cada logue, y sólo un proceso con cualesquiera sistemas atómicos como términos sucesivos. El concepto universal (o los conceptos equivalentes universales) de la teoría matemática debe tener, pues, su propio sistema equivalente, que es obvio no puede equivaler a un entema, y comprende al sistema total de los sistemas, a llamar potencial, y a los totales de procesos con un mismo número, n, de componentes, a llamar n-productos cartesianos del sistema total de entes (el universal absoluto, de la teoría de los entes). Que los proentes de esta teoría sean no cualesquiera entes, sino sólo ciertos conceptos o ciertas acciones compuestas por conceptos atómicos supone que no importa entender, ni siquiera conocer, los individuos de éstos, sino sólo reconocer los sistemas, o los procesos, de modo que se los pueda identificar, o sea, distinguir cada uno de cada otro, bien por los individuos propios (en el caso de sistemas), bien por los de sus componentes (en el caso de procesos). Como pasa con el entema de los conceptos, la totalidad de los sistemas, o sistema potencial, se puede dividir en nuevos órdenes lógicos (n-lógicos, n≥0, esta vez sólo de sistemas), que pueden obtenerse eliminando de los antiguos todos los conceptos que no sean sistemas y dejando sólo los que sí son, aunque convendremos en unir los dos primeros así obtenidos en el orden a numerar con el cero, el 0-orden, y seguir normalmente con los sucesivos. Asímismo, se pueden también llamar grados lógicos, o logias (n-grados, o n-logias, sólo de sistemas) a los productos de la unión de los primeros órdenes lógicos (n+1 primeros órdenes lógicos, o sea, del 0 al n-ésimo), de modo que cualquier sistema de cualquier grado también lo sea de cualquier otro mayor. Ahora, se puede definir conjunto como sistema 0-lógico, o sea, del primer grado, o 0-grado, así como llamar elementos a sus individuos, con lo que se llega al sentido preciso que se pretendía encontrar de la palabra en cuestión, a falta de saber cómo se determinan, entre todos los equivalentes, los conceptos a llamar sistemas. La teoría de conjuntos, o sea, la teoría cuyos proentes son los sistemas 0-lógicos o conjuntos, tratada en uno de los trabajos aquí presentados, tiene por concepto universal propio, representante de todos éstos, a uno que resulta ser 0-lógico y, por tanto, tener un equivalente que es conjunto, o sea, proente de la teoría (como también lo es el conjunto total de los entes, o universal absoluto), y puede ser considerada como subteoría fundamental de la matemática, en el sentido de poderse, como se indicará en el citado trabajo, determinar en términos exclusivamente propios de ella cuáles son los individuos de cualquier sistema de cualquier orden. Ciertamente, la determinación de los conceptos llamados sistemas por intuición de una entidad que los tenga, sólo a ellos, como individuos propios supera los límites de la capacidad humana, pero podemos fácilmente conseguirla (si bien sea de modo variable) por realización de reflexos que determinan una tal entidad, cuales pueden ser los relatos de las tales entidades últimamente (realizadas por El Yo en estadíos sobrehumanos) anteriores a ellos mismos. Como ya se ha advertido, la intuición de un tal reflexo no garantiza la existencia de una tal entidad (como sí lo haría la intuición de ésta), sino sólo la del concepto, primer término suyo, que las representa (y que, de no existir ninguna, resultaría ser nulo o vacío, pero existente), por lo que hay que postular su existencia y comprobar su compatibilidad tanto con la de los conceptos que sí podemos intuir (los llamados dictados de la intuición) como con los postulados considerados superiores en jerarquía. (Debo advertir que la determinación de esta jerarquía resulta muy problemática (al menos, para mí), y pueden cometerse errores con suma facilidad. Yo creo haberlos cometido en muchas ocasiones (sobre todo, al adjudicar un grado lógico a los sistemas) y seguro que todavía tengo alguno por corregir, pues no me contengo en lo de realizar postulados no suficientemente contrastados; pero ello no debe importar demasiado, si esa corrección no supone un vuelco en la teoría, sino simples retoques que no afectan a los fundamentos, como creo debe ocurrir si se respetan ante todo los dictados de la intuición.)

 

Definiendo el producto cartesiano de un primer sistema por un segundo (igual o distinto) como el sistema de los procesos, a llamar pares, cuyos individuos terminales son de tales sistemas, se puede ya seguir el método habitual en matemáticas para determinar por los subsistemas, a llamar pareamientos, de pares de términos correspondientes las correspondencias entre (los individuos de) los primeros sistemas y los segundos (que pueden definirse, de acuerdo con criterios apuntados, como entemas de los entes iguales en esencia a los pares de los respectivos pareamientos). Las correspondencias biyectivas son las determinadas por pareamientos, a llamar apareamientos, sin primeros ni segundos términos de los pares propios repetidos, pero con los respectivos productos de unión total, de los unos, o de otros, iguales a los sistemas en correspondencia. Se define la sucesión de un primer apareamiento, entre un primero y un segundo sistemas, con uno segundo, y un segundo, de este segundo sistema con un tercero, como la operación que produce el apareamiento, del primer sistema con el tercero, que aparea (o cuyos pares tienen por términos) ambos individuos (del primer y tercer sistemas) apareados (por sendos apareamientos primero y segundo) con el mismo individuo del segundo sistema. (Es obvio que el sistema de todos los apareamientos, a llamar permutamientos (impropiamente, permutaciones), de un mismo sistema consigo mismo es un grupo respecto a la operación de sucesión.)

 

La Geometría puede definirse como teoría (subteoría) matemática cuyos sistemas proentes, llamados planos, cumplen los axiomas geométricos, relativos a ellos (cuales pueden ser los de la lista al final del presente texto). Aunque formalmente, en la teoría matemática, no importe conocer la naturaleza (o esencia) de los individuos, llamados puntos, de tales sistemas llamados planos, puede resultar muy útil definirlos en términos de conceptos intuídos, para apreciar la consistencia de los axiomas y procurar la máxima claridad en su interpretación. Así, en la teoría matemática cuyos sistemas proentes son los de partes de un mismo espacio, se puede definir serie (también llamada, impropiamente, sucesión) como sistema maximal (no ampliable sin dejar de cumplir la condición) de procesos tales que uno de cada dos es subproceso inicial (en el sentido obvio) del otro;

también, llamándola convergente, regularmente convergente y puntualmente convergente, respectivamente, sólo si cada parte terminal posterior es propia de (está contenida en) toda anterior suya, sólo si, además, el grado de distacto entre cada parte terminal posterior y la complementaria de cada anterior es el mayor posible, y sólo si, además, tiene una parte terminal propia contenida en cada parte tal de cualquier serie regularmente convergente que tenga, a su vez, una parte terminal propia contenida en cada una de las terminales de ella, así como equivalentes (entre sí) a varias convergentes sólo si cada una tiene una parte terminal propia contenida en cada parte terminal de cada otra, se puede definir punto como clase (sistema) de las series puntualmente convergentes equivalentes e identificar la parte de espacio con el sistema de sus puntos propios, los de series de partes terminales contenidas en aquélla. (Nótese que puede haber series convergentes que no lo sean puntualmente, como la obtenida uniendo las sucesivas partes terminales correspondientes de varias que no sean equivalentes, y que los puntos que pueden llamarse (en el sentido obvio) fronterizos no pertenecen, según la definición dada, a ninguno de los sistema identificados con sendas partes complementarias.) Con estas definiciones, se pueden identificar (tratar como a idénticos) los espacios y sus partes (o sea, los uentes) con ciertos aentes de los aquí llamados sistemas de puntos. Mas ni la apuntada correspondencia entre las partes del espacio extenso y los subsistemas del espacio de puntos, ni cualquier otra más o menos natural que pudiera definirse entre los sistemas totales de unos y de otros, resulta ser biyectiva: el espacio de puntos tiene más subsistemas que los identificables con partes del extenso y pretender tratar todos como si fueran de éstos, o sea, confundir las dos nociones de espacio puede llevar a cometer (como, de hecho, ha sucedido, tanto en Física como en Matemática) graves errores: sólo la noción de espacio extenso es fundamental y fácil de intuir, por estar directamente relacionada con los perceptos –llamo así a los actos que no son vólitos, o sea, a los sensos o logues, (0018), que componen las percepciones– y no necesitar de definiciones en términos de otros conceptos, y es la noción de espacio de puntos la que debe adecuarse a aquélla, no al revés. (Con todo, existe una coordinación natural entre el sistema total de partes del espacio extenso y el de las clases que asocian todos los sistemas de puntos cuyos cierres (en la topología natural, resultante de ampliar la métrica ordinaria (basada en la noción de número real o serie decimal del primer orden lógico) por consideración de los demás órdenes lógicos y de los valores, a llamar infinitésimos, menores que cualquier real mayor que cero) tienen un mismo interior separado del propio del complementario, no vacíos, por una frontera, que es cortada por toda curva que pase de uno a otro, según los dictados de la intuición sobre las relaciones de contacto entre partes del mismo espacio extenso).

 

Además de la relación de igualdad esencial, existen entre los uentes estas dos relaciones naturales de equivalencia, respectivamente menos y más exigentes que aquélla: la topológica y la métrica, que los asocian según criterios, que supongo obvios, de analogía perfecta con las relaciones de contacto entre ellos, la primera, y, además, de medida respecto a una misma copia, la segunda. Llamaré figuras tanto a las clases (o sistemas maximales) de iguales métricos como a las de equivalentes topológicos, sirviendo los adjetivos subrayados para distinguirlas, si bien podré llamar, a veces, topos a éstas, y figuras sólo a aquéllas. (Luego se podrá ver que los uentes iguales en esencia pero de figuras métricas distintas tienen necesariamente tamaño, o distancia máxima entre sus puntos, de valor infinitésimo, por lo que las igualdades esencial y métricas son las mismas para los uentes de tamaño finito, o no infinitésimo.) Sucede también que cada par de espacios determina de modo natural una correspondencia biyectiva compatible con la igualdad métrica (es decir, que aparea sólo partes con la misma figura) entre ambos sistemas totales de partes propias, a llamar superponencia (impropiamente, superposición temporal), y sendas otras, también biyectivas, de tales sistemas de cualesquiera espacios (no sólo los del par) en sí mismos, compatibles con la equivalencia topológica y la superponencia (o sea, apareadoras sólo de partes con el mismo topo y respectivamente superpuestas las de los distintos espacios) y a llamar permutas (o, impropiamente, permutaciones espaciales), tales que la sucesión de la superponencia de un primer espacio con un segundo y la de éste con un tercero cualesquiera produce la del primero con el tercero, y análogamente la de las respectivas permutas determinadas en un mismo espacio cualquiera por tales pares de espacios, de modo que el sistema total de las permutas de cada espacio sea, respecto a la operación de sucesión, justo el grupo total de los respectivos apareamientos compatibles (teniendo como elemento unidad a la permuta determinada por las superponencias de pares de espacios idénticos). Definiendo el paracto como la clase de los pares, paralelos, de espacios determinantes de las mismas permutas, y la sucesión de paractos como la operación inducida de modo obvio entre ellos por la sucesión de permutas correspondientes de un mismo espacio, resulta que el sistema total de paractos, a llamar paracton, es un grupo isomorfo a los de las permutas del mismo espacio, determinando de modo natural una obvia estructura, paralelismo, en el sistema total de espacios, que permite identificar cada paracto con la biyección, paralela, del tal sistema sobre sí mismo que lleva el espacio del primer término de cada par por él asociado al del segundo.

 

En general, se puede definir una estructura formal de paralelismo, en un sistema base arbitrario de individuos (estados, espacios, puntos…), como sistema (paracton) de biyecciones (paractos) de la base en sí misma que forman grupo por la sucesión, tal que, por cada par de individuos propios, sólo una de ellas lleva el primero al segundo. Se demuestra muy fácilmente que toda estructura de paralelismo determina en la misma base otro, conjugado, cuyos paractos se identifican con las biyecciones que conmutan (por la operación de sucesión definida en el grupo total de ellas) cada una con todas las del primero (resultando evidente que el paralelismo conjugado del conjugado de uno es éste mismo, y que ambos son idénticos si el paracton es conmutativo). (También es fácilmente demostrable que la correspondencia entre paractones (de paralelismos) conjugados que aparea el paracto del uno que lleva un mismo primer individuo a un segundo cualquiera con el paracto del otro que lleva el segundo al primero es un isomorfismo; item, que el sistema de todas las biyecciones de la base en sí misma obtenidas por sucesión de dos biyecciones paralelas según sendos paralelismos conjugados es un grupo homomorfo por la sucesión al producto directo de los paractones conjugados, cuyos subgrupos de todas las biyecciones que dejan invariante un mismo espacio son conjugados (en el sentido usual) todos entre sí, y homomorfos al paracton.) En general, varios subsistemas de la base serán llamados paralelos entre sí, respecto a un paralelismo dado, cuando cada uno se puede obtener de cada otro aplicando (como operador) un paracto propio del paralelismo conjugado (para que sean paralelos los pares de puntos correspondientes). Llamando director al subgrupo del paracton que posee un orden lineal (como un intervalo de recta) y local (en torno al paracto nulo) según el cual todo paracto propio tiene una raíz primitiva de cada orden (natural) cuyas potencias de orden menor están todas entre el paracto nulo y él mismo, así como rectilíneo al sistema total (órbita) de los espacios obtenidos de uno mismo por paractos de un mismo grupo director, defino las direcciones del sistema total de espacios como particiones de éste en sistemas rectilíneos paralelos, y supongo obvia la relación entre éstas y las particiones, a llamar lineaciones, del espacio puntual en líneas (que pueden degenerar en puntos).

 

El método algebraico esbozado al principio del texto de Teoría Fisica considera el sistema total de permutas isométricas del espacio, compatibles con la relación de igualdad métrica y llamadas por mí tractos (impropiamente tracciones), como grupo, llamado tractón, por la operación propia de sucesión, generado por ciertas permutas especiales, llamados puntores (impropiamente, puntos e inversiones), que forman un sistema coordinable de modo obviamente natural con el sistema total antes tratado de los puntos del espacio. Tal método permite definir de modo sencillo y natural los conceptos geométricos fundamentales, poniendo en evidencia el papel singular que juega el llamado plano natural, de dimensión 3 (grado 4), de acuerdo con la tridimensionalidad del llamado espacio físico (cuyas esferas centradas en el punto de observación sirven de campo donde plasmar –estoy hablando en términos un tanto metafóricos– los sensos llamados imagos (001008) –la última cifra es para excluir a los vólitos, designados también por la subsecuencia inicial, y quedarse sólo con los sensos que permiten distinguir partes del campo, como son las imágenes ordinarias, contrariamente a los restantes sensos, llamados sones (00101), que colorean uniformemente el campo– en T. E.). En efecto, el plano natural es el único en que se puede definir, como base, una estructura de paralelismo –el papel anterior de los espacios lo juegan ahora los puntos del plano– de modo que los paractones conjugados, llamados sentidos, no sean uno mismo –el caso de paralelismo conmutativo, el de la recta, es trivial– y los paractos se identifiquen precisamente con las tracciones definidas por tal método como traslaciones propias de ese plano (la cuales se asocian, según los sentidos, en dos grupos cuyo producto directo resulta ser el grupo total de las rotaciones). Es por esta singularidad del plano natural que el espacio total de los puntos (o, si se quiere, de los puntores), puede descomponerse en planos naturales paralelos, y no en cualesquiera otros paralelos de una misma dimensión distinta de 3 o 1. Como la recta no tiene esferas en las que plasmar las imágenes, el plano de dimensión tres es el único que permite determinar de modo natural (por experiencia sensitiva ordinaria y procesamiento cognitivo subsiguiente) los uentes (espacios extensos y partes), como luego trataré de explicar. (Cave también preguntarse por qué el campo donde se plaman las imágenes debe ser una esfera bidimensional (en el espacio tridimensional), y no de dimensión mayor. La contestación debe basarse en el carácter primario de los sensos: son los primeros pasos de las percepciones, los componentes más sencillos, que no requieren campos de mayor dimensión, sino que aportan los datos bidimensionales a procesar congitivamente para realizar percepciones en cualquier dimensión).

