3.1 El análisis de decisiones
El tomador de decisiones debe elegir una acción de
un conjunto de acciones posibles. El conjunto debe contener todas las alternativas
factibles bajo consideración para las distintas formas de proceder
en el problema, esta elección debe hacerse considerando la
incertidumbre porque el resultado se verá afectado por factores
aleatorios que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones.
Estos factores determinan que situación se encontrará en el momento en que se ejecute la acción. Cada una de estas situaciones posibles se conoce como un estado de la naturaleza, denotado por ai; el tomador de decisiones sabe cual sería el pago resultante.
El pago es una medida cuantitativa del valor de las consecuencias del resultado para el tomador de decisiones, en este sentido muchas veces el pago se representa por la ganancia monetaria neta (utilidad), aunque también se pueden usar otras medidas. Si las consecuencias del resultado no son completamente ciertas aun cuando ocurra el estado de la naturaleza, entonces el pago se convierte en un valor esperado(en el sentido estadístico) de la medida de las consecuencias
Matemáticamente :
Sea 
el pago al tomar
la acción a cuando el estado de la naturaleza es 
En general, se usa una tabla de pagos para cada combinación de
a y ; en el contexto de la teoría
de juegos el tomador de decisiones y la naturaleza se pueden ver
como dos jugadores.
Las acciones posibles y los estados de la naturaleza posibles se pueden ver como las estrategias disponibles para los respectivos jugadores, donde cada combinación de estrategias da como resultado un pago para el jugador 1 (el tomador de decisiones).
Entonces se afirma que :
- El tomador de decisiones necesita elegir una de las acciones posibles
- La naturaleza elegirá entonces uno de los estados de la naturaleza
posibles, cada combinación de una acción a y un estado de
la naturaleza da como resultado
un pago que está dado
como uno de los elementos de la tabla de pagos. Esta tabla de pagos debe
usarse para encontrar una acción óptima para el tomador de
decisiones según un criterio adecuado.
Si consideramos que en la teoría de juegos en el caso de 2 jugadores ambos son racionales y eligen sus estrategias para promover su propio beneficio, esto se ajusta al tomador de decisiones pero no a la naturaleza ya que esta es un jugador pasivo que elige sus estrategias(estados de la naturaleza) de una manera aleatoria.
Se basa en la teoría de juegos, en donde la toma de decisiones
se ve como un juego contra la naturaleza en donde se selecciona la acción
de acuerdo con el criterio minimax , el cual consiste en encontrar el pago
mínimo sobre todos los estados posibles de la naturaleza y después
encontrar el máximo de estos pagos mínimos.
Se elige la acción cuyo pago mínimo corresponde a este máximo criterio, es valido cuando se considera que se está compitiendo contra un oponente racional y malévolo, como puede ser el caso de la competencia con alguna otra empresa; sin embargo si se considera que el oponente es la propia naturaleza resulta demasiado conservador en este contexto ya que la naturaleza no es un oponente malévolo y el tomador de decisiones no necesita enfocar su atención solo en el peor pago de cada acción.
Este método se usa para un tomador de decisiones poco precavido.
Ejemplo práctico:
Consideremos el siguiente proyecto de inversión:
Una compañía X es dueña de unos terrenos
en los que puede haber petróleo. Un geólogo consultor ha
informado a la gerencia que piensa que existe una probabilidad de ¼
de encontrar petróleo .
Debido a esta posibilidad, otra compañía petrolera Y ha ofrecido comprar las tierras en $90 000, sin embargo la compañía X está considerando conservarla para perforar ella misma. Si encuentra petróleo, la ganancia esperada de la compañía será aproximadamente de $70,000; incurrirá en una pérdida de $100,000 si encuentra un pozo seco (sin petróleo).
Sin embargo, otra opción anterior a tomar una decisión es llevar a cabo una exploración sísmica detallada en el área para obtener una mejor estimación de la probabilidad de encontrar petróleo.
Esta compañía está operando sin mucho capital
por lo que una pérdida de $100,000 seria bastante seria.
De acuerdo al criterio del pago máximo, la solución del
problema es la siguiente:
De esta manera considerando el método del pago máximo,
la acción que se debe seguir es vender el terreno de la compañía
petrolera y de esta manera la ganancia será de $90,000.
Este criterio se refiere al estado más probable de la naturaleza. El criterio de la máxima posibilidad afirma que se debe identificar el estado más probable de la naturaleza(Aquel que tiene la probabilidad más grande), y para ese estado de la naturaleza se debe encontrar la acción con el máximo pago y por último se debe elegir esa acción. Lo que se considera especialmente en este planteamiento es que el estado más importante de la naturaleza es el que tiene más probabilidades de ocurrir, de manera que la acción elegida es la mejor para el estado más importante de la naturaleza. La desventaja del criterio es que ignora por completo mucha información relevante, no se considera otro estado de la naturaleza distinto al más probable. En un problema con muchos estados posibles de la naturaleza, la probabilidad del más importante puede ser muy pequeña, por lo que la atención a ese estado de la naturaleza es bastante riesgoso.
Si se aplica este criterio al problema de inversión de
la compañia petrolera se tiene lo siguiente:
Es decir una vez que se encuentra la máxima probabilidad
que es de 0.75 se busca el mayor pago asociado a esta probabilidad
que es de 90
Es el criterio que se usa con mayor frecuencia. Menciona que se deben usar las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturaleza y calcular el valor esperado del pago de cada acción posible, se elige la acción con el máximo pago esperado.
