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Pi: um número
irracional e fascinante |
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Francisco J. Alves de
Aquino, professor CEFET-Ce,
mestre em Engenharia Elétrica |
Resumo -- neste trabalho iremos mostrar algumas das
principais características e utilidades do número p, algumas fórmulas que podem ser utilizadas
para seu cálculo e um pouco da sua história. Apesar da sua conhecida antigüidade, o número p é ainda fonte de pesquisas em diversas áreas da
matemática e da informática.
I.
INTRODRUÇÃO
O número p está presente em inúmeras situações práticas e
muitos povos antigos chegaram a encontrar um valor aproximado para esta
constante.
Os primeiros a se depararem com este número
foram os antigos egípcios e babilônios. Eles atribuíam ao p o valor aproximado de “3”, não se pode afirmar
com certeza se eles descobriram isto ao perceber que a razão entre o
comprimento de círculo e o seu diâmetro era uma constante que não dependia do
tamanho da circunferência. Talvez a motivação tenha sido o cálculo de áreas
circulares ou volumes de esferas. Os mais
antigos documentos que temos e que tratam explicitamente de p são tabuletas mesopotâmicas
de cerca de 2.000 AC [1].
Entretanto, foram os gregos que iniciaram uma pesquisa mais sistemática
e científica em busca do valor exato de p. O grande físico-matemático grego Arquimedes
se dedicou a este trabalho, e acabou por quase alcançar os fundamentos do
cálculo infinitesimal. Utilizando um processo de aproximação de polígonos
inscritos e circunscritos em um círculo, ele chegou a conclusão que o p estava entre os valores 22/7 e 223/71:
3 10/71 < p < 3 1/7
II.
Algumas Fórmulas para Cálculo
do p
Muitas fórmulas
podem ser utilizadas para calcular p, algumas delas foram deduzidas ainda no início
da Idade Moderna [2]. Segue uma tabela com algumas destas fórmulas.
Tabela 1. Algumas das fórmulas para cálculo de p
Algumas destas
fórmulas têm uma convergência computacional muito rápida, outras são
especialmente lentas e inadequadas tanto para o cálculo manual quanto para o
cálculo por computador.
Dezenas de outros matemáticos e cientistas, além do grego Arquimedes,
tentaram calcular p sempre com o maior número possível de casas
decimais, ao longo dos tempos, como podemos apreciar nas Tabelas 2 e 3 [3].
|
Matemático |
Data |
Casas |
Comentário |
|
Rhind papyrus |
2000BC |
1 |
4 (8/9)2 |
|
Archimedes |
250BC |
3 |
3.1418 |
|
Vitruvius |
20BC |
1 |
25/8 |
|
Chang Hong |
130 |
1 |
Ö10 |
|
Ptolemy |
150 |
3 |
3.14166 |
|
Wang Fan |
250 |
1 |
142/45 |
|
Liu Hui |
263 |
5 |
3.14159 |
|
Tsu Ch'ung Chi |
480 |
7 |
355/113 |
|
Aryabhata |
499 |
4 |
62832/2000 |
|
Brahmagupta |
640 |
1 |
Ö10 |
|
Al-Khwarizmi |
800 |
4 |
3.1416 |
|
Fibonacci |
1220 |
3 |
3.141818 |
|
Madhava |
1400 |
11 |
3.141592... |
|
Al-Kashi |
1430 |
14 |
3.141592... |
|
Otho |
1573 |
6 |
3.1415929 |
|
Viète |
1593 |
9 |
3.141592... |
|
Romanus |
1593 |
15 |
3.141592... |
|
Van Ceulen |
1596 |
35 |
3.141592... |
|
|
1665 |
16 |
3.141592... |
|
Sharp |
1699 |
71 |
|
|
Seki Kowa |
1700 |
10 |
|
|
Kamata |
1730 |
25 |
|
|
Machin |
1706 |
100 |
|
|
De Lagny |
1719 |
127 |
Somente 112 corretas |
|
Takebe |
1723 |
41 |
|
|
Matsunaga |
1739 |
50 |
|
|
von Vega |
1794 |
140 |
Somente 136 corretas |
|
|
1824 |
208 |
Somente 152 corretas |
|
Strassnitzky |
1844 |
200 |
|
|
Clausen |
1847 |
248 |
|
|
Lehmann |
1853 |
261 |
|
|
|
1853 |
440 |
|
|
Shanks |
1874 |
707 |
Somente 527 corretas |
|
|
1944 |
620 |
|
Tabela 2. Cálculo manual do p
Alguns desses calculadores de p ficaram famosos. na Alemanha, por exemplo, o
número p ficou conhecido por muito tempo como número de Ceulen.