 

El primer criterio para clasificar los uentes seguido en T. E. se refiere al número de percomponentes propias, que son las mayores partes del uente que no se componen, a su vez, de dos partes complementarias (respecto a aquéllas) no en contacto de primer grado (el de mayor de intimidad), de modo que el nombre natural “010” designa los espacios (11) y las partes con varias percomponentes propias (0104), mientras que “011” designa sólo a las partes, a llamar perconexas o piezas, con sólo una percomponente propia, así como “0100”, “01000”… designan, todos en común, a los espacios y, además, respectivamente, a las partes con más de dos, tres… (01004, 010004…), y “0101”, “01001”… a las partes con sólo dos, tres… percomponentes propias. El segundo criterio clasificador se refiere, en todos estos casos, a la dimensión topológica de las partes, definida como la dimensión del plano de menor grado que contiene el sistema de puntos perhomeomorfo a (o del mismo topo que) el identificable (según lo indicado en un párrafo anterior) con la parte en cuestión, pero importando sólo si es igual, o si es mayor que 1, de modo que el nombre “0110” designa sólo las piezas, a llamar segmentos (o diedroides), de dimensión topológica igual a 1, y “0111” las de dimensión mayor, a llamar fragmentos, mientras que “01010”, “010010”…  y  “01011”, “010011”… designan, aquéllos, las partes de dimensión topológica igual a 1 y, éstos, las de dimensión mayor, respectivamente para unos y otros, con sólo dos, tres… percomponentes propias (necesariamente, segmentos todas las de aquellas, y fragmento de mayor dimensión, igual al de la parte, alguna de las de éstas). El siguiente criterio para clasificar las partes de dimensión topológica igual a 1, tanto sí como no perconexas, se refiere a su dimensión geométrica, definida como la dimensión del plano de menor grado que contiene al sistema de puntos identificable con la parte (y nunca menor que la topológica), de modo que los segmentos que la tienen igual a 1, a llamar diedros, son designados en el idioma natural por “01100”, y los que la tienen igual a 2, 3… lo son por “011010”, “0110110”…, mientras que los nombres de las partes con sólo dos, tres… percomponentes y de dimensión geométrica igual a 1, 2… son “010100”, “0101010”… “0100100”, “01001010”…, respectivamente. En cambio, las partes de dimensión topológica mayor que 1 se clasifican, antes que por la dimensión geométrica, por el número de percomponentes de las complementarias propias, de modo que “01110” y “01111” designan los fragmentos, a llamar monofaces o plurifaces, cuyos complementos son perconexos o no perconexos, respectivamente, y análogamente “010110”, “0100110”… y “010111”, “0100111”…, respecto a las partes de sólo dos, tres… percomponentes propias. (Nótese la singularidad de la dimensión 1: ambas partes complementarias tienen siempre igual número de percomponentes, todas segmentos.) Los criterios para clasificar monofaces se refieren, sucesivamente, a las condiciones de ser o no ser parte de un segmento, de ser sí o no de dimensión topológica igual a 2, de ser sí o no de dimensión geométrica igual a 2, o de tener sí o no dimensión topológica igual a 3…, mientras que la clasificación de plurifaces se rige atendiendo exclusivamente a la ya realizada de sus posibles complementos, que son siempre partes desconexas de dimensión topológica mayor que 1, las cuales se clasifican atendiendo, primero, a la jerarquía de las percomponentes propias y, después, a la de las complementarias…, pero no voy a seguir con ellos, sino sólo un poco más con el proceso de clasificar las partes llamadas diedros, para poner en claro la noción de número que considero más fundamental.

 

Considero obvia la relación natural de orden entre las clases, a llamar longitudes, de todos los diedros (o segmentos de dimensión geométrica 1) métricamente iguales, así como la operación, a llamar adición (así como suma al producto de factores), que se puede definir en el sistema total de ellas, ampliado con la clase, a llamar modular, de todos los espacios (y que es semejante a la adición de los ángulos, o de los residuos módulo 1). También supongo que se puede intuir (algo que no me parece sea demasiado difícil) la geometría natural del sistema total de rectas concurrentes en un mismo punto (en un espacio de dimensión infinita, cuya geometría no se prejuzga), justamente análoga, con ciertos detalles a precisar, a la atribuída al espacio de puntos, así como apreciar la posibilidad de representar fielmente las partes del espacio extenso con ciertos sistemas de puntos contenidos, cada uno, en un plano de cualquier dimensión finita mayor que una mínima (la geométrica propia de la parte), de modo tal que los diedros complementarios (respecto al espacio) se representen, en dimensión 1, con sendos intervalos de los dos determinados por dos puntos extremos, y, en dimensión 2, 3, 4…, por sendas regiones –de ahí el nombre de diedro– limitadas por dos planos de dimensión 1 (rectas), 2 (planos ordinarios), (planos naturales)… (Sin embargo, no deben ser identificados los sistemas totales de las partes del espacio extenso con los de tales sistemas puntuales representativos: puede suceder, por ejemplo, que el producto de la unión de un conjunto infinito de tales sistemas puntuales no sea un tal sistema representativo (por no existir la parte compuesta por las representadas con aquéllos), ya que toda parte extensa tiene dimensión finita (a pesar de tener partes propias de cualquier dimensión no menor que la suya –quien sea capaz de intuir el entema de parte extensa puede darse cuenta de ello– y es perfectamente posible que un tal producto sea de dimensión infinita. Comprender esto permite superar alguna que otra dificultad lógica que puede surgir). Así, los diedros se pueden clasificar en los que llamo finidiedros (011000) o en los infidiedros (011001), según sí o no tengan longitudes que puedan ser identificadas a distancias entre puntos del menor sistema que cumple todos los axiomas geométricos (como los señalados al principio del texto de Teoría Física) –en etapas anteriores de mi vida he considerado tal sistema como el más fundamental de los espacios de puntos definibles, por lo que alguna vez (como en el trabajo sobre conjuntos aquí presentado) he llamado espaciales a tales distancias (o a sus razones de medida), que ahora prefiero llamar finitales, así como infinitales a las demás– que no exigen la existencia de otras más que las implicadas por la propia de las racionales módulo unidad (o longitud modular), o sea, la de aquéllas cuya adición repetida del mismo sumando llega a producir el módulo (o longitud modular). Los finidiedros, pues, se clasifican en los de longitud de medida racional (0110000) y en los de medida irracional (01100001); a su vez, los primeros de éstos lo son por criterios referentes al sistema de numeración de menor base que permite expresar sus medidas, mientras que los segundos se clasifican atendiendo a ciertos órdenes propios de irracionalidad finital que no voy a abordar aquí, pues sólo pretendo llegar a la clasificación de los infidiedros, que es la que aporta, creo yo, novedades que se apartan de las convenciones. En efecto, los infidiedros pueden ser o bien parainfidiedros (0110010), si tienen longitud de valor infinitesimalmente próximo a uno finital (incluido el cero), o bien ultrainfidiedros (0110011), si no la tienen; los primeros de estos pueden, a su vez, ser de longitud con valor infinitesimalmente mayor, los posparainfidiedros (01100100), o menor, los preparainfidiedros (01100101), que el finital próximo, mientras que los segundos se clasifican según el orden lógico de la serie decimal (o de cualquier otra base, pues no depende de ella) que expresa la medida de la longitud propia, de modo que el nombre natural “01100110” designa a los ultrainfidiedros que la tienen del primer orden lógico (o cuyas medidas son irracionales infinitales, a llamar transirracionales, y “01100111” a los de orden lógico superior al primero, “011001110” a los del segundo, “011001111” a los de orden superior al segundo, “0110011110” a los del tercero, “0110011111” a los de orden superior al tercero… Entre los infidiedros, los de nombre propio natural más corto son los posparainfidiedros llamados infinitésimos (111001), de longitud con valor menor que todo finital no nulo; entre los preparainfidiedros, los llamados coinfinitésimos (11100101), complementos de los infinitésimos. (Insisto en advertir que todos los infidiedros son iguales en esencia, pero no todos métricamente iguales, al igual que los posparainfidiedros y los preparainfidiedros de longitud infinitamente próxima al de un mismo finidiedro.)

 

Supondré poseídos los conceptos ordinarios de número natural, entero, racional y real, que permiten, sucesivamente, contar cantidades iguales, cambiar el signo de una cantidad, comparar o medir dos cantidades y completar el proceso de medida pasando al límite (o cortando el conjunto ordenado de los números racionales), pudiendo considerarse cada uno comprendido en el siguiente, de modo que sean posibles las operaciones de adición y de sustracción en el sistema de los enteros, y también las de multiplicación y de división (por número distinto de cero) en el de los racionales, y de exponenciación (con base positiva) en los reales. Debo advertir que, a pesar del nombre usual de recta real, el sistema de estos números no es coordinable, respetando el orden propio, con el sistema de puntos llamado aquí recta (excluido el punto correspondiente al llamdo del infinito), cuya estructura es más rica (por admitir los infinitésimos). En realidad, la noción que permite representar fielmente la del número llamado real (y que yo preferiría llamar analítico) es la ordinaria de serie decimal, lo que implica la referencia a un grado u orden lógico máximo admitido (que se supone es el primero, sin que la elección de otro mayor permita la coordinación entre las series y los puntos). En el trabajo sobre conjuntos aquí presentado se trata de este asunto, y se explica por qué no existe el sistema que incluye sólo las series de todos y cada uno de los órdenes, a ningún ente más, y puede uno convencerse de que es precisamente esto lo que exige que existan los infinitésimos, si se quiere que la recta tenga una serie creciente de subsistemas propios fielmente representados por sendos sistemas se series decimales de los sucesivos grados lógicos. Ahora, voy a introducir un concepto de número que sí permite coordinar de modo natural ambos sistemas totales de números y puntos de la recta, partiendo del conocido hecho, en geometria proyectiva, de que solo hay una aplicaeión lineal de una recta en otra que lleva tres puntos cualesquiera de la una a sendos otros distintos cualesquiera de la otra, y que permite establecer la relación de equivalencia entre los procesos, a llamar cuaternas lineales, de cuatro puntos de la misma recta, distintos los tres primeros, que asocia en la misma clase a todas las transformables linealmente entre sí. En efecto, definiendo número geométrico como clase de las cuaternas (lineales) equivalentes, resulta obvio el modo natural de coordinar el sistema de los números geométricos con el de los puntos de la recta: basta fijar un sistema ordenado de referencia, formado por tres puntos distintos, y aparear cada número con el cuarto punto de la cuaterna representativa cuyos tres primeros son los de la referencia (por lo que, ahora sí, puede identificarse ambos sistemas, de puntos y de números). Los números representados por las cuaternas con cuartos puntos idénticos al primero, segundo y tercero propios, se llaman, respectivamente, cero (0), perinfinito (∞) y uno (1), justificándose sus nombres con las siguientes definiciones: los productos de la adición (suma) y de la multiplicación de dos números (geométricos), representados por sendas cuaternas con los mismos tres puntos primeros son los números representados por las cuaternas, con tales primeros puntos, cuyos cuartos puntos son los obtenidos del cuarto punto de una, respectivamente, por la transformación lineal que tiene como punto invariante doble al segundo y lleva el primero al cuarto de la otra, y por la que deja invariantes al primero y segundo puntos y lleva el tercero al cuarto de la otra. Se puede comprobar fácilmente que tanto estas operaciones como los tres números especiales señalados tienen las propiedades convencionalmente asociadas a sus nombres –el propio de perinfinito, que designa al único número que no tiene ni opuesto ni inverso (por ser doble el cuarto punto representativo en las transformaciones de definición de ambas operaciones, así como el del cero en la de la multiplicación), se ha introducido para distinguirlo del común que designa a los otros infinitos, que sí los tienen– o símbolos, obteniendo el punto correspondiente al producto por simple intersección de determinadas rectas en el plano de las rectas del infinito y de las cuaternas (aplicando la linealidad de las transformaciones y las invariancias conocidas de uno, o de dos, de los puntos comunes de las cuaternas, y de todos los de una recta arbitraria (la llamada del infinito) que pasa por el segundo punto, común, de las cuaternas). También resulta fácil comprobar la posibilidad de identificar los números reales con sendas clases totales de números geométricos infinitesimalmente próximos entre sí (o sea, identificables, mediante elección de cuaternas representativas con los mismos tres primeros puntos a distancias no infinitésimas, a puntos a distancias mutuas iguales a longitudes de diedros infinitésimos): basta con elegir cuaternas representativas canónicas, con los dos primeros puntos, de sus tres comunes, ortonormales (a distancia máxima, como el ángulo entre dos rectas perpendiculares) entre sí, y el tercero mediano (equidistante) de éstos, y considerar un sistema de rectas coplanarias y perpendiculares a la de las cuaternas en los puntos de éstas: la identificación se realiza entre el número real y la clase del geométrico cuyas rectas perpendiculares en los puntos primero y cuarto de su cuaterna representativa forman ángulo con tangente igual a él, o sea, un ángulo tal que el intervalo de razones de medida entre las longitudes de ambos proyectos (productos de proyección), desde el segundo y primer puntos de la cuaterna canónica, de los segmentos, centrados en el punto de concurrencia, de la perpendicular en el cuarto punto sobre sendas otras en el primero y segundo puntos tiene como valor extremo (límite, al disminuir la longitud del segmento centrado) el número real (y la unidad como valor del otro extremo del intervalo en todos los casos). Así pues, la noción de número geométrico permite generalizar la de número real, y también la de serie decimal de cualquier orden lógico: aunque tal generalización no sea necesaria en el campo de las ciencias físicas, cuyas leyes pueden ser expresadas en los términos analíticos convencionales, su existencia permite, como podrá verse luego, describir matemáticamente posibles fenómenos no gobernados por tales leyes.