La gran ventaja de la regla de decisión de Bayes es que incorpora toda la información disponible, incluyendo todos los pagos y las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades de los respectivos estados de la naturalezas. Si consideramos el proyecto de inversión de la compañía petrolera, entonces de acuerdo a este criterio se tiene lo siguiente:
entonces se concluye que como 100 es mayor que 90, se debe de seleccionar
la acción a1 (perforar).
Las principales desventajas de este método es que en ocasiones las estimaciones de las probabilidades son subjetivas y por lo tanto no es posible confiar plenamente en ellas, además no existe una manera exacta, ni siquiera en términos de probabilidades de predecir un estado de la naturaleza futuro.
Sin embargo en muchas ocasiones la experiencia y las evidencias permiten
desarrollar estimaciones razonables de las probabilidades para que
de esta forma se puede tomar una buena decisión.
El método de arboles de decisión es un enfoque por medio del cual se puede hacer un análisis de como las decisiones tomadas en el presente afectan o pueden afectar las decisiones en el futuro, ya que muchas decisiones tomadas en el presente no consideran las consecuencias que pueden originar a largo plazo, por lo que se utiliza cuando es importante considerar las secuencias de decisión y se conocen las probabilidades de que sucedan en el futuro los eventos bajo análisis. Los árboles de decisión se construyen, por ejemplo, a partir de 3 situaciones u opciones mutuamente excluyentes que se pueden seleccionar. De cada una de estas opciones se generan a su vez, otras dos o tres opciones. Los árboles de decisión se usan para evaluar un proceso de decisión de “múltiples etapas” en el cual se toman decisiones dependientes una tras otra.
Ejemplo ilustrativo:
Una compañía tiene las opciones de construir una planta de tamaño regular o una pequeña que se pueda ampliar después. La decisión depende principalmente de las demandas futuras del producto que producirá la planta. La construcción de una planta de tamaño completo puede justificarse en términos económicos si el nivel de demanda es alto. En caso contrario, quizá sea recomendable construir una planta ahora y después decidir en dos años si esta se deba ampliar.
El problema de decisión de múltiples etapas se presenta
aquí por que si la compañía decide construir ahora
una planta pequeña, en dos años deberá tomarse una
decisión a futuro relativa a la expansión de dicha planta.
El problema de decisión se divide en dos etapas: una decisión
ahora relativa a la dimensión o tamaño de la planta y una
decisión de aquí a dos años referente a la expansión
de la planta(suponiendo que se decide construir una planta pequeña
ahora).
El problema se va a resolver por medio de un árbol de decisiones,
se supone que la demanda puede ser alta o baja. Su representación
gráfica puede observarse a continuación.
Si comenzamos con el nodo 1 (un punto de decisión), debemos tomar la decisión referente al tamaño de la planta. El nodo es un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demanda baja y alta, dependiendo de las condiciones del mercado. El nodo 3 es también un evento probabilístico del cual emanan dos ramas que representan demandas alta y baja.
Los datos del árbol de decisión deben incluir las probabilidades asociadas con las ramas que emanan de los eventos de oportunidad y los ingresos asociados con las diversas alternativas del problema. Si suponemos que la compañía está interesada en estudiar el problema en un periodo de 10 años. Un estudio de mercado indica que las probabilidades de tener demandas altas y bajas en los 0 años siguientes son 0.75 y 0.25, respectivamente. La construcción inmediata de una planta grande costará $5 millones y una planta pequeña costara solo $1 millón. La expansión de la planta pequeña de aquí a dos años se calcula costará $4.2 millones. Los cálculos del ingreso anual de cada una de las alternativas se indican a continuación:
1.- La planta completa y la demanda alta(baja) producirán $1,000,000 ($300,000) anualmente
2.- La planta pequeña y una baja demanda generarán $200,000 anuales
3. - La planta pequeña y la demanda alta producirán
$250,000 para cada uno de los 10 años
4.- La planta pequeña ampliada con demanda alta(baja) generará $900,000 ($200,000) anualmente
5.- La planta pequeña sin expansión y con alta demanda en los dos primeros años, seguida de una demanda baja producirá $200,000 para cada uno de los 8 años restantes.
La evaluación de las alternativas está basada en el uso
del criterio del valor esperado. Los cálculos empiezan en la etapa
2 y después retroceden a la etapa 1, como se indica en la figura,
Por lo tanto en los últimos 8 años , es posible evaluar las
dos alternativas en el nodo 4 como sigue:
Por lo tanto, en el nodo 4, la decisión indica que no habrá
expansión y la ganancia neta será esperada es $1,900,000.
Después se reemplazan todas las ramas que emanan del nodo 4 por
una sola rama con una ganancia neta esperada de $1,900,000 que representa
la ganancia neta para los últimos ocho años. Ahora se efectúan
los cálculos de la etapa 1 que corresponde al nodo 1 como sigue:
Ahora, se concluye que la decisión óptima en el nodo
1 es construir una planta grande, y por lo tanto se eliminan las consideraciones
tomadas en el nodo 4.
Se concluye que se debe optar por construir la planta grande