William Shanks (1812 – 1882) teve a paciência de
calcular o p com 707 casas decimais, mas, infelizmente, ele cometeu pequeno erro que
foi percebido por Ferguson. Shanks e Ferguson usaram
as seguintes fórmulas para cálculo de p:
(14) (15)
|
|
Ano |
No. dígitos |
Máquina |
|
G. Reitwiesner |
1949 |
2.037 |
ENIAC |
|
S.C. Nicholson J. Jeenel |
1954 |
3.092 |
NORC |
|
G.E. Felton |
1957 |
7.480 |
Pegasus |
|
F. Genuys |
1958 |
10.000 |
IBM 704 |
|
G.E. Felton |
1958 |
10.020 |
Pegasus |
|
J. Guilloud |
1959 |
16.167 |
IBM 704 |
|
W. Shanks & T.W. Wrench Jr |
1961 |
100.265 |
IBM 7090 |
|
J. Guilloud & J. Filliatre |
1966 |
250.000 |
IBM 7030 |
|
J. Guilloud & M. Dichampt |
1967 |
500.000 |
CDC 6600 |
|
J. Guilloud & M. Bouyer |
1973 |
1.001.250 |
CDC 7600 |
|
K. Miyoshi & Y. Kanada |
1981 |
2.000.036 |
FACOM M-200 |
|
J. Guilloud |
1981-82 |
2.000.050 |
not known |
|
Y. Tamura |
1982 |
2.097.144 |
MELCOM 900II |
|
Y. Tamura & Kanada |
1982 |
4.194.288 |
HITAC M-280H |
|
Y. Tamura & Kanada |
1982 |
8.388.576 |
HITAC M-280H |
|
Y. Kanada, S. Yoshino & Y. Tamura |
1983 |
16.777.206 |
HITAC M-280H |
|
Y. Ushiro & Y. Kanada |
1983.10 |
(*)10.013.395 |
HITAC S-810/20 |
|
W. Gosper |
1985.10 |
17.526.200 |
Symbolics 3670 |
|
D.H. Bailey |
1986.1 |
29.360.111 |
CRAY-2 |
|
Y. Kanada & Y. Tamura |
1986.9 |
33.554.414 |
HITAC S-810/20 |
|
Y. Kanada & Y. Tamura |
1986.10 |
67.108.839 |
HITAC S-810/20 |
|
Y. Kanada, Y. Tamura, Y. Kubo, etc. |
1987.1 |
134.214.700 |
NEC SX-2 |
|
Y. Kanada & Y. Tamura |
1988.1 |
204.326.551 |
HITAC S-820/80 |
|
G. Chudnovsky D. Chudnovsky |
1989.5 |
480.000.000 |
CRAY-2 IBM-3090/VF |
|
G.Chudnovsky D.Chudnovsky |
1989.6 |
535.339.270 |
IBM 3090 |
|
Y. Kanada & Y. Tamura |
1989.7 |
536.870.898 |
HITAC S-820/80 |
|
G.Chudnovsky D.Chudnovsky |
1989.8 |
1.011.196.691 |
IBM 3090 |
|
Y. Kanada & Y. Tamura |
1989.11 |
1.073.740.799 |
HITAC S-820/80 |
|
G. Chudnovsky D. Chudnovsky |
1991,8 |
2.260.000.000 |
Home made parallel computer |
|
D. Takahashi & Y. Kanada |
1995.6 |
3.221.220.000 |
HITAC S-3800/480 |
|
G.Chudnovsky D.Chudnovsky |
1994,5 |
4.044.000.000 |
New home made parallel computer |
|
D. Takahashi & Y. Kanada |
1995.8 |
4.294.960.000 |
HITAC S-3800/480 |
Tabela 3. Obtenção do p com uso de computadores
III.