 

Ciertamente, las partes extensas y los sistemas totales de sus puntos propios, como se ha indicado al definir el concepto de éstos, se determinan mutuamente y pueden tratarse como idénticos sin mayores problemas; lo cual permite sumergir el sistema total de partes de un espacio extenso en el sistema de los subsistemas del total de sus puntos propios, con una estructura geométrica natural que puede ya identificarse con la del espacio proyectivo de dimensión infinita sobre el nuevo campo de los números geométricos (de la que deriva una topología natural que lo hace totalmente desconexo). Si bien la coordinación natural ya apuntada entre las partes extensas y ciertas clases totales de sistemas puntuales con un mismo interior de sus cierres permite determinar cada una de aquéllas con cualquiera de los sistemas asociados en su clase correspondiente, no todos los sistemas puntuales sirven para determinar partes extensas, bien por tener su cierre un interior vacío, bien por no tener frontera que lo separe del complemetario (en el sentido ya apuntado); así sucede con los sistemas sin puntos fronterizos, a la vez abiertos y cerrados, como los totales de puntos a distancias infinitésimas de uno mismo, o sus subsistemas propios de los puntos cuyas distancias mutuas tienen razones no infintas de medida, tomando una fija de ellas como unidad, que pueden ser considerados, en sentido obvio, como los espacios cuya geometría natural puede llamarse salvoinfinitesimalmente euclídea, derivándose de éstos, por identificación de todos los puntos a distancias con razones infinitésimas de medida, los verdaderos espacios euclídeos, llamados tangentes en torno a tales puntos. (Para evitar errores, debo advertir que no se puede decir, en sentido estricto, que el espacio total de puntos, ni nigún sistema puntual identificable con parte extensa, está compuesto de tales sistemas tangentes disjuntos, pues la noción de tal sistema es relativa a una de punto, llámese salvoinfinitesimal para distinguirlo del primario antes tratado, que, como la de serie decimal, lo es a un orden lógico que siempre puede ser superado para obtener nuevos puntos no considerados: es la propia existencia de los infinitésimos lo que permite decir, sin violar ningún postulado sobre ello, que el sistema de los números geométricos generaliza al de número real o serie decimal de todo orden lógico, y que tal sistema es del  primer orden lógico, o sea, conjunto.)

 

Parece obligado relacionar la singularidad ya comentada del plano natural sobre la partición del espacio puntual en sistema de planos paralelos con la evidencia resultante de la experiencia sensitiva sobre la dimensión del espacio llamado físico. Trataré de mostrar cómo pueden conjugarse los datos geométricos con los experimentales en una teoría que permita explicar todos los fenómenos físicos: Desde luego, la evolución temporal del universo debe poder describirse como línea especial, universal real, en el sistema total de espacios, coordinable con el sistema de los números geométricos de modo natural, con la diferencia entre los correspondientes a dos espacios propios, instantes, como medida de la distancia temporal entre éstos (según cierta escala a precisar), y determinante, de modo obvio en un instante cualquiera (por composición de las permutas propias de los pares de instantes), del movimiento universal real, que determina, a su vez y por tangencialidad (o máxima aproximación) entre todos los que cumplen las leyes físicas en cada instante, el movimiento universal físico, que da cuenta sólo de los fenómenos de carácter inerte o no voluntario. El hecho de quedar determinada toda partición en planos naturales paralelos del menor plano que contiene todos los de un sistema ortonormal (a distancia máxima todos entre sí), base, de ellos, para cada uno de los dos sentidos de traslación propios, por cualquier plano individual propio no ortonormal a ninguno de la base, resultando comunes en ambas particiones en sentidos conjugados los planos individuales con proyecciones de sus puntos propios sobre los de la base iguales que las del plano individual determinante, invita a postular la existencia de una coordinación natural de tales planos de la base propia en cada instante con las partículas simples, elementales, constituyentes del universo, en estados instantáneos descritos por funciones de onda ortonormales (según la métrica propia) entre sí, y de tal plano determinante de la partición, el universal, con el propio espacio físico del universo, de modo que pueda decirse, en cierto sentido obvio, que las partículas reales se manifiestan por proyección de sus planos propios sobre el del universo (con carga mayor o menor según la cercanía entre ellos), resultando el estado de éste conjuntamente determinado por la base propia de planos particulares (en cuanto a los estados propios de sus partículas), por el plano universal (en cuanto a los valores de carga y posiciones de las partículas) y por el estado de cierto sistema con carácter de fluido, llamado medio en la nueva teoría, formado por los llamados puntos físicos, identificados a los propios del plano universal en cada instante, y descrito por los campos escalar de densidad y vectorial de velocidad (en cuanto al valor del potencial graveléctrico, fundamental en la nueva teoría, y la geometría local de su propagación). También resulta obligado postular que la superponencia entre los instantes propios de las líneas universales, real y físicas, hace correspondientes todos los planos naturales propios de partículas en estados (descritos por funciones de onda) iguales, así como que el sistema total de los planos particulares posibles es también el total de los planos comunes de ambas particiones paralelas conjugadas, a llamar basales, determinadas por una base instantánea cualquiera y un plano natural paralelo sobre el que se proyectan los particulares de modo que coinciden los correspondientes centros de simetría –cada una tiene cuatro, ortonormales entre sí– de todas las partículas, y que la permuta propia de cada par de instantes lleva el plano universal del primero al del segundo, debiendo cumplir los campos resultantes de densidad y de velocidad medial con la condición ordinaria de continuidad del movimiento de un fluido en las líneas universales físicas, mas no en la real, de carácter más complejo. En efecto, mientras que el movimiento universal físico queda perfectamente determinado por las leyes físicas (aunque el desarrollo actual de la teoría no permita precisarlo) a partir de cualquier estado inicial del propio universo, así como el cambio de la base de estados instantáneos de las partículas elementales propias (descrito, como rotación compatible con ambas particiones basales, por una matriz ortogonal) y el de las posiciones de (los centros de simetría) de las partículas (en el espacio físico identificado con el plano universal) a partir de sus valores iniciales y del estado del medio (determinante del campo graveléctrico que actúa sobre las partículas) a lo largo del intervalo del cambio, sucede que en el movimiento real del universo intervienen no sólo factores de carácter físico (determinantes, en cada instante, de la línea física tangente a la universal), sino también otros de carácter libre,  no sujetos al determinismo de leyes físicas, que permiten alterar el estado real del medio, o sea, sus campos efectivos de densidad y de velocidad, mediante el cambio voluntario del campo –los espacios son entes iguales en esencia, y sus campos de densidad y corriente relativos a éste– que debe tomarse como origen de referencia (mantenido constante en el movimiento físico), para superar las limitaciones físicas en la interacción mutua de las partículas a través del medio. (Naturalmente, si el poder de la voluntad no es suficiente para producir efectos que superen el margen de error en los datos físicos, se puede prescindir del factor de la voluntad en las leyes que rigen el movimiento, como si el mundo fuera totalmente inerte, sin organismos vivos capaces de detectar y procesar los débiles impulsos que provocan sus movimientos voluntarios, pero ello no implica su inexistencia, ni que la propia vida pueda explicarse, en sus aspectos más profundos, como fenómeno puramente físico.)

 

Aunque puede parecer innecesario, desde el punto de vista práctico corriente, tanto formalismo para describir la evolución temporal del estado del universo, bastando con considerar como instantes no los espacios totales, sino los planos naturales universales –el punto clave de la nueva teoría física, aparte de la precisión de sus conceptos fundamentales, está en la relación establecida entre los campos de densidad y de velocidad del medio y los potenciales escalar y vectorial graveléctricos– o espacios físicos ordinarios (cuyos puntos pueden ser identificados, los de coordenadas espaciales iguales, mediante un sistema de referencia espacio-temporal), no lo es desde el punto de vista filosófico, si se pretende la posibilidad de determinar los uentes mediante los datos perceptibles de la experiencia. En efecto, existe una coordinación natural entre las cosas aquí llamadas estados (1) y las llamadas espacios (11) que induce otra entre los hechos (pasos de un estado a otro) y los duos de (sistemas de dos) espacios, y permite la clasificación de los estados en estadíos personales (de El Yo), que asocian, cada uno, todos los estados consecutivos correspondientes a espacios en una misma línea universal real –por cada uno pasa sólo una– y relativamente ordenados entre sí igual que aquéllos, de modo que puede decirse, con sentido obvio, que los hechos de cada persona tienen sus estados inicial y final en el mismo estadío personal (en el que debe necesariamente haber un primero y un último estado de todos los propios, respectivamente, el final y el inicial de sendos actos correspondientes a saltos bien entre universos distintos, bien hacia atrás en el tiempo de un mismo universo, para comenzar una vida como persona distinta). Así pues, ya que cada estado (1) puede ser determinado (por el hombre, mediante reflexos), la posibilidad de serlo también cada parte extensa, identificada con el sistema total de sus puntos, resulta obvia si se advierte que todo punto de cualquier instante dado queda determinado por sus coordenadas respecto a un sistema ortonormal maximal, base puntual, arbitrario de puntos propios, tales como los centros de simetría de las partículas en los estados correspondientes a los planos particulares de una base, asociados (y superpuestos entre sí los de instantes distintos) a sendas funciones fijas ortonormales de onda, sean o no propias –corresponde a las leyes físicas decir qué formas pueden tener– de las partículas en ese instante (pudiéndose postular que, entre los posibles sistemas completos ortonormales de funciones de onda –todavía no he avanzado lo suficiente en la teoría física para poder decir cómo son– de partículas constituyentes de cada universo (asociadas a sendos planos particulares de cada instante de cada línea de universo), existe uno más idóneo que cualquier otro, de modo que resulte obligada la elección de tal sistema como base absoluta, independientemente del instante propio, en la determinación natural del punto). (Aunque, en general, se necesitan series infinitas (equivalentes, las de términos proporcionales) de coordenadas (números geométricos), es obvio que sólo un número finito de las coordenadas de los puntos de cada parte extensa, respecto a cualquier base natural (con todos sus puntos en planos de una misma base particular), resulta significativo, tomando las restantes todos los valores posibles).

 

La diferencia entre los órdenes propios de los sistemas totales de estados (1) y espacios (11), respectivamente discreto y continuo, como el de los números enteros y el de los geométricos, implica obviamente la coexistencia de infinidad de estados pertenecientes a estadíos personales distintos y apareados, en la citada coordinación natural, con espacios de un mismo intervalo cualquiera de una linea universal real (sin que sea necesaria en todo intervalo, ni siquiera en todo universo, la convivencia de infinidad de personas distintas, sino que puede darse toda suerte de casos, incluso la de universos no aptos para la vida, cuyos instantes corresponden todos a estados inicales o finales de actos (siempre volitivos) correspondientes a saltos entre dos universos distintos). Así se explica la simultaneidad física de acciones de personas en estadíos distintos (y, por tanto, anteriores o posteriores unos a otros en el devenir de los actos) de El Yo, afectando todas las voliciones de todos ellos a la evolución de su universo común. En cuanto a la propia correspondencia entre actos y pares de instantes del universo, la experiencia indica la existencia de una estrecha relación entre ciertos actos sensitivos de carácter local (todos ellos imagos (001008), como las imágenes visuales del campo alrededor) y los procesos físicos de ciertos órganos de los cuerpos u organismos vivos corrientes, constituidos por partículas en estados ordinarios, con cargas concentradas alrededor de sus centros principales, pero resulta injustificada la necesidad de una relación análoga entre los actos perceptivos no locales (como los llamados sones (00101) y los logues (0011), componentes los primeros de ciertos sentimientos que trascienden la simple animalidad y suelen acompañar a los segundos), o los vólitos (101), y tales cuerpos, pues en esos casos los estímulos (campos graveléctricos) en juego suelen ser extremadamente débiles, de longitud característica de onda hasta muchas veces mayor que el diámetro del universo, para que su propagación (como indica la nueva teoría física) resulte cuasi instantánea y puedan ser más eficaces sobre partículas con carga no concentrada, sino apropiadamente distribuida por todo el espacio, capaces de componer organismos vivos –llámense almas– de tamaño comparable al del universo, mucho menos vulnerables a los agentes físicos corrientes que los cuerpos ordinarios, que pueden ser considerados simples sondas suyas, cuyas muertes no suponen el fín de sus propias vidas, sino sólo un cambio importante en ellas: desaparecen los actos asociados a proceso físicos corporales, como los que dan cuenta del paso del tiempo, y siguen, en proporción mayor, los tenidos como propios del alma, seguro que con la aparición de clases de actos que no tuvieron ocasión de ocurrir en la vida corporal anterior (quizás debido al propio cambio de la escala del tiempo), y que pueden conducir a la adquisición, en el mismo estadío personal o en otro distinto, de un nuevo cuerpo –no estoy diciendo nada que no me parezca evidente o, al menos, irrefutable– con el que iniciar una nueva vida corporal.

 

Ciertamente, perceptos iguales en esencia pueden corresponder a procesos físicos distintos (que constituyen, en general, una infinidad, como la de las propias personas que los realizan), y uno de los retos más interesantes de la ciencia humana puede ser el de descubrir las leyes que rigen esta correspondencia (características comunes a los procesos correspondientes a perceptos iguales, a perceptos realizados por la misma persona…), que deben ser compatibles con las físicas, o sea, perfectamente aplicables a las líneas universales físicas; mas las leyes que rigen el devenir de los vòlitos (todos esencialmente iguales) y su influencia en la evolución real del universo son de carácter distinto al de aquéllas, seguro que demasiado complejo para ser satisfactoriamente tratadas por el hombre, si no es de modo estadístico, a partir de principios evidentes (al menos, para mí), que se pueden descubrir atendiendo tan sólo a criterios puramente estéticos (como sucede, en buena parte, con las propias leyes físicas, si bien para éstas resulta posible la comprobación experimental). En efecto, resulta obvio que todo lo posible debe ocurrir alguna vez (infinidad de veces, si se cuentan las ocurrencias de sus iguales esenciales); también, que la voluntad procura necesariamente (de modo condicionado por el conocimiento propio) el bien –la maldad es una forma de estupidez: la incapacidad para apreciar el valor de éste– o la belleza de los hechos a realizar, de modo que no son iguales las probabilidades de ocurrencia de las distintas clases de igualdad esencial de los hechos, sino que son tanto mayores cuanto mayor es el valor estético de lo ocurrido, hasta el punto de poder la probabilidad relativa entre dos posibilidades tener valor infinitésimal –la noción de número geométrico recobra todo su valor en el campo de la estadística: en los términos convencionales del número real, habría que decir nulo– a pesar de tener todas ellas infinidad de casos propios ocurrentes. (Razonamientos como éstos permiten descubrir los principios fundamentales de la teoría ética, que trata de la realización de los actos volitivos, en orden a procurar el máximo bien para El Yo único). Aunque los cambios debidos a actos volitivos en el tramo actual de linea universal real, respecto de la física, sean tan nimios que resulten despreciables ante la imprecisión de nuestro conocimiento sobre el estado del universo y permitan aplicar la teoría física para predecir la evolución macroscópica de éste en tramos suficientemente largos para nuestros usos corrientes, puede resultar injustificada tal aplicación a tramos de cierta longitud mayor, pues (aparte de la posible realización de voliciones –la cuestión no es si existen personas (no humanas) con el poder suficiente, sino cómo y cuándo lo ejercen– demasiado potentes) la acumulación de los efectos debidos a la realización de vólitos a lo largo del la infinitud del tiempo puede apartar tanto como se quiera los cursos de las evoluciones física y real del universo inicial. (Como todos los vólitos son esencialmente iguales entre sí, su efecto debe depender sólo de factores circunstanciales en su realización, cual pueden ser la adecuación del ritmo de la secuencia de voliciones al proceso físico que se quiere modificar: en el caso del hombre, parece como si cada persona tuviese la clave para actuar sobre el estado de las partículas del cuerpo, bien directamente, bien (como me inclino yo a creer) alterando primero las del alma para crear impulsos detectables por el cerebro sintonizado con ella, que los procesa y transforma en estímulos nerviosos que provocan el movimiento voluntario.)

