10- Solución al problema
"Las doce bolas"
¿Comparar seis bolas con las otras seis en la primera pesada y seguir desde ahí?
No. No sirve. Evidentemente la balanza se inclinará más hacia un lado que
hacia otro, pero dado que no sabemos si la bola que buscamos pesa más o menos
que las demás, seguimos sin saber en qué mitad se encuentra. Debemos inventar
algo mejor.
Esto puede ser largo, así que para facilitar las cosas vamos a empezar
numerando las bolas del uno al doce y establecer tres grupos de cuatro bolas
cada uno –para los que habéis intentado hacerlo con cuatro grupos de tres
bolas cada uno, no perdáis el tiempo... Ya lo perdí yo y no funciona–. Los
grupos que quedan entonces son los siguientes.
1 2 3 4, 5 6 7 8, 9 10 11 12
En la primera pesada ponemos en un plato el primer grupo y el segundo en otro
plato, comparando entonces
1 2 3 4 - 5 6 7 8
¿Qué puede ocurrir? Pues que la balanza se incline hacia la izquierda, que se
incline hacia la derecha o que se quede quieta. Si es esto último, la bola
diferente se encuentra inexorablemente en el último grupo (9 10 11 12). De lo
contrario, sólo podemos saber que se encuentra en 1 2 3 4 o en 5 6 7 8, sin
saber con exactitud en cuál está –ver el primer párrafo de esta solución–.
1. Pongámonos en el primer caso, en el que la bola seguro que está en 9 10 11
12, por ser el más sencillo –aunque no tanto como parece–. Si pesáramos 9
10 - 11 12, seguiríamos teniendo el problema de no saber si la bola pesa más o
menos, así que es necesario saber esta circunstancia con anterioridad. ¿Cómo?
Pues usando una referencia conocida; por ejemplo, sabemos que en 1 2 3 4 no está
la bola que buscamos, por lo que si comparamos 1 2 3 4 - 9 10 11 12 y la balanza
se inclina hacia la izquierda, la bola diferente pesa menos, y pesará más si
se inclina hacia la derecha. Este razonamiento es correcto, sin embargo, ¿es la
mejor solución?
La respuesta es que no. Es preferible comparar simplemente 1 2 3 - 9 10 11,
pudiendo pesar lo mismo –por lo que la bola diferente será la 12–,
inclinarse hacia la izquierda –por lo que estaría en 9 10 11 y sería de
menor peso– o inclinarse hacia la derecha –por lo que estaría también en 9
10 11 y sería de mayor peso–. Si es la primera opción, sólo hay que
comparar 1 - 12, y la balanza tenderá hacia la izquierda o la derecha, dándonos
la solución. Si es la segunda –esto es, está en 9 10 11 y pesa menos–, sólo
hay que comparar 9 - 10, pudiendo inclinarse a la izquierda, con lo que la bola
buscada sería 10, a la derecha, con lo que sería 9, o quedar equilibrado, con
lo que sería 11. Si es la tercera –esto es, está en 9 10 11 y pesa más–,
se compara igualmente 9 - 10, pudiendo otra vez inclinarse a la izquierda, con
lo que la bola buscada sería 9, a la derecha, con lo que sería 10, o quedar
equilibrado, con lo que sería 11. En total, por ahora, tres pesadas.
2. Vale. Todo esto se ha obtenido partiendo de que la bola está en 9 10 11 12,
o sea, que al comparar en la primera pesada que se hizo –¿la recordáis?– 1
2 3 4 - 5 6 7 8, la balanza quedara equilibrada. Vamos ahora a lo difícil, que
es cuando 1 2 3 4 - 5 6 7 8 se inclina, por ejemplo, hacia la izquierda. Una vez
más tenemos el problema de no saber en qué grupo se encuentra la bola, dado
que desconocemos aún si pesa más o menos que las demás.
La solución a este problemas no es obvia ni sencilla, pero atentos a la
maniobra, porque la siguiente comparación, que explicaré a posteriori, nos
sacará de todos los aprietos.
