5.1 Preliminares sobre probabilidad
5.1 Preliminares sobre probabilidad
A continuación se exponen algunos conceptos básicos de probabilidad los cuales son basicos para explicar el metodo de “Evaluación del programa y revisión de la técnica” que se expone en 5.2.
DISTRIBUCIÓN BETA:
Se observa que la gráfica de la distribución beta está
acotada en el intervalo (0,1), su función de densidad es la siguiente:
La distribución beta puede ser usada para modelar un fenómeno
aleatorio que tome valores sobre un intervalo finito [c,d], esto se logra
tomando c como el origen y d-c como la unidad,
En la gráfica se observa que el valor máximo de la función
se alcanza en el punto m,
DISTRIBUCIÓN NORMAL:
La distribución normal (o de Gauss) se define como sigue:
EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL:
· Tiempo optimista
· Tiempo pesimista
· Tiempo más probable
Estos tiempos están basados en las estimaciones del administrador
del proyecto y corresponden a las situaciones en que el proyecto marche
sin ningún contratiempo, a que el proyecto tenga algunos contratiempos
y a una situación intermedia, que es la que corresponde al tiempo
más probable, se hacen las siguientes suposiciones para poder hacer
uso de una función de probabilidad:
- La distribución del tiempo de cada actividad es aproximadamente una distribución beta, tal como la gráfica anterior.
- La dispersión entre la estimación optimista(a) y la estimación pesimista(b) es 6 desviaciones estándar, es decir:
· Los tiempos de las actividades son variables aleatorias estadísticamente
independientes
· El valor esperado del tiempo se obtiene con la siguiente ecuación:
m= El punto más alto de la distribución de probabilidad(m), la cual corresponde al tiempo optimista.
a, b son las cotas inferior y superior del intervalo donde toma valores la variable aleatoria: tiempo transcurrido.
La ecuación se justifica como sigue:
Es la media aritmética ponderada de la moda (m) y de la mitad
del intervalo, con un peso de dos tercios para la moda y de un tercio para
la mitad de la longitud del intervalo.
La distribución de probabilidad del tiempo total del proyecto
se puede aproximar a una distribución normal; esto se justifica
haciendo uso del teorema del límite central, considerando que el
tiempo total del proyecto es la suma de un cierto numero de variables aleatorias
independientes, las cuales son los tiempos de las diferentes actividades.
Matemáticamente esto se puede expresar de la siguiente manera:
Lo primero que debe hacer el administrador del proyecto de inversión para aplicar el método PERT(Por sus siglas en inglés) es dar sus estimaciones optimistas y pesimistas de los tiempos de realización de cada actividad, esto se muestra en el siguiente cuadro, considerando el mismo ejemplo del capítulo anterior:
Con los datos de la tabla: a, b, es decir, estimaciones optimistas y pesimistas, respectivamente, se encuentra el valor esperado te, el cual es el tiempo esperado de cada actividad y se obtiene con la ecuación:
Con las dos tablas anteriores, es posible determinar la ruta crítica para cada una de las estimaciones, tal y como se definió en el capítulo 4, en este sentido la ruta crítica es:
(1,2)
(2,3)
(3,4)
(4,5)
(5,6)
(6,7)
Coincidentemente es la misma para las tres estimaciones: pesimista,
optimista y la más probable.
Si se calculan los tiempos totales para cada una de las estimaciones
se tiene lo siguiente:
Estimación optimista:
Tiempo total=9+4+2+1.5+.5+13
=30
Estimación más probable:
Tiempo total=10.5+5.5+3.5+2+1.2+14.5
=37.2
Estimación pesimista:
Tiempo total=11+6+4+2.5+1.5+15
=40
Tiempo total esperado(te):
Tiempo total=10.333+5.333+3.33+2+1.3833+14.333
=36.71533
Se puede observar que hay gran variación en tiempos totales en
cada una de las estimaciones: optimista, pesimista y en el tiempo esperado.
A continuación, se calcula la varianza para cada una de las actividades
del proyecto de inversión, tal como se definió antes
La varianza total
= 0.5625Ahora,
el administrador del proyecto de inversión puede suponer un tiempo
real total t0 y como se conoce la media y la varianza del tiempo total
esperado se puede calcular la probabilidad de que el tiempo total del proyecto
sea mayor o menor que t0.
Por ejemplo si t0. = 35.5
y se denota T como el tiempo total de realización del proyecto
y Z como la distribución normal estándar.
En este caso el administrador del proyecto de inversión, puede concluir que existe una probabilidad de 0.9846 de que el proyecto se realice en un tiempo menor de 35.5, por lo que si es muy factible que se pudiera considerar este tiempo.