 

Bien, creo haber dicho ya suficiente. Aunque presento este texto como prólogo de otros dos, El valor de la intuición y Teoría Física, para sustituir una página de presentación antes existente y facilitar la comprensión de éstos (que me temo no ha sido, hasta ahora, tan buena como esperaba), lo considero de valor superior. En realidad, la razón principal para hacerlo ha sido la de asegurar que no se pierda el fruto del trabajo de toda mi vida. A pesar de sus deficiencias, de la posible existencia de errores, de su estilo deplorable…, me quedo tranquilo: he puesto lo suficiente para que cualquier persona con mentalidad afín a la mía pueda apreciar todo su valor, hacerlo suyo y tratar de mejorarlo y desarrollarlo; a quien lo lea y no se crea con suficiente capacidad para comprenderlo, le pido que lo conserve y dé a conocer a quien crea puede tenerla. Si no se pierden, estoy seguro de que se llegará a reconocer todo su valor. Otra buena razón para hacer esta ligera incusión por la Teoría de los Entes ha sido la de dar una muestra de mis posibilidades, a ver si alguien con medios y buen ojo se anima a prestarme la ayuda que me permita dedicar todo el tiempo que me quede de vida –disfruto pensando más que haciendo cualquier otra cosa, pero otras obligaciones me han impedido aprovechar al máximo mi madurez intelectual– a avanzar por esa teoría: a cambio, yo me ofrezco a ponerle al día (en lo posible) de lo que tengo en la cabeza, no sólo sobre lo aquí tratado, sino sobre multitud de otros temas concretos que han sido objeto de mi consideración a lo largo de mi vida, con soluciones nuevas, más sencillas y eficaces, a viejos problemas de interés general no resueltos perfectamente, cuya realización práctica he postergado por continuar avanzando en mis pensamientos. En cuanto a los dos trabajos citados, para mostrar su interés, baste decir que el uno pone en evidencia la falsedad de algunos axiomas, no puestos en duda hasta ahora, con que se pretende demostrar la imposibilidad de numerar ciertos conjuntos, y que el otro logra la tan deseada unificación de los campos físicos de fuerza, de modo tan sorprendente como sencillo: identificando el gravitatorio y el electromágnético, lo que permite considerar los demás como simples casos  del único, el llamado graveléctrico, y dilucidar estructuras tales como la del protón, neutrón y núcleos atómicos, a partir de sólo dos clases de partículas elementales, llamadas gravones y lectrones. (Debo advertir, para evitar confusiones, que los textos de ambos trabajos son anteriores al de este prólogo, en el que me he permitido introducir ciertos cambios en pro de un mejor acuerdo con mi pesamiento actual, sin considerarlo tampoco definitivo. No importan las incorrecciones que haya podido cometer: su acierto en lo esencial es tan obvio que no pueden ser ignorados indefinidamente y acabarán por imponerse a los convencionalismos actuales.)

 

A continuación, presento, tras unas cuantas definiciones pertinentes (que pueden diferir ligeramente de las adoptadas en el prólogo), un lista de posibles axiomas para la geometría natural del espacio de puntos tratado en este texto, y otra de teoremas (sucesivamente fáciles de demostrar):

TEORIA DEL ESPACIO        CONCEPTOS

 

ESPACIO: PLANO TOTAL (ABSOLUTO): Sistema total de los PUNTORES (llamados también, impropiamente, PUNTOS).

TRACTÓN: Sistema total engendrado, con la operación natural de SUCESIÓN, por los puntores.

TRACTO: Elemento del tractón: Producto de la sucesión de puntores.

SECUENCIA CABAL DE PUNTORES: Secuencia sin otra más corta equivalente a ella, cuya sucesión de puntores propios produce el mismo tracto.

T-PLANO: PLANO TRACTAL: Sistema de los puntores en términos parejos de secuencias cabales equivalentes (cuyo tracto producto lo genera).

PLANO: Sistema de puntores que contiene, con cada subsistema propio finito, un t-plano que también lo contiene.

RELACIÓN TRACTAL DE POTENCIA: Relación entre tractos que asocia en la misma clase, género tractal, los generadores, equipotentes entre sí, del mismo plano, y ordena como más//menos potentes a los de planos continentes//contenidos.

GRADO DE UN TRACTO: Número de términos de la secuencia cabal de puntores que lo produce.

N-TRACTO: Tracto de grado n (número natural arbitrario)

TRACTO NULO//RECTOR//ROTOR//INVERTOR: Tracto de grado 0//2//par//impar.

TRACTO NORMAL (VERSOR): Producto (no nulo) de una secuencia de puntores que conmutan todos entre sí.

TRACTOR: Puntor o rector.

SECUENCIA CABAL DE TRACTOS: Secuencia de tractos factores no nulos, cabales entre sí, cuya suma de grados propios iguala el del producto.

SECUENCIA NORMAL DE TRACTOS: Secuencia cabal cuyo producto iguala el obtenido por permutación de sus términos, normales entre sí.

GRADO DE UN PLANO: Grado de los tractos que lo generan, si tractal, o infinito, si no tractal.

N-PLANO: Plano de grado igual al número natural n.

PLANO VACÍO//PUNTO//RECTA//ORDINARIO//NATURAL: Plano de grado 0//1//2//3//4.

TRÁCTON: Sistema total de tractos que son producto de la sucesión de puntores ocurrentes en un mismo plano, generado por él.

ROTÓN//RÓTON: Sistema total de los rotores de el//un tractón//trácton.

RECTRON//GÍRON: Trácton//Roton de recta.

(SUB)GRUPO VERSAL (DE UN TRACTON): Subgrupo del tracton cuyos individuos no nulos son todos versores.

VERSÓN (DE UN PLANO): Subgrupo versal maximal del tracton propio del plano, generado por él.

VÉRSON (DE UN PLANO TRACTAL): Grupo formado por el tracto nulo y un versor (generador del plano)

PLANÓN//PLÁNON: Sistema total//cualquiera de planos contenidos en el plano, base, considerado como total.

COPLANÓN//COPLÁNON: Sistema total//cualquiera de planos contenedores del plano, cobase, considerado como total.

PUNTÓN//PÚNTON: Sistema total //cualquiera de puntos.

RECTÓN//RÉCTON: Sistema total//cualquiera de rectas

T-PLANÓN//T-PLÁNON: PLANÓN//PLÁNON TRACTAL: Sistema total//cualquiera de planos tractales.

N-PLANÓN//N-PLÁNON: Sistema total//cualquiera de n-planos contenidos en el plano base.

N-COPLANÓN//N-COPLÁNON: Sistema total//cualquiera de n-coplanos contenedores del plano cobase.

CONJUNCIÓN: Operación entre planos que produce el plano menor, conjuncto (del planon factorial), conteniendo todos los factores.

INTERSECCIÓN: Operación entre planos que produce el plano mayor, intersecto (del planon factoria), contenido en todos los factores.

PLANON CABAL: Planon cuyos individuos, cabales entre sí, son no vacíos y disjuntos, cada uno, del conjuncto del resto.

PLANON (ORTO)NORMAL: Planon cuyos puntores ocurrentes en individuos suyos distintos, (orto)normales entre sí, conmutan todos entre sí.

PERPENDICULAR: Planon cuyos individuos, perpendiculares entre sí, son conjunctos de sendos planones contenidos en un mismo planon normal.

PLANON ANTINORMAL: Planon sin subplanones complementarios (contenidos en él) cuyos conjunctos propios sean normales entre sí.

PLANON CABAL ORDINARIO: Planon cabal antinormal.

PERPENDICULAR ORDINARIO: Planon perpendicular antinormal (cuyos individuos se intersecan perpendicularmente).

PLANON CABAL PERORDINARIO: Planon cabal sin planos con puntos normales a otros planos propios.

PLANON CUASICABAL: Planon no cabal cuyos subplanones (planones contenidos distintos a él) son todos cabales.

PLANON CUASINORMAL: Planon cuasicabal con un subplanon propio maximal (con un individuo menos) normal.

PLANON COCABAL: Planon cuyos individuos, cocabales entre sí, conjuntan, cada uno con el intersecto del resto, el plano total.

PLANON COCABAL ORDINARIO: Planon cocabal sin subplanones complementarios (en él) cuyos intersectos propios sean normales entre sí.

PAR CODUAL//ORTODUAL: Par cabal//normal de planos, coduales//ortoduales entre sí, cuyo conjuncto es el plano total.

PLANO REGULAR: Plano que tiene ortodual propio.

PLANO COTRACTAL: Plano codual de uno tractal.

COGRADO DE UN PLANO COTRACTAL: Grado del plano codual del cotractal.

COPUNTO//CORRECTA//N-COPLANO: Plano codual de punto//recta//n-plano (o intersecto de él con el plano considerado como total).

PLANON COPAR: Planon cuyos individuos, copares entre si, tienen todos un plano codual común.

CONJUGACIÓN: Operación de un primer factor por un segundo, perteneciente a un grupo, cuyo producto, conjugado del primero por el segundo, es el de la sucesión del inverso del segundo por el primero y por el segundo (en la operación propia del grupo).

TRACTE: Clase de los tractos semejantes, conjugados entre sí por otros tractos (o productos, cada dos, de dos mismos factores permutados).

LARGURA: Tracte de tracto nulo o de rector.

SISTEMA PROPIO DE FACTORES: Sistema de tractos, factores propios, que generan sendos planos, propios, contenidos en sendos individuos distintos de un planon normal, propio, y cuya sucesión produce el tracto considerado.

SISTEMA (PROPIO) CANÓNICO DE FACTORES: Sistema propio de cardinal mínimo de versores o transores, factores propios canónicos, que producen el tracto considerado.

PROPION TRACTAL//PLANAR DE UN TRACTO: Sistema de los factores//planos propios del tracto.

P-ÍNDICE DE UN ROTOR: Número máximo de rectores propios no semejantes del rotor.

ROTOR P-ORDINARIO: Rotor cuyo p-índice vale 1.

TRANSOR: Rotor cuyos rectores propios pertenecen todos al mismo tracte.

ROTOR//TRANSOR ORDINARIO: Rotor//Transor sin rectores propios normales.

ROTRON//TRANSON: Grupo engendrado por los rotores//transores ordinarios con un mismo sistema total de rectas propias.

TRACTRON: Grupo engendrado por los tractos con los mismos dos sistemas propios canónicos: de planos propios canónicos, generados por sus factores propios canónicos, y de transones propios canónicos, incluyentes de los tales factores que son transores ordinarios.

SENTIDO: Sistema de los transores que son conjugados de los de un mismo transon por rotores que generan su mismo plano.

TRACCIÓN: Operación de un plano por un tracto que produce el plano, traído de aquél por éste, de los puntores conjugados de los del plano factor por el tracto factor.

VERSIÓN//PUNCIÓN//ROCIÓN//GIRO//TRANSIÓN//INVERSIÓN: Tracción por versor//puntor//rotor//rector//transor//invertor.

T-PLANON PARALELO: Planon copar de individuos, paralelos entre sí, disjuntos y generados, cada dos, por versores cuyo producto es un transor.

PLANON PARALELO: Planon copar de individuos, paralelos entre sí, que son conjunctos, cada dos, de sendas cadenas de planos tractales (cada uno contenido en el siguiente) correlativamente paralelos entre sí.

PLANON PARALELO ORDINARIO: Planon paralelo sin individuos ortonormales entre sí.

DIRECTRON: Sistema de las rectas perpendiculares ordinarias a ambos planos de un par paralelo ordinario.

CODIRECTRON: Planon paralelo maximal cuyos pares paralelos ordinarios de individuos tienen todos un mismo directron.

PARALECTRON: Planon paralelo conteniendo el//un codirectron de cada duo no//sí normal de sus planos.

PARALELÓN: Planon paralelo maximal conteniendo un paralectron de su conjunton.

PARALÉLON: Planon (paralelo) contenido en un paralelón.

DIRECCIÓN: Partición de un plano, base, en rectas paralelas.

TRANSDIRECCIÓN: Sistema total de los transores ordinarios cuyas rectas propias componen el plano base.

TRACTORIAL: Biyección del espacio (o plano) que lleva todo punto de cada plano tractal a a su traído por un mismo tracto (dependiente del plano).

TRACTAL//SEUDOTRACTAL: Biyección tractorial que sí//no tiene contenido cada plano tractal en otro tractal invariante.

ROTACIÓN: Biyección tractal, rotatorial, que transforma todo plano contenido en cada plano tractal invariante como tracción por un mismo rotor.

REFLEXIÓN: Biyección tractal que transforma todo plano contenido en cada tractal invariante como tracción por un mismo versor.

PLANON REFLECTOR: Planon normal de dos individuos, reflectores, que conjuntan el plano de reflexión y se componen de puntos invariantes.

BISECTOR DE PAR COPAR DE PLANOS: Par de planos copares reflectores, medianos, en la reflexión que los transforma entre sí.

MEDIANÍA: Punton no vacío minimal (en recta) que incluye ambos puntos medianos de cada dos incluídos.

TRASLACIÓN: Biyección tractal, traslatorial, que transforma todo plano en cada plano tractal invariante como tracción por un mismo transor.

T-INVOLUCIÓN: Biyección tractal cuyo cuadrado es la biyección nula (identificación)

TRANSVOLUCIÓN: Traslación que es también involución.

RUPO TRACTORIAL//TRACTAL//ROTATORIAL: Grupo de las biyecciones tractoriales//tractales//rotatoriales del espacio (o del plano dado)

CONGRUENCIA//SEUDOCONGRUENCIA: Equivalencia entre puntones que asocia en la misma clase, FIGURA//SEUDOFIGURA, sólo los que son transformables, conguentes//seudocongruentes, entre sí por biyecciones tractales//seudotractales.

PROYECCIÓN: Operación entre un par de planos, proyectado y proyectante, y un tercer plano, proyector, que produce el intersecto de, proyecto en, el segundo con el conjuncto del primero y el tercero.

CONYECCIÓN: Operación de un par de planos, conyectado y conyectante, con un plano, conyector, que produce el conjuncto de, conyecto sobre, el segundo con el intersecto del primero y el tercero.

DUON//CODUON: Par de planos mínimos/máximos contenidos/conteniendo en/a sendos otros del par codual dado y con conjuncto/intersecto conteniendo/contenido a/en el plano dado.