Como se obter algumas dessas
fórmulas
Muitos matemáticos deram contribuições na forma de novas fórmulas para o
cálculo de p. Entre eles podemos citar: Arquimedes, Francois
Viète, John Wallis, Lord Brouncker, Isaac Newton, Machin, Leonard Euler, Leibnitz, e muitos outros. Algumas dessas fórmulas são
muito recentes, tais como as descobertas por Srinivasa
Ramanujan (1914), Louis Comtet
(1974), Jonathan e Peter Borwein (1989), e Simon Plouffe (1996). Entre as fórmulas mais antigas são
particularmente notáveis:
(16) (17)
Além de fórmulas, surgiram vários algoritmos para o cálculo rápido de p. Esses algoritmos se mostram muito fáceis de
serem implementados em qualquer linguagem, como FORTRAN, C, Pascal ou BASIC.
O método utilizado por Arquimedes foi de aproximar o comprimento círculo
pelo perímetro de polígonos regulares inscritos (limite inferior) e
circunscritos (limite superior), ver figuras 1 e 2 [5]. Além disso, esse método
mostra que a área do circulo pode ser calculada por: AC = p . r2.
Figura 1. Círculo com hexágonos inscrito e
circunscrito
Figura 2. Área do círculo aproximada pela de um
polígono
(18)
A área de um quarto do
círculo pode ser calculada por meio da seguinte integral:
A raiz pode ser
expandida na forma de uma série de potências, como segue:
para a = -x2 e n = ½:
logo a integral
resulta em:
e p/4 pode ser calculado por (equação 3):
Essa expressão
converge rapidamente para p. A descoberta de um das fórmulas de Euler (equação 5) para o cálculo de p é mostrada a seguir [6].
Se a e b são raízes
de uma equação, esta pode ser posta na forma:
Substituindo-se x
por x2, a por a2 e b por b2, fica:
Cujas as raízes são ±a, ±b, ficando claro que o coeficiente de x2
é a soma dos inversos dos quadrados das raízes. Essa forma de escrever pode ser
expandida para equações com grau superior:
Considere agora
equação transcendente:
sen(x)
= 0
Cujas as raízes são:
0, ± p, ± 2p, ± 3p, ... Dividindo-se a equação por x, elimina-se a raíz
0:
Daí resulta que:
Usando as
considerações acima, notamos que:
Cabe uma observação
final: fazendo-se x = p/2 podemos obter o produto de Wallis:
A fórmula encontrada
por Brouncker, usa uma espécie de fração contínua.
Qualquer número racional pode ser posto em na forma de uma fração contínua
finita [7]. Por exemplo:
É devido Euler uma fórmula notável que relaciona algumas das
principais constantes matemáticas:
IV.
Exemplos de cálculo
computacional de pi
O cálculo
computacional do p começou tão logo surgiram os primeiros
computadores. A Tabela 3 [3, 4] mostra a “verdadeira” corrida que ainda ocorre
na busca pelo maior número possível de casas decimais para p. Atualmente (2001), esse número chega aos
bilhões de casas decimais !
Foi escrito um
programa em Delphi (pascal) para cálculo do p usando três das fórmulas mostradas na Tabela 1,
com um outro método, o algoritmo de Gauss-Legendre, cuja convergência é muito
rápida, o método de Monte Carlo (simulação com números aleatórios) e a fórmula
de Bailey-Borwein-Plouffe. A Figura 3 mostra a
interface do programa.
Figura 3. Programa para cálculo computacional
de p
Cada método
apresenta uma forma de convergência própria. O algoritmo de Gauss-Legende
foi, entre os implementados o que apresentou melhor resultado e em menor número
de iterações, apenas 6. A Figura 4
mostra a convergência para as equações 3 e 6.
(a)
(b)
Figura 4. Convergência.
Um outro algoritmo
que pode calcular o valor de p muito rapidamente é o de Salmin-Brent,
de 1976. Os valores inciais são: a0=1, b0=1/Ö2, s0=b0, k=1,2,3...
A fórmula (equação 20)
devida aos pesquisadores, descoberta muito recentemente, Bailey-Borwein-Plouffe
merece alguns comentários.