1 2 3 5 - 4 10 11 12
sabiendo que la bola no es seguro ni 10 ni 11 ni 12, o la balanza habría
quedado equilibrada en la primera pesada. Las tres alternativas son, una vez más,
que se incline a la izquierda, a la derecha o se equilibre. Si se inclina a la
izquierda, no cabe duda de que la bola se encuentra en 1 2 3; dado que la vez
anterior (1 2 3 4 - 5 6 7 8) se inclinó hacia la izquierda, si estuviera en 4
–sería entonces de menos peso– en la última pesada se habría inclinado
hacia la derecha y, por otra parte, si la bola fuera la 5 sería más pesada y
la vez anterior se habría inclinado hacia la derecha. Comparamos entonces 1 - 2
y se aplica la misma teoría que cuando comparamos 10 - 11, unos cuantos párrafos
atrás. Volvemos a 1 2 3 5 - 4 10 11 12 y suponemos ahora que se inclina a la
derecha; por razonamiento opuesto al anterior, la bola es la 4 y pesa más, o
bien es la 5 y pesa menos. Por último, si la balanza queda equilibrada,
significará que la bola pesa menos y está en 6 7 8, en cuyo caso, como otras
veces, se compara 6 - 7 y se actúa nuevamente como cuando comparamos 10 - 11.
En total, nuevamente, tres pesadas.
3. Falta un caso a partir de la primera pesada, que es cuando 1 2 3 4 - 5 6 7 8
se inclina hacia la derecha. Si esto ocurre sólo hay que darle la vuelta a la
balanza, llamar 1 2 3 4 a 5 6 7 8 y 5 6 7 8 a 1 2 3 4 y aplicar el caso 2.
Dado que probablemente no se haya entendido muy bien, os facilito un sencillo
esquema con todas las posibilidades.
1. 1 2 3 4 = 5 6 7 8
1.1. 1 2 3 = 9 10 11
1.1.1. 1 = 12 (no puede darse)
1.1.2. 1 > 12 (es 12 y pesa menos)
1.1.3. 1 < 12 (es 12 y pesa más)
1.2. 1 2 3 > 9 10 11
1.2.1. 9 = 10 (es 11 y pesa menos)
1.2.2. 9 > 10 (es 10 y pesa menos)
1.2.3. 9 < 10 (es 9 y pesa menos)
1.3. 1 2 3 < 9 10 11
1.3.1. 9 = 10 (es 11 y pesa más)
1.3.2. 9 > 10 (es 10 y pesa más)
1.3.3. 9 < 10 (es 9 y pesa más)
2. 1 2 3 4 > 5 6 7 8
2.1. 1 2 3 5 = 4 10 11 12
2.1.1. 6 = 7 (es 8 y pesa menos)
2.1.2. 6 > 7 (es 7 y pesa menos)
2.1.3. 6 < 7 (es 6 y pesa menos)
2.2. 1 2 3 5 > 4 10 11 12
2.2.1. 1 = 2 (es 3 y pesa más)
2.2.2. 1 > 2 (es 1 y pesa más)
2.2.3. 1 < 2 (es 2 y pesa más)
2.3. 1 2 3 5 < 4 10 11 12
2.3.1. 1 = 4 (es 5 y pesa menos)
2.3.2. 1 > 4 (no puede darse)
2.3.3. 1 < 4 (es 4 y pesa más)
3. 1 2 3 4 < 5 6 7 8
3.1. 1 2 3 5 = 4 10 11 12
3.1.1. 6 = 7 (es 8 y pesa más)
3.1.2. 6 > 7 (es 6 y pesa más)
3.1.3. 6 < 7 (es 7 y pesa más)
3.2. 1 2 3 5 > 4 10 11 12
3.2.1. 1 = 4 (es 5 y pesa más)
3.2.2. 1 > 4 (es 4 y pesa menos)
3.2.3. 1 < 4 (no puede darse)
3.3. 1 2 3 5 < 4 10 11 12
3.3.1. 1 = 2 (es 3 y pesa menos)
3.3.2. 1 > 2 (es 2 y pesa menos)
3.3.3. 1 < 2 (es 1 y pesa menos)
En decir, es el resultado es: 3 pesadas