PROYECTON: Sistema, relativo a planon cabal, proyectal, y plano, proyectado, contenido en su conjunto, de los duones del segundo sobre pares coduales formados por sendos planos del primero y coduales suyos conteniendo al conjuncto de los demás.

CONYECTON: Sistema, relativo a planon cocabal, conyectal, y plano, conyectado, conteniendo su intersecto, de los coduones del segundo sobre pares coduales formados por sendos planos del primero y coduales suyos contenidos en el intersecto de los demás.

PERSPECTIVA: Correspondencia biyectiva entre el coplanón y el planón de sendos planos de un par codual que asocia cada plano conteniendo el primero (o contenido en el segundo) con su intersecto con el segundo (o con su conjuncto con el primero).

 (BI)PROYECCIÓN: Biyección entre par de planos copares, determinada por un tercero, codual de ambos, que lleva cada punto del primero (como proyectado) a su proyecto en el segundo (como proyectante) por el tercero (como proyector).

 (BI)PROYECTRON: Sistema de los conjunctos (rectas o puntos) de los puntos correspondientes en la misma biproyección.

ORDINARIO: Proyectron entre planos (copares) cuyo intersecto es vacío.

COPROYECTRON: Planon de los intersectores (en punto) de toda recta del mismo biproyectron ordinario entre planos copares suyos.

PROSECTON: CÓNICA: Punton de los intersectos de rectas del mismo proyectron ordinario por subplano maximal (distinto) del conjuncto.

BIYECCIÓN PROYECTIVA: Biyección producto de biproyecciones sucesivas (con plano proyectante anterior idéntico a proyectado siguiente).

GRUPO PROYECTIVO: Grupo de las biyecciones proyectivas, de un plano en sí mismo, por la operación natural de sucesión.

APLICACIÓN LINEAL: Aplicación entre par de planos que transforma todo plano (en el primero) en otro plano (en el segundo).

COLINEACIÓN: Biyección lineal de un plano en sí mismo.

GRUPO LINEAL: Grupo de las biyecciones lineales del espacio (o plano) por la operación natural de sucesión.

COLINEAMIENTO: Punton que incluye todo punto de intersección entre rectas distintas que pasen por dos puntos suyos.

BIBASAL: Punton minimal determinante, por restricción a él, de la aplicación lineal de su conjuncto.

BITRACTAL: Colineación del espacio (o plano) que tiene contenido cada subplano tractal en otro tractal invariante.

CONTRACCIÓN: Colineación con sistema, contractor, cabal de planos de puntos invariantes que conjunta el plano transformado.

CONTRACCIÓN PURA: Contracción que es cuadrado de otra.

CONTRACCIÓN NORMAL: Contracción cuyo planon contractor es normal.

HOMOTECIA: Contracción con planon contractor formado por dos planos, uno de los cuales, centro, es punto.

CONTRACTON: Grupo de las contracciones con el mismo planon contractor.

TRACTALOIDE//ROTATOIDE//TRASLATOIDE: Colineación conjugada (por colineación) de biyección tractal//rotatorial//traslatorial.

INVOLUCIÓN (LINEAL): Colineación cuyo cuadrado es la colineación nula (invariante, idéntica...).

BIRREFLEXIÓN: Colineación (tractaloide) conjugada de una reflexión (por colineación que transforma planon reflector en birreflector).

BIPUNCION//BIVERSION: Birreflexión conjugada de punción/versión (con un plano birreflector que es punto/tractal).

SECUENCIA IRREDUCIBLE: Secuencia de bipunciones sin otra más corta con el mismo producto.

BITRACCIÓN (PAR/IMPAR): Colineacion producto de la sucesión (de número par/impar) de bipunciones.

BITRACTON: Grupo de las bitracciones que dejan invariante el mismo plano, soporte, y todo punto del mismo codual, cosoporte, suyo.

BIPARTON: Grupo de las bitracciones pares del bitracton.

BIGIRO: Bitracción producto de la sucesión de dos bipunciones.

ELACIÓN: Bigiro cuyas dos bipunciones factores tienen un mismo punto, central, (o un mismo copunto, cercal) reflector.

ELATON//COELATON : Grupo de las elaciones con plano//punto cercal//central común.

EUCLÍDEO//COEUCLÍDEO: Grupo producto de elaton//coelaton y tractones de su plano//punto cercal//central y del punto//plano ortodual.

TELACIÓN: Bitracción producto de secuencia de elaciones, cada una con plano cercal conteniendo el punto central de cada anterior suya.

PLANO LOCAL: Conjuncto de todos los planos considerados.

PLANO VECINO DE UN PLANON: Plano contenido en el conjuncto del planon (considerado como plano local).

PLANON VECINAL DE OTRO PLANON: Sistema de planos contenidos en el conjuncto de este planon.

PLANONES COVECINALES: Planones con los mismos planos locales (por tener ambos el mismo conjuncto).

(N-)AXE: (N-)Planon minimal invariante en tracton de todo plano, eje, de planon normal, axion, con su mismo conjuncto propio.

(N-)BIAXE: (N-)Axe con sólo dos ejes propios.

(N-)AXON: Sistema de los (n-)axes coaxiales, de planos copares todos entre sí (de grado n) y con el mismo axion propio.

PLANO RADIANTE A UN AXE: Plano vecino del axe (o de su axion) y perpendicular a todos sus ejes.

PLANO TANGENTE A UN AXE: Plano vecino perpendicular a uno radiante del biaxe en intersecto que es plano propio de éste.

PLANO SECANTE A UN AXE: Plano vecino no tangente que contiene (varios) planos individuales del axe.

ESFERA: 1-Biaxe cuyo axion consta de un punto, centro, y un plano, cerco, que no es punto.

ARO: CIRCUNFERENCIA: Esfera cuyo cerco es una recta.

ESFERA ORDINARIA: Esfera cuyo cerco es un plano ordinario.

PANESFERA: Esfera cuyo cerco es un copunto.

CILINDRO: 1-Biaxe cuyos dos ejes son rectas.

(N-)ÁXIDE: Planon transformado de (n-)axe por colineación (que transforma el axion, en un planon polar).

(N-)BIÁXIDE: Áxide de (n-)biaxe

ESFÉRIDE: Biáxide (transformado por colineación) de esfera.

ELIPSE: Biáxide de aro.

CUÁDRICA: Intersecto conjuntista de 1-biáxide con (puntón de) plano.

PUNTON INTERNO A UNA ESFERA: Punton vecinal sin rectas vecinales que contengan puntos suyos y no puntos de la esfera.

PUNTON INTERIOR A UNA ESFERA: Punton interno sin puntos propios que también lo sean de la esfera.

PUNTON EXTERIOR//EXTERNO A UNA ESFERA: Punton vecinal sin partes propias internas//interiores a la esfera.

BOLA CERRADA//ABIERTA: LADO INTERNO//INTERIOR DE UNA ESFERA: Máximo punton interno//interior a esfera.

COBOLA CERRADA//ABIERTA: LADO EXTERNO//EXTERIOR DE UNA ESFERA: Máximo punton externo//exterior a esfera.

CÍRCULO//ÁNULO: Bola//Cobola de aro

INTERVALO CERRADO//ABIERTO: Sistema de los puntos que están contenidos en una misma recta y son internos//exteriores a una misma esfera con (uno o dos) puntos propios, extremos, también contenidos en aquélla.

CUERDA DE UNA ESFERA: Intervalo interno entre dos puntos (como extremos) de la esfera.

PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO: Punto propio del intervalo que es mediano del par de sus extremos.

DIÁMETRO DE UNA ESFERA: Cuerda de la esfera que contiene el centro.

RADIO DE UNA ESFERA: Tracte de los rectores radiales, producto del puntor del centro por uno de ocurrente en la esfera.

RAYO: SEMIRECTA: Intervalo cuyo par de puntos extremos es normal.

RAYON DE UNA ESFERA: Sistema vecinal de rayos con extremo, origen, común en el centro de la esfera.

ARCO: Intersecto conjuntista de aro con círculo vecinal de aro no lateral a aquél ni intersecado por su cerco (en punton no vacío).

INTERPUNTON: Punton que contiene uno de ambos intervalos entre cada dos puntos propios.

PUNTON CONVEXO: Interpunton contenido en una bola.

PUNTON CÓNCAVO: Complemento en plano local de punton convexo.

(N-)PÚNTICE: Interpunton (convexo) minimal conteniendo el punton cabal de (n) vétices (siendo sus ((n-i)-)caras los ((n-i)-)púntices contenidos y de vértices comunes).

(N-)PUNTICIAL: Punton compuesto por unión de finitud de (n-)púntices con intersectos, cada dos, compuestos por caras comunes (si no vacíos).

MONOEDRO (ABIERTO): Punton complementario de plano maximal, faz, distinto del plano local (cuyo punto normal a él es el centro).

DIEDRO (ABIERTO): Interpunton maximal común a dos monoedros covecinales (cuyo conjuncto//intersecto de centros//faces es el eje//coeje).

ÁNGULO: Clase de los diedros congruentes.

EDRON: Partición del plano local en interpuntones maximales, EDROS, de puntos pertenecientes, los de cada uno, justo a los mismos monoedros covecinales de un mismo sistema de ellos (cuyas faces, partidas por los edrones faciales, forman el planon copar también llamado facial).

POLIEDRO: Punton compuesto por unión de edros covecinales de un mismo edron.

ORTOEDRO: Interpunton (convexo) que es intersecto de sistema maximal de diedros covecinales (tantos como el grado del plano local menos 1) cuyos sistemas de ejes y de coejes son perpendiculares ordinarios, (y tambien el de planos bisectores de diedros intersectores).

CUBO: Ortoedro con todos sus diedros intersectores congruentes entre si.

CUBOIDE: Transformado lineal de cubo (o de ortoedro).

TAMAÑO: Clase de los puntones no vacios contenidos en sendas bolas (de panesferas) minimales congruentes.

ORDEN MÉTRICO: Orden entre larguras que antepone//pospone, como menor//mayor, la del rector radial de esfera coaxial interior//exterior.

CORTADURA DE RECTA: Ordenamiento total de recta, radiante común de dos aros congruentes doblemente tangentes en puntos (normales entre sí) medio y extremo o corte, que antepone todo punto interior a uno a todo interior al otro, y ordena los puntos interiores a éste//aquél aro según el orden inducido//contrario por//a el de los covecinales centrados en el punto medio.

CORTADURA DE ARO: Ordenamiento total de aro obviamente derivado, por correspondencia natural con su rayon, de cortadura del cercon, que antepone puntos en rayos cortando el mismo de dos aros covecinales tangentes en el origen a puntos en rayos cortando el otro aro.

METRÍA: Orden entre tractes de rotores//invertores según el (primer) número (distinto) de rectores de mayor largura en un sistema propio.

MEDICIÓN CANÓNICA DE LARGURAS: Biyección entre los sistemas de éstas y de números entre 0 y 1, compatible con sus órdenes propios, que aparea la largura de la potencia n-ésima de la raiz m-ésima (n<m) de menor largura del rector normal con el número racional n/m, medida canónica.

(T-)DISTANCIA (entre rotores//invertores): Tracte del rotor producto de sucesion de un rotor//invertor por el inverso del otro.

(T-)DISTANCIA (entre puntos//n-planos): T-distancia entre sendos puntores/n-tractos normales generadores de los puntos/n-planos.

M-SISTEMA: SISTEMA MÉTRICO: Sistema entre cuyos individuos existe definida la (relación generalizada de) distancia.

INFINITÉSIMO: Objeto medible salvoinfinitesimalmente nulo, de medida menor que todo número racional distinto de cero.

T-SISTEMA: SISTEMA TOPOLÓGICO: Sistema en el que está definida (convencionalmente) una estructura topológica.

TOPOLOGÍA METRIAL: Topología determinada de modo natural (en el tractón, puntón, tractones, planos locales…) por la t-distancia.

PUNTON (M-)ABIERTO//(M-)CERRADO: Abierto//Cerrado en la topología metrial del puntón: Producto de la unión//intersección de un sistema de bolas//cobolas abiertas//cerradas en plano local).

TOPOLOGÍA  SALVOINFINITESIMAL: Topología, derivada de la metrial, cuyos cerrados tienen, cada uno, por individuos sólo a aquéllos que están a distancias infinitésimas de otros propios de un mismo cerrado metrial.

PUNTON (S-)ABIERTO//(S-)CERRADO: Punton complementario//idéntico a cerrado en la topología salvoinfinitesimal del puntón (del plano local).

ÁTOMO: Punton cerrado minimal en la topología salvoinfinitesimal del puntón: Intersecto de todas las bolas coaxiales de tamaño no infinitésimo.

PUNCTO: Sistema total de puntores generadores de puntos contenidos en un mismo átomo.

PLANO PUNCTUAL: Sistema total de puntores cuyos puntos pertenecen a átomos con individuos propios contenidos en el mismo plano.

PUNCTÓN//PÚNCTON: Sistema total//cualquiera de los punctos (contenidos en el plano local).

NÚMERO PUNCTUAL: Número que mide distancias entre punctos: generaliza, a todo orden lógico, el real (identificado a 1-serie decimal).

TOPOLOGÍA PUNCTUAL: Topología natural del punctón, cuyos abiertos//cerrados son los punctones cuya unión, de cada uno, produce el mismo sistema de puntores que un punton abierto//cerrado en la topología salvoinfinitesimal del puntón.

INTERIOR DE UN PUNTON: Abierto máximo contenido en el punton.

CIERRE DE UN PUNTON: Cerrado mínimo conteniendo el punton.

PUNTON ADHERENTE A UN PUNTON DADO: Punton contenido en el cierre del punton dado.

PUNTON INTERIOR//EXTERIOR A UN PUNTON DADO: Punton contenido en el interior del punton idéntico//complementario del dado.

FRONTERA: Intersecto conjuntista del cierre propio con el del complementario.

PUNTON FRONTERIZO: Punton contenido en la frontera.

ABERTURA//CLAUSURA: Clase de los puntones vecinales con mismo interior//cierre.

ENDON: Púnton abierto en el puntón total (como plano local).

EXON: Punton ninguna de cuyas partes (no vacias) es endon.

COENDON//COEXON: Punton complementario de endon/exon.

SERIE: Secuencia infinita, con primer término, mas no último.

N-SERIE: Serie cuyo sistema de secuencias iniciales es de orden lógico igual a n.

CONVERGENTE ESTRICTAMENTE: Serie métrica con términos sin posteriores a distancias mutuas mayores que cada una no nula.

CONVERGENTE SALVOINFINITESIMALMENTE: Serie métrica con términos sin posteriores a distancias mutuas mayores que cada una de medida racional no nula.

EQUICONVERGENCIA ESTRICTA//SALVOINFINITESIMAL: Equivalencia entre series que asocia en una misma clase, colímite, sólo las series que son equiconvergentes entre sí, que producen por intercalación de sus términos series estrictamente//salvoinfinitesimalmente convergentes.

LÍMITE DE UNA SERIE CONVERGENTE ESTRICTAMENTE//SALVOINFINITESIMALMENTE: Individuo terminal de la//una serie de términos iguales, constante, equiconvergente estrictamente//salvoinfinitesimalmente a ella.