§
gera d-ésino dígito hexadecimal (base 16) de p diretamente, sem precisar calcular os dígitos
anteriores;
§
é simples
de se implementar em um computador;
§
Não requer
software com aritmética de múltipla precisão;
§
requer pouca
memória;
§
apresenta um
custo computacional que cresce apenas um pouco mais rapidamente que o índice d.
(20)
A esta altura
pode-se perguntar: “Afinal, qual o valor numérico de p com n
casas decimais ?”. O valor de p com 36 casas decimais é:
3,141.592.653.589.793.238.462.643.383.279.502.884
...
V.
Conclusão
O número p ainda desperta um forte interesse, tanto dos
especialistas, quanto dos leigos. Sendo possível se encontrar trabalhos e
publicações originais recentes sobre este assunto na literatura técnica e também
na não especializada.
VI.
Referências bibliográficas
[1]http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/aplcom1a.html
[2] Spiegel, Murray Ralph, Análise de Fourier, São Paulo, McGraw-Hill do Brasil
[3] http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
[4] Arquivo de “Help” do
programa “Super PI for Windows (ver 1.1)”, Kanata Lab University of Tokyo.
[5] Conhecer Universal, vol. 5, pag. 772, Ed. Abril Cultural, 1981.
[6] Cálculo com Geometria Analítica, vol 2, G. F. Simmons, Ed. Makron Books, 1988.
[7] Qué es la Matemática ?, Richard
Courant, Herbert Robbins, Ed.
VII.
Anexo – Programa Delphi
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
v1,v2,v3,st,t3,p3,pic,a,b,t,x,y,erro : extended;
nx,mx,nk,k,p : longint;
begin
pic := 3.0; a := 1;
b := 1/sqrt(2); t := 1/4;
x := 1; erro := 1.0; nk := 1;
repeat
nk := nk + 1; y := a;
a := (a+b)/2;
b := sqrt(b*y);
t := t - x*(y-a)*(y-a);
x := 2 * x;
erro := pic;
pic := (a+b)*(a+b)/(4*t);
erro := erro - pic;
edit1.text := FloatToStr(pic) + ' <> ' + IntToStr(nk);
until (erro = 0)or(nk > 100);
edit1.text := FloatToStrF(pic,ffGeneral,30,30);
mx:=900000;
p3:=1+1/6+3/40;
t3:=3/40;
v1:=1; v2:=3; v3:=5;
for k:=3 to mx do
begin
nx:=2*k+1; v3:=2*k-1;
t3:=0.5*t3*v3/nx;
t3:=t3*v3/k;
p3:=p3+t3;
end;
p3:=2*p3;
edit2.text := FloatToStrF(p3,ffGeneral,30,30);
mx:=25000;
t3:=-1/40;
st:=1-1/6-1/40;
p:=2;
repeat
v3:=t3;
t3:=t3*(4*p*p-1)/(2*(2*p+3)*(p+1));
st:=st+t3;
p:=p+1;
until (p>mx)or(abs(t3)>abs(v3));
st:=4*st;
edit3.text := FloatToStrF(st,ffGeneral,30,30);
mx:=25000;
t3:=-1/56;
st:=1/3-1/10-1/56;
p:=2;
repeat
v3:=t3;
t3:=t3*(2*p-1)*(2*p+3)/(2*(2*p+5)*(p+1));
st:=st+t3;
p:=p+1;
until (p>mx)or(abs(t3)>abs(v3));
st:=16*st;
edit4.text := FloatToStrF(st,ffGeneral,30,30);
p := 0;
for k := 1 to 200000 do
begin
a := random; b := random;
x := sqrt(a*a+b*b);
if x<1.0 then p:=p+1;
end;
v1 := p*4/k;
p := 0;
for k := 1 to 200000 do
begin
a := random; b := random;
x := sqrt(a*a+b*b);
if x<1.0 then p:=p+1;
end;
v2 := 0.5*(v1 + p*4/k);
edit5.text := FloatToStrF(v2,ffGeneral,10,10);
v1 := 0; a := 1;
for k := 0 to 30 do
begin
v1 := v1 + (4/(8*k+1)-2/(8*k+4)-1/(8*k+5)-1/(8*k+6))/a;
a := a * 16;
end;
edit6.text := FloatToStrF(v1,ffGeneral,30,30);
end;