PERCONTINUA: Aplicación//operación entre//en sistemas//sistema métricos//métrico que mantiene la convergencia de las series.

CONTINUA: Aplicación/operación que mantiene la relación entre series y límites.

BICONTINUA: Aplicación inyectiva continua cuya (biyección de rango a dominio) inversa también lo es.

HOMEOMORFÍA: Isomorfía topológica: Equivalencia entre los sistemas topológicos que asocia en una misma clase, SEUDOTOPO, sólo los que son transformables, homeomorfos,  entre sí por biyecciones bicontinuas, homeomorfismos, de unos en otros.

PERHOMEOMORFÍA: Homeomorfía entre sistemas parciales compatible con la de los totales, que asocia en una misma clase, TOPO, sólo los que son transformables, perhomeomorfos, entre sí por biyecciones bicontinuas, perhomeomorfismos, del espacio total en sí mismo.

PLANOIDE//ESFEROIDE//BOLOIDE//COBOLOIDE//INTERVALOIDE//MONOEDROIDE//EDROIDE...: Punton perhomeomorfo a (con topo propio de) plano/esfera/bola/cobola/intervalo/monoedro/edro...

LÍNEA: Punton homeomorfo a intervalo o recta.

CURVA: Línea sin partes que sean intervalos (no vacíos ni puntos).

ROTAMIENTO: Grupo de rotores (rotorial) isomorfo (algebraica y topológicamente) a un giron (roton de recta).

HÉLICE: Curva de puntos traídos de uno mismo por rotores de un mismo rotamiento cuyo plano generado (y no sus rectas propias) lo contienen.

RADION: Sistema de los rectores infinitesimales colímites de series de protores cuyos rectores terminales generan rectas coincidentes en un punto.

CONDENSO: Punton (en general, m-sistema) cuyos individuos son límites de series, convergentes a ellos, de otros propios distintos.

N-CONDENSO: Punton (m-sistema) cuyos individuos son límites de series de orden lógico n, convergentes a ellos, de puntos suyos distintos.

COMPLETO: Punton (m-sistema) cuyas series (de cualquier orden lógico) convergentes de puntos propios tienen por límite a puntos propios.

N-COMPLETO: Punton (m-sistema) cuyas n-series (de orden lógico n) convergentes de puntos propios tienen por límite a puntos también propios.

COMPACTO: Punton (m-sistema) cuyos subpuntones infinitos contienen, todos, series convergentes sin puntos repetidos.

CONEXO: Punton (m-sistema) cuyos puntos son, cada dos, extremos de un mismo (m-sistema homeomorfo a) intervaloide contenido en él.

N-CONEXO: Punton (m-sistema) cuyos puntos son, cada dos, propios de un mismo n-boloide contenido en él.

PERCONEXO: Punton (m-sistema) conexo cuyo interior es también conexo.

DESCONEXO: Sistema topológico compuesto por otros dos contenidos, cada uno en el interior del complementario (en espacio total) del otro.

TOTALMENTE DESCONEXO: T-sistema cuyos individuos pertenecen, cada dos, a sendos sistemas disjuntos, abiertos y cerrados, a la vez.

COMPONENTE (CONEXA): Parte conexa maximal.

PERCOMPONENTE (CONEXA): Parte perconexa maximal.

PUNTON DENSO EN OTRO: Punton (contenido en el otro) cuyo cierre contiene a éste.

EXTENSIVO: Punton cuyos interior y cierre son idénticos a los respectivos de su cierre e interior.

EXTENSURA: Clase de los puntones vecinales, equidensos entre sí, cuyos cierres tienen el mismo interior.

MENSIÓN: Relación entre extensuras que preordena como menor/mayor una que otra sólo si sus puntones extensivos pueden partirse en sendas finitudes de otros tales con interiores (o cierres) coordinadamente contenidos//contenedores los unos en//de sendos congruentes de los otros, y asocia en una misma clase, VOLUMEN, las extensuras, iguales entre sí, que tienen mismo sistema total de mayores (o de menores) que ellas.

MENSURA: Clase de las extensuras de abiertos contenidos, el de cada una, en el de la unión de una finitud de congruentes al de cada otra.

MEDICIÓN CANÓNICA DE VOLÚMENES: Biyección aditiva entre los sistemas totales de éstos y de los números volumétricos (obtenidos por obvia generalización de los ordinarios) entre 0 y 1, que aparea el volumen de (la extensura de el producto de) la unión de puntones extensivos disjuntos con la suma de los números, medidas canónicas, apareados con los volúmenes de éstos.

ÁREA: Clase de los puntones vecinales cuyas razones entre sus aumentos de volumen producidos por unión de las bolas covecinales congruentes con centros fronterizos tienen, al tender el tamaño de éstas al límite nulo, como valor límite la unidad.

N-ÁREA: Área de punton que es equidenso al vacío y cuyo cierre es perhomeomorfo a un punton extensivo en (n+1)-plano.

MEDICIÓN CANÓNICA DE N-ÁREAS: Biyección aditiva entre los sistemas totales de éstas y de los números n-volumétricos (que miden volúmenes en (n+1)-plano), que aparea el n-área del (n+1)-plano (cualquiera sea el plano local) con 1, y el de la unión de puntones disjuntos homeomorfos a puntones extensivos en tal plano con la suma (mayor o menor que 1) de los números, medidas canónicas, apareados con las n-áreas de aquéllos.

CUANTITUD: 0-área (cuya medida es un número cardinal).

LONGITUD: 1-área.

ÁREA ORDINARIA: 2-Área.

PIEZA: Parte perconexa y extensiva del plano local.

SERIE INFINITESIMAL: Serie salvoinfinitesimalmente equiconvergente a aquéllas cuyo límite es cero.

CUASICONMUTATIVA (INFINITESIMALMENTE): Operación de grupo metrial (o métrico) tal que las series cuyo n-ésimo término (para todo valor natural de n) es la n-ésima potencia del conmutador de n-ésimas raíces mínimas de pares de factores fijos son infinitesimales.

PROTOR: Clase de los pares de número racional y rotor ordinario transformables, cada dos, a uno mismo por simultáneas multiplicación de sus primeros términos por sendos números naturales y extracción en los segundos de sendas raíces mínimas de tales órdenes.

R-VECTOR: ROTOR INFINITESIMAL: Colímite de series convergentes salvoinfinitesimalmente (por la métrica derivada de la metría) de protores.

RECTOR INFINITESIMAL: Rotor infinitesimal colímite de series de protores rectoriales, cuyos rotores terminales son rectores.

ADICIÓN: Operación entre r-vectores que produce el r-vector, suma, colímite de la serie cuyo protor de n-ésimo término aparea el número n con el producto de la sucesión de los rotores parejas de n en los n-ésimos protores de (sendas mismas series asociadas en) los r-vectores factores.

TEORÍA DEL ESPACIO        AXIOMAS

 

 

00 – Existen secuencias cabales de puntores más largas que una cualquiera.

 

01 – La sucesión de puntores ocurrentes en mismo plano produce un tracto que genera un plano contenido en él.

 

02 – La sucesion de un par de tractos que generan planos disjuntos produce un tracto cuyo plano generado contiene aquéllos.

 

03 – La sucesión de un par de versores que generan un mismo plano produce el tracto nulo.

 

04 – La sucesión de un par de versores conmutantes que generan planos disjuntos produce un versor.

 

05 – Todo par cabal de punto y recta tiene una recta perpendicular ordinaria a ésta que pasa por el punto.

 

06 – Todo par normal de puntos tiene puntos medianos.

 

07 – Todo aro con rectas tangentes conteniendo puntos de otro coaxial no tiene puntos propios contenidos en las tangentes a éste.

 

08 – Todo aro sin puntos propios contenidos en rectas tangentes a otro coaxial es interior a éste.

 

09 – Todo punto lateral a un aro es centro de otro con tangente común a éste y contenido en su mismo lado.

 

10 – Salvoinfinitesimalmente, toda n-serie convergente de puntos en misma recta y a distancias mutuas canónicas racionales tiene límites en ésta.

 

11 – Estrictamente, toda serie convergente de puntos en misma recta tiene punto límite en ésta.

 

 

 

TEORIA DEL ESPACIO        TEOREMAS

 

– La clase de los grados coincide con la de los números naturales.

– Todo puntor genera un plano tractal que lo tiene por único elemento.

···

– Todo t-plano es un plano.

– Todo tracto del mismo tracton genera un t-plano contenido en el plano de éste.

– Todo planon tiene por plano intersecto al producto de la interseccion conjuntista de sus planos individuales.

– Todo planon tiene por conjuncto al intersecto de todos los planos que contienen a todos sus planos individuales.

...

– Todo tracto ocurre en el plano que genera.

– La sucesión de un par de tractos que generan planos disjuntos produce un tracto cuyo plano generado contiene a éstos.

– Los productos de sendos pares de tractos correlativamente equipotentes y generadores de planos disjuntos son tractos equipotentes.

– Ambos productos, en distinto orden, de par de tractos que generan planos disjuntos son tractos equipotentes.

– El conjuncto de t-planon cabal finito es t-plano generado por el producto de sendos generadores cualesquiera de todos sus planos.

···

– El tractón tiene estructura de grupo por la operación de sucesión, engendrado por los puntores.

– Todo tracton tiene estructura de grupo por la operación de sucesión, engendrado por los puntores ocurrentes en su plano.

– Cada tracto normal conmuta con todo tracto del tracton de su plano generado.

– La conjugación por un mismo tracto mantiene el grado de los tractos y su relación de potencia.

– La sucesión de dos tractos equipotentes que no conmutan produce un tracto que no es normal.

– Todo puntor menos potente que un tracto es factor, en lugar arbitrario, de secuencia cabal cuyo producto es éste.

– La sucesión de tracto (no nulo) con puntor igual o menos potente es un tracto de grado una unidad menor.

– La conjugación de un rector por un puntor de su recta produce su inverso.

– Todo par de rectores equipotentes es conmutante.

···

– Tractos ocurrentes en planos disjuntos generados por versores conmutantes también conmutan entre si.

– La sucesión de todo par de versores conmutantes produce un tracto normal.

···

– Todo plano tractal tiene un único tracto normal que lo genera.

– Todo tracto que genera el mismo plano tiene el mismo grado.

– Todo versor más potente que otro es producto de un par normal formado por éste y otro versor que genera un plano disjunto.

– Todo plano tiene una cadena creciente (finita o infinita) de planos tractales (contenido cada uno en el siguiente) que lo tiene por conjuncto.

– Toda cadena maximal de planos tractales determina otra de puntones (finitos) normales que tienen aquéllos por conjunctos.

– Todo tracto más//menos potente que otro tiene mayor//menor grado que éste.

– Todo tracto de grado máximo del mismo tracton genera el plano de éste.

– El grado del producto de dos tractos que generan planos disjuntos es la suma de los grados de ambos factores.

– Los tractos de todo sistema cabal (finito) generan planos cabales entre si, cuyo conjuncto es generado por el producto de todos ellos.

– La suma de los grados de intersecto y conjuncto de cada par de t-planos iguala la suma de grados de estos.

– Un t-planon finito es cabal solo si el grado de su conjuncto es igual a la suma de los grados de todos sus planos.

– La union de planones cabales/normales cuyos conjunctos son cabales/normales entre si produce un planon también cabal/normal.

– Todo n-plano que contiene un mismo sistema cabal de n puntos es el mismo.

– Todo tracto ocurrente en un plano es producto de uno, único, en un subplano arbitrario por otro, unico, en un subplano disjunto de éste.

– Un punton es plano solo si contiene toda recta que pase por dos puntos cualesquiera suyos.

– La sucesion de un numero par//impar de invertores produce un rotor//invertor.

– Todo roton es subgrupo normal de su tracton.

–  El intersecto de un plano de todo par codual con el conjuncto del otro y un plano tactal es tractal. Su conjuncto con el otro contiene al tractal.

– Todo plano codual de un mismo cotractal//tractal tiene un mismo grado//cogrado.

– El intersecto y el conjuncto de todo sistema finito de planos cotractales es un plano cotractal.

– La suma de los cogrados del intersecto y del conjuncto de par de planos cotractales iguala la de los cogrados de estos.

– El intersecto y el conjuncto de un sistema de planos normales a un mismo plano es también plano normal a éste.

– Cada plano regular tiene como único plano ortodual al conjuncto de todos los normales a él.

– Si el conjuncto//intersecto de sistema de planos regulares es regular, tiene por ortodual al intersecto/conjuncto de los ortoduales.

– El intersecto//conjuncto de sistema finito de planos regulares es regular.

– Todo plano tractal es regular (mas no todo cotractal lo es).

– La restricción de la relación de coparidad al sistema de planos tractales//cotractales es de equivalencia.

– Planos coduales de sendos planos tractales//cotractales copares entre si son copares entre si.

– Ningun par de planos tractales o cotractales con distinto grado o cogrado es copar.

– Planos perpendiculares disjuntos son normales entre sí.

– Todo plano que está contenido en uno perpendicular a otro y es normal//perpendicular al intersecto de ambos es normal//perpendicular al otro.

– El intersecto y el conjuncto de planos perpendiculares a uno mismo también es perpendicular a éste.

– Todo punto por el que pasan dos rectas perpendiculares ordinarias a un mismo plano (que no lo contiene) es normal a éste.

– Todo plano contenido en el conjuncto de dos perpendiculares entre sí, y conteniendo a uno de éstos, es perpendicular al otro.

– Versores equipotentes a sendos tractos conmutantes entre sí son también conmutantes entre sí (y con éstos).

– Todo plano generado por un tracto conmutante con sendos generadores de planos disjuntos del suyo es disjunto del conjuncto de éstos.

– El sistema de tractos conmutantes que generan planos disjuntos dos a dos es cabal, y el planon de éstos normal.

– Tractos productos de sendas secuencias distintas de factores cabales correlativamente equipotentes son distintos.

– Ningún producto de secuencia cabal de tractos factores no todos conmutantes entre sí es tracto normal.

– Ningún producto de dos tractos normales no conmutantes es tracto normal.

– Todo tracto conmutante con puntores sí//no ocurrentes en su plano conmuta también con todo otro ocurrente en el conjuncto de sus puntos.

– Todo par de planos regulares tiene un sistema normal de rectas perpendiculares ordinarias a ambos de cardinal igual al menor de sus grados.

– Todo plano regular de grado mayor que otro tiene (al menos) tantos puntos normales a éste como sea su diferencia de grados.

– Toda recta invariante con puntos no invariantes en versión es perpendicular ordinaria al plano generado por el versor factor.

– Todo tracto de grado mayor que 1 es producto de un par cabal de versores (que generan planos disjuntos).

– Todo tracto cuyo cuadrado es el tracto nulo es normal.

– Todo tracto tiene un sistema propio de factores de grado no mayor que 2.

– Todo invertor es producto de un puntor y un rotor propios.

– El tracton de cada plano tractal de grado impar es el producto directo de roton y verson propios.

– Todo par de tractos ocurrentes en sendos t-planos disjuntos, uno invariante en una tracción por generador del otro, es conmutante.

– Un plano es invariante en tracción por un tracto sólo si éste es producto de uno ocurrente en ese plano por otro en plano normal.

– Toda biyección tractorial de un plano en otro queda determinada por su restricción a cualquier punton antinormal cuyo conjuncto sea aquel plano.

– Todo tracto cuya tracción deja invariante todo punto de un punton cabal maximal en su plano generado es normal.

– El sistema total de los tractos que ocurren en el conjuncto de un punton y cuyas tracciones dejan invariantes todos sus individuos es grupo versal, engendrado por los generadores de planos del sistema normal más numeroso cuya unión contiene el punton y tiene su mismo conjuncto.

– Dos tractos ocurrentes en un mismo plano tractal traccionan igualmente todos los puntos contenidos en éste sólo si la sucesión de uno de ellos por el inverso del otro produce el versor generador.

– Un plano es propio de un tracto sólo si es invariante en la tracción por éste y está contenido en su plano generado.

– Todo tracto de grado mayor que 2 tiene un único sistema canónico propio de factores, formado por transores ordinarios y no más que un versor.

– El conjuncto de ambos intersectos de planos correlativos de dos pares cabales con igual producto de sus generadores normales es plano propio del tracto producto.

– Un plano es invariante en una tracciön solo si es conjuncto de uno propio del tracto agente y otro normal a su plano, determinados por él.

– Dos tractos conmutan sólo si sus factores propios generadores del intersecto de sus planos y ambos cofactores propios conmutan todos entre sí. Ambas parejas de cofactores propios quedan determinadas por ellos dos.

– Todo propion tractal//planar tiene estructura natural de retículo, por la relación de potencia//contenencia entre sus tractos//planos.

– Todo transon es un grupo con el tracto nulo como único transor no equipotente a los demás. Isomorfo a un rectron.

– Toda recta propia en el conjuncto de un sistema normal de rectas propias del mismo rotor ordinario tiene en cada uno de sus puntos un plano perpendicular ordinario a todas, éstas y aquélla. Único, si el sistema de todas ellas es antinormal (o cuasicabal).

– Cada dos rotores productos, cada uno, de un par cabal de versores generadores de rectas propias del otro tienen, en cada punto de las de un mismo par, una perpendicular ordinaria a ambas y propia del mismo rotor que las del otro par. Determinadas, si rotores ordinarios.

– Todo par de tractos conjugados tienen un tracto ocurrente en el conjuncto de sus planos que realiza la conjugación.

– Todo sistema cabal ordinario de planos paralelos es cabal perordinario.

– El conjuncto y el intersecto de par de planos reflejados entre sí son perpendiculares a ambos planos reflectores.

– Toda rotación es producto de dos reflexiones por planos (reflectores) disjuntos.

– Toda traslación es producto de dos reflexiones cuyos planos reflectores son todos (los cuatro) paralelos entre sí.

– Los proyectos mutuos, de uno sobre el otro, de dos planos por un mismo proyector disjunto de ambos son copares.

– Los conyectos mutuos, de uno sobre el otro, de dos planos por un mismo conyector cocabal de uno y de otro son copares.

– Todo n-plano queda determinado por su proyecton según planon proyectal de n+2 elementos no vacíos, siendo el intersecto de n+2 conjunctos de sendos duones cualesquiera del proyecton, o de 2 conjunctos de sendos ciertos duones.

– Todo n-coplano queda determinado por su conyecton segun planon conyectal de n+2 elementos distintos del puntón, siendo el conjuncto de n+2 intersectos de sendos coduones cualesquiera del conyecton, o de 2 intersectos de sendos ciertos coduones.

– Todas las rectas de biproyectron entre planos (copares) disjuntos son disjuntas entre sí.

– La biyección producto de dos biproyecciones (con primer proyectante idéntico a segundo proyectado) entre conjunctos de un mismo plano (de puntos invariantes) con sendos otros, de mismo planon cabal incluyendo aquél, correspondientes (en la secuencia de biproyecciones) es otra biproyeccion, por proyector igual al intersecto de los conjunctos de ambos proyectores (de las proyecciones) factores y de estos componentes correspondientes del primer proyectado y del segundo proyectante.

···

– Todo par de puntos distintos tiene sólo dos puntos medianos.

– Todo rotor no nulo tiene raices primitivas equipotentes suyas de cada orden que sea potencia de 2. (También, de cada otro).

– Toda medianía con dos puntos de una recta tiene infinidad de otros.

– Todo par de puntones finitos normales coordinables tiene tractos ocurrentes en el conjuncto cuyas tracciones llevan arbitrariamente el primero al segundo, y los puntos medianos de pares de un punto fijo con los otros del uno a puntos medianos de los correspondientes pares del otro.

– Tractos distintos ocurrentes en un mismo plano nunca traccionan igualmente todos los puntos en un plano mayor que contenga éste.

– Un punto forma con otros dos sendos pares congruentes sólo si su recta con un punto mediano es perpendicular ordinaria a la de éstos.

– Todo par de n-planos disjuntos tiene dos únicos n-tractos cuyas tracciones llevan arbitrariamente el primero al segundo. Sus planos generados, medieros, están compuestos por puntos medianos de los pares de puntos correspondientes.

– Todo par de n-planos//n-coplanos-regulares que se intersecan en s-plano//s-coplano tiene un número de planos medianos que es no menor que exp(2,n-s)//exp(2,s-n). Igual, si único el sistema normal de rectas perpendiculares ordinarias a ambos y disjuntas del intersecto.

– Todo 2n-rotor, producto de dos n-versores, tiene no menos que exp(2,n) rotores equipotentes que son raices cuadradas suyas, cuyas tracciones llevan el plano del primer n-versor factor al del segundo.

– Tractones de planos tractales//cotractales-regulares de mismo grado//cogrado son subgrupos conjugados del tractón total.

– Cada dos planos tractales/cotractales con el mismo grado/cogrado son copares entre sí.

– Cada dos planos no tractales ni cotractales que sean disjuntos son copares entre sí.

– Par normal de planos copares tiene planos medianos que reflejan arbitrariamente sendos puntones normales maximales en ellos.

– Todo sistema de planos generados por sendos tractones conmutantes, cada dos entre si, es normal.

– Solo dos elementos de cada t-tracton (no de vacio) conmutan con todos los suyos: el tracto nulo y el versor generador de su plano.

–  Solo el tracto nulo es conmutante con todo tracto: Tractos distintos realizan tracciones distintas (del puntón).

– Un tracto conmuta con todos sus equipotentes sólo si es normal o rector.

– Todo punton cabal finito pueder ampliarse a uno cuasicabal (con su mismo conjuncto) y a otro cabal ordinario con un punto más.

– Todo tracto ocurrente en conjuncto de dos planos normales es producto de uno normal en plano disjunto por sendos tractos en ellos.

– Todo rotor ocurrente en n-plano es producto de (tracto nulo por) secuencia de no más que un rector en cada una de las n(n-1)/2 rectas de cualquier 2-planon perpendicular ordinario y maximal en el n-plano.

– Cada dos rectores propios no conmutantes entre si de un mismo rotor son conjugados entre sí (del mismo tracte).

– Todo rotor con un sistema propio de rectores pertenecientes todos al mismo tracte es un transor.

– Todo rotor con sistema antinormal de rectas propias cuyo conjuncto es el plano generado es un transor.

– Toda rotacion con un sistema antinormal de rectas invariantes cuyo conjuncto es el plano transformado es una traslacion.

– Rectas generadas por rectores propios no semejantes de un mismo tracto son normales entre sí.

– Todo rotor (no nulo) tiene un único sistema propio de tantos transores como indica su p-índice.

– Todo rotor es producto de una secuencia de tantos transores conmutantes y decrecientes en potencia como indica su p-índice.

– Todo rotor es producto de sucesión de tantos transores conmutantes y equipotentes como indica su p-índice.

– Todo transor tiene raíces de cualquier orden que pertenecen a su transon.

– Todo par paralelo ordinario tiene solo dos planos medianos paralelos a los suyos. Normales entre sí.

– Dos rectas son paralelas sólo si son propias de un mismo rotor ordinario. Éste puede ser raiz cuadrada del generador normal del conjuncto.

– Un par cabal ordinario de planos es paralelo sólo si por cada punto de ellos pasa una (sola) recta perpendicular ordinaria a ambos.

– Toda recta que interseca ambos planos de par paralelo es perpendicular a ambos o a ninguno.

– Ninguna recta intersecando no perpendicularmente dos planos paralelos es paralela a una perpendicular ordinaria a ambos.

– Todo transor (rotor) ordinario determina en su plano generado una partición en rectas propias, paralelas todas entre sí.

– Por cada punto del conjuncto de un 2-planon normal pasan solo exp(2,n) rectas paralelas a todas las suyas, siendo n+1 el menor numeral de subplanon cuyo conjuncto lo contenga. Contenidas todas en el conjuncto.

– Rotores ordinarios equipotentes con un mismo sistema antinormal de rectas propias comunes que conjuntan su plano generado son transores de la misma transdirección.

– El directron de un par ordinario de planos paralelos tiene un único codirectron, que los incluye.

– Todo coproyectron paralelo entre t-planos de grado impar con proyectron paralelo es un codirectron: sus planos son perpendiculares a las rectas del proyectron. (Es imposible traladar paralelamente un t-plano de grado impar si no es perpendicularmente.)

– Un 2-planon paralelo es paralelon sólo si cada tres rectas suyas son propias de un mismo rotor (transor).

– El plano copar normal a uno de cada dos, del mismo paralelon, en conjuncto de ambos es paralelo a todos los del planon.

– Todo plano paralelo a todos los de un paralelon interseca su conjuncto en el vacio o en sí mismo.

– Todo paralelon contiene uno cabal (paralelon) con su mismo conjuncto.

– Todo planon copar normal tiene en su conjuncto y por cada punto de éste planos paralelos a todos los suyos. Infinidad, si el grado de los planos es mayor que 2 (y el punto no es de ellos)

– Varios tractos (no nulos) conmutan todos entre sí solo si tienen sendos sistemas propios de tractores (puntores o rectores) que conmutan todos entre si (o que generan planos de un mismo sistema normal).

– Un sistema de tractos ocurrentes en un mismo plano es autoconmutante solo si existe un sistema de rectas o puntos invariantes en todas sus tracciones cuyo conjuncto sea el plano.

– Todo rotor en 2n-plano cuya tracción deja invariante una partición paralela de éste en rectas tiene un sistema propio formado por rectas de tal dirección. Determinado, si el rotor es p-ordinario.

– Todo rotor en 2n-plano cuya tracción deja invariante una partición paralela suya en rectas es producto de sucesión de no más que un transor de su transdirección y no más que n versores generadores de rectas suyas.

– Todo 2(2n+1)-plano//4n-plano tiene sólo uno//dos sentidos, autoconjugado//conjugados entre si por invertores de su tracton.

– Todo transor natural es determinado, conjuntamente, por su sentido y rector propio que genera recta pasando por punto arbitrario.

– Todo codirectron de 2-directron es 2-directron cuyo codirectron es éste. Son planones paralelos segun sentidos contrarios.

– Transores naturales (equipotentes y ordinarios) del mismo sentido conmutan sólo si tienen la misma dirección.

– Transores de sentidos distintos del mismo plano natural (de grado 4) son conmutantes entre sí.

– Toda transión lleva cada recta (no invariante) contenida en el plano propio (del transor agente) a una paralela, en dirección de sentido contrario al del factor propio generador del conjuncto de ambas.

– Sólo los planos de grado 2 ó 4 tienen sentidos que forman, incluyendo tracto nulo y versor, grupo por la operación de sucesión.

– Ningun tracton de grado distinto a (0,) 2 ó 4 tiene subgrupos transitivos de transiones sobre su plano.

– Ningun plano de grado distinto a (0, 1,) 2 ó 4 admite paralelismo con paracton formado solo por tracciones suyas.

– Sólo los planos de grado 2 ó 4 admiten paralelismos con sólo transiones como paractos. En la recta, ambos paralelismos conjugados son idénticos; en el plano natural, las transiones de distinto sentido pertenencen a paractones conjugados.

– Ningun plano admite particiones en planos paralelos de grados distintos a 1, 2 ó 4.

– Todo 4n-plano tiene particiones (infinidad, si n>1) en planos naturales paralelos, todos entre sí. Determinadas por cualesquiera de sus planones antinormales (de n individuos, si minimal) y un sentido transorial de cualquiera de sus planos.

– Ambas particiones paralelas, conjugadas, determinadas en su conjuncto por un mismo 4-planon cuasinormal antinormal y sentidos transoriales contrarios, tienen en común sólo los componentes de un directron entre cada par normal de 4-planos comunes. Las transiones (del conjuncto) que dejan invariantes todos los 4-planos de cada partición forman sendos grupos conmutantes entre si (isomorfos a los sentidos del 4-plano).

– Toda rotación en el conjuncto de un mismo 4-planon paralelo cuasinormal que deja invariantes sus planos es compatible con ambas particiones conjugadas, y producto de dos transiones que dejan invariantes todos sus planos. Tales rotaciones forman grupo isomorfo al del roton natural.

– Toda rotación de 4n-plano compatible con partición paralela suya en 4-planos es producto de la sucesión de una 4n-transion que los deja todos invariantes y no más que n transiones compatibles (de sentidos contrarios a (conmutantes con) los inducidos) sobre planos suyos.

– Toda rotación de 4n-plano compatible con partición paralela suya en 4-planos tiene un sistema propio de factores que son producto, cada uno y además del factor propio de la 4n-transión invariadora, de no más que dos transiones compatibles sobre planos suyos.

– Un planon paralelo ordenado naturalmente es paralelon solo si el proyecto perpendicular (por proyector normal a proyectante) de cada plano suyo posterior sobre el conjuncto de los anteriores es paralelo a él y a éstos.

– Un proyectron entre dos planos paralelos es paralelo solo si su coproyectron es paralelo.

– Ambos planos medieros (formados por puntos medianos de pares de puntos correspondientes) en la traslación de un plano a otro paralelo suyo forman con éstos un planon paralelo.

– Todo par de planos copares disjuntos tiene una biproyección entre ellos que transforma arbitrariamente un punton cuasicabal cualquiera del primero en otro tal del segundo.

– Todo par de planos copares no cotractales tienen una biproyeccion de uno en otro, producto de un par de proyecciones, que transforma arbitrariamente cualquier punton cuasicabal del primero en otro tal (con mismo numeral) del segundo.

– Por cada punto de rectas del mismo proyectron entre planos (copares) disjuntos pasa un solo plano copar (contenido en su conjuncto) que interseca todas ellas.

– Todo proyectron entre dos n-planos disjuntos que contiene un mismo subplanon cuasicabal de n+1 rectas es un mismo proyectron.

– Todo par de planos con un sistema cuasicabal de rectas perpendiculares ordinarias a ambos y con su mismo conjuncto es paralelo.

– Toda biyección lineal entre planos (copares) disjuntos es una proyección.

– Toda aplicación lineal con la misma restricción a un punton cuasicabal tiene la misma restricción su conjuncto.

– Toda biyección lineal entre planos que deja invariantes sus puntos comunes es una proyección.

– Toda biyección lineal entre planos no cotractales es producto de dos proyecciones.

– Todo proyectron con un subsistema cuasicabal paralelo (de rectas) con su mismo conjuncto es paralelo.

– Todo coproyectron con tres planos paralelos es paralelo.

– Todo par de n-planones cuasicabales paralelos coordinados tiene biyecciones proyectivas entre sus conjunctos que llevan todo plano del primero a su correspondiente del segundo, y todo plano paralelo a los de aquél en plano paralelo a los de éste.

– Todo plano del coproyectron que incluya dos planos de un mismo planon paralelo cuasicabal y el proyecto del uno por el otro sobre el conjuncto del resto, es también paralelo a todos ellos.

– Todo plano que sea paralelo a tres planos de un coproyectron es paralelo a todos sus planos.

– El punton formado por unión de dos bibasales en planos disjuntos e inclusión de un punto en recta intersecando estos dos es bibasal.

– Toda biyección proyectiva entre n-planos distintos es producto de tantas biproyecciones entre planos de su conjuncto como indique el menor entero no menor que el cociente entre suma y diferencia de los grados de conjuncto e intersecto de aquellos.

– Todo colineamiento (no contenido en recta) incluye el conjugado armónico de cada uno, relativo a cada dos, de sus puntos.

– Los intersectos de los birreflectores con el conjuncto de par de planos disjuntos birreflejados son birreflejados entre sí por éstos.

– Toda biproyección coincide con la restricción al plano proyectado de una birreflexión con birreflector conteniendo el proyector.

– Todas las biversiones en mismo plano y con un plano birreflector del mismo grado son conjugadas (por colineación).

– Toda bitracción es producto de una tracción y una contracción pura y normal.

– Toda biyección bitractal es producto de una tractal y una contracción pura y normal.

– Los bitractones con soportes copares son grupos isomorfos.

– Toda biyeccion lineal entre planos no cotractales es producto de dos birreflexiones.

– Todo bigiro que no es elación (ni nulo) tiene una sola recta invariante con correcta codual de puntos invariantes.

– Toda elación deja invariante todo punto//recta contenido//contenedor en//de el plano//punto cercal//central.

– Todos los elatones y coelatones son subgrupos conmutativos, isomorfos por conjugación o dualidad, del biparton total.

– El producto de tres birreflexiones con un plano birreflector común es una birreflexión con ese mismo plano birreflector.

– El producto de n+2 bipunciones cuyos puntos//planos birreflectores tienen conjuncto//intersecto de grado//cogrado n es también producto de n bipunciones.

– Toda bitracción par//impar de un bitracton con soporte de grado 2n//2n+1 es producto de 2n//(2n+1 bipunciones (iguales o distintas).

– Toda bitracción par//impar de un bitracton con soporte de grado 2n+1//2n es producto de 2(n+1)//2n+1 bipunciones (iguales o distintas).

– Toda bitracción raíz de la nula (con alguna potencia nula) es rotatoide.

– Toda bitracción par es producto de factores conmutantes que son bigiros o telaciones.

– Toda bitracción impar es producto de otra par y una bipunción conmutante.

– Todo punto de un 1-axe está contenido en planos paralelos a los ejes de menor grado cuyos puntos contenidos son propios del biaxe.

– Todo 1-axe cuyos ejes son planos de grados múltiplos de 2//4 admite una partición en (puntones totales de) rectas//4-planos paralelos.

– El intersecto de un 1-axe con (el puntón de) un plano radiante es un 1-axe cuyos ejes propios son los intersectos del plano con los ejes de aquél.

– El intersecto de una esfera con (el puntón de) un n-plano vecinal es vacío, punton atómico o esfera con (n-1)-plano como cerco (n > 2).

– Todo plano tangente a una esfera contiene un único punto propio de ella.

– Cada par de puntos distintos de esfera tiene sendos puntos medianos en cercon y recta radiante perpendicular a la suya.

– Por cada punto exterior a un aro pasan sólo dos rectas tangentes a éste.

– Todo sistema cabal de n+1 (n>1) puntos tiene sólo exp(2,n) esferas covecinales suyas que lo contienen.

– Todo sistema cocabal de n+1 (n>1) n-planos tiene sólo exp(2,n) esferas vecinales que los tienen a todos por tangentes.

– Todo n-plano que pasa por un punto mediano de cada uno de los n pares formados por un mismo primer punto y sendos otros de mismo punton cabal también pasa por un punto mediano de cada uno de los otros pares posibles del punton.

– Todo n-plano que pasa por el punto normal al intersecto y en plano mediano de cada uno de los n pares con un mismo primer n-plano y sendos otros distintos de mismo n-planon cocabal también pasa por un tal punto de cada uno de los otros pares de éste.

– Tres rectas que corten perpendicularmente sendas otras de 2-planon cocabal ordinario y pasen cada una por el punto de intersección de las otras dos (del 2-planon cocabal) tienen un punto común.

– Tres puntos que sean normales a sendos otros de punton cabal y estén contenidos cada uno en la recta de los otros dos (del punton cabal) están contenidos en una misma recta.

···

– De cada dos esferas coaxiales, una es exterior a la otra.

– Todo punto en plano tangente a una esfera es externo (exterior, si no es el de tangencia) a ésta.

...

– De cada dos esferas coaxiales, solo una es interior a la otra.

– Todo sistema de esferas coaxiales se ordena totalmente tomando por menor/mayor a la esfera interior/exterior.

– Un punto vecinal a una esfera es interno/exterior a ella solo si sus rectas vecinales perpendiculares a la radiante por él sí/no la cortan.

– Cada par de puntos de una esfera tiene un punto mediano en su bola. (El otro está en el cercon.)

– Dos esferas covecinales congruentes se cortan sólo si (al menos) uno de los puntos medianos del par de centros es interior a ambas.

···

– Dos esferas covecinales (distintas) con dos rectas tangentes comunes son mutuamente externas.

– Cada una de las dos bolas interiores a sendas esferas distintas congruentes y doblemente tangentes son exteriores a la otra esfera.

– Cortaduras con un mismo extremo (inicial/final) de misma recta son ordenamientos idénticos o contrarios. Cada dos inducen ordenamientos iguales o contrarios entre sus extremos.

– Todo punto interior a una de dos esferas mutuamente externas es exterior a la otra.

– Sólo una de ambas esferas covecinales centradas en cada punto interior y tangentes a una esfera es interna a ésta.

– Sólo una de ambas esferas covecinales centradas en cada punto exterior y tangentes a una esfera tiene bola externa a ésta.

– Todo punto en recta tiene dos sistemas de esferas covecinales tangentes en él y con ella por radiante común, tales que, en cada sistema, una de cada dos esferas es interna a la otra, y se llena, con el plano tangente común, el plano local.

– Uno (al menos) de los puntos medianos de centro y punto de la esfera es interior a esta.

– Una esfera es interna//externa a otra covecinal sólo si el diámetro de aquélla en la radiante común está contenido en la bola//cobola de ésta.

– El tamaño de las cuerdas de arcos concéntricos con extremos en mismos rayos radiantes se ordena como el de los correspondientes radios.

– Los tamaños de la cuerda y del arco menor//mayor en mismo aro se ordenan directamente//contrariamente. El diametro es la cuerda mayor.

– Cada par de puntos distintos tiene sólo dos intervalos (abiertos//cerrados) entre ellos. Complementarios (abierto-cerrado) en recta.

– Cada uno de dos aros covecinales con una cuerda común tienen uno de sus dos arcos en el círculo del otro.

– Los tamaños de la cuerda y de su arco menor (de cada aro) son el mismo.

– Todo sistema de n (>0) puntos de misma recta/aro determina una particion de su punton complementario en n intervalos/arcos (abiertos) con ellos como extremos.

– Todo punton complementario de un interpunton en plano local es también interpunton.

– Toda proyección mantiene en los puntones la propiedad de ser interpunton//convexo//cóncavo.

– La biyección entre dos aros covecinales, con punto interior común, que empareja sendos puntos (únicos) en mismo intervalo con extremo en éste transforma las cortaduras del uno en las del otro.

– Todo (n+2)-púntice es un interpunton convexo, determinado por sus n+1 2-caras con extremo en un mismo vértice cualquiera, producto de la unión de los intervalos, con extremos en ese vértice y en la (n+1)-cara opuesta, internos a una misma esfera (que pasa) por sus vértices.

– Cada punton cabal de n+1 vértices tiene sólo exp(2,n) (n+1)-púntices suyos, cuya unión produce el puntón del plano, siendo cada (n+1-i)-cara común a sólo exp(2,i) púntices de ellos.

– El punto de intersección de un sistema de n (n+1)-planos conteniendo (los puntos de) sendas n-caras distintas y sendos puntos de las 2-caras opuestas de un mismo (n+1)-púntice pertenece a éste.

– Todo interpunton convexo contiene solo un n-púntice con mismo punton (cabal) de n vértices contenido en él.

– Todo interpunton cóncavo contiene (el puntón de) subplanos maximales de su propio plano.

– El orden (metrial) entre las distancias de cada punto no normal de una recta a los puntos de un plano perpendicular no depende de aquél.

– Toda recta tiene en su tracton no más que n raíces n-ésimas del tracto nulo.

– Las n primeras protencias de la n-ésima raiz primitiva (con tracte) menor de cada rotor son menores que el (según la metría).

– El tracte de las raíces primitivas mínimas de un rotor decrece al aumentar el orden de radicación.

– La distancia de un punto/plano a su correspondiente en la tracción por raiz cuadrada mínima de un rotor con mismo sistema propio (normal) de rectas propias y sendos rectores propios no mayores que los de otro nunca es mayor que la existente a su correspondiente en la de éste.

– La distancia máxima entre puntos correspondientes en tracción del puntón por un rotor raiz, de orden 2 o mayor, mínima de otro (no nulo) sólo puede alcanzarse en rectas propias suyas. También, la mínima entre puntos correspondientes en plano generado.

– La medida de la distancia entre dos puntos/rotores/invertores nunca es mayor que la suma de las de ambos a un tercero.

– El cierre/interior de un interpunton es también interpunton.

– El intersecto de dos interpuntones convexos está compuesto por uno o dos interpuntones covexos disjuntos.

– Un interpunton es convexo sólo si es producto de intersección de monoedros.

– La suma de las medidas de distancias entre un primero y un segundo puntos y entre éste y un tercero no es menor que la medida de la distancia entre el primero y el tercero.

– Todo plano distinto del punto tiene un puntón y un punctón propios que son condensos (para el primero y, por tanto, para todo orden lógico).

– Toda medianía de una recta es punton salvoinfinitesimalmente denso en (con cierre idéntico a) ésta.

– La operación de sucesión es cuasiconmutativa infinitesimalmente en torno al tracto (rotor) nulo.

– Toda aplicación lineal entre planos tractales es percontinua. (Entre planos no tractales, puede no serlo.)

– El cierre salvoinfinitesimal de un colineamiento que contiene un punton bibasal contiene el conjuncto de éste.

...

…

– Todo rector (no nulo) tiene n raíces n-ésimas de orden n equipotentes a él.

– El puntón de todo plano sí//no tractal es sí//no completo (estricta y salvoinfinitesimalmente, en todo orden lógico).

– El puntón de todo plano sí//no tractal es sí//no compacto salvoinfinitesimalmente (estrictamente, no, si su grado es mayor que 1).

– El punctón de todo plano sí//no tractal es sí//no completo y compacto en su topología natural (punctual).

– Cada tracton (de plano no vacío) tiene dos componentes conexas: la de sus rotores y la de sus invertores.

– Los aros son homeomorfos a las rectas, mas no perhomeomorfos. Ninguna esfera no aro es homeomorfa a un plano.

– Toda línea contenida en punton planoideo y con puntos propios en sendas componentes complementarias boloidea y coboloidea tiene en común algún punto propio con la frontera (esferoidea) de éstas.

– Dos aros covecinales cuyos círculos tienen intersecto no vacio tambien tienen puntos (no más que cuatro) comunes.

– El radion en (n+2)-plano local tiene estructura natural de (n+1)-espacio vectorial sobre el campo de los números punctuales (n = 0, 1, 2…).

– El sistema de los r-vectores de un mismo (n+2)-plano tiene la estructura natural de ((n+2)!/2!n!)-espacio vectorial punctual.

– El n-tracton tiene estructura de grupo continuo salvoinfinitesimalmente homomorfo al sistema de las (n,n)-matrices punctuales ortogonales.

– El n-roton tiene estructura de grupo continuo salvoinfinitesimalmente homomorfo al sistema de las (n,n)-matrices punctuales ortogonales directas.

– El giron es salvoinfinitesimalmente homomorfo al grupo multiplicativo de los números punctuales complejos de módulo 1.

– Todo sentido de plano natural tiene estructura de grupo homomorfo salvoinfinitesimal al multiplicativo de los cuaternios punctuales de módulo 1.

– El punctón de (n+1)-plano tiene la estructura natural de n-espacio proyectivo sobre el campo de los números punctuales.

– Toda partición de 2(n+1)-plano en rectas punctuales paralelas tiene estructura natural de n-espacio proyectivo punctual complejo.

– La particion de 4(n+1)-plano en planos punctuales naturales paralelos tiene la estructura natural de n-espacio proyectivo punctual cuaternio.

– El bitracton de n-plano tiene estructura de grupo homomorfo salvoinfinitesimal al de las (n,n)-matrices punctuales de determinante +1 ó -1.

– El biparton de n-plano tiene estructura de grupo homomorfo salvoinfinitesimal al de las (n,n)-matrices punctuales de determinante +1.

– Toda contracción de un plano es producto de una contracción pura y una reflexión conmutantes.

– La longitud de un aro cuyo radio mide r (entre 0 y 1) veces el (límite) máximo es 2sen((π/2)r) veces la de la recta.

– El volumen de una n-esfera cuyo radio mide r (entre 0 y 1) es el doble de la n-esima potencia de sen((π/2)r) veces el volumen del cercon.

 

                                                                                                                                                                            a continuar

 

– La dimensión analítica del sistema de n-planos contenidos en un m-plano (m no menor que n) es (m-n)n.

– El rotacional del campo vectorial de (los rectores infinitesimales) velocidades de un medio (ocupante del plano natural) que se mueve  giratoriamente es proporcional al campo de velocidades del movimiento giratorio con sus ejes móvil y fijo intercambiados.

– Todo sistema de masas situadas en puntos de un mismo plano puede reducirse (al límite) a un sistema normal de masas en sendos puntos normales entre sí de ese plano, mediante sucesivas: a) fusiones//divisiones de//en masas coincidentes; b) rotaciones, dentro de sus propios planos, de subsistemas normales de masas iguales; c) sustituciones de//por pares de masas iguales por//de sendos pares de masas situadas en los puntos medianos de aquéllas, proporcionales a los cuadrados de los cosenos de los semiángulos (complementarios) correspondientes a los intervalos (complementarios) entre ellas, y cuya suma sea la misma.

 

 

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