DUOPOLIO

1) Siendo la función de demanda Pd=100 - 0.5 (x1 + x2) y las funciones de costo c1=5x1 y c2=(0.5x2)^2.

  1. Hallar el equilibrio según Cournot
  2. Hallar el equilibrio de colusión
  3. Qué ocurriría si la empresa 1 actúa como líder y la 2 como seguidora?

 

a) Cournot

B1= [100 - 0.5(x1+x2)] x1 -5 x1

B2= [100 - 0.5(x1+x2)] x2 - (0.5x2)^2

 

dB1/dx1 = 100 - x1 - 0.5x2 - 5 = 0

x1 = 95 - 0.5x2 à función de reacción x1

 

dB2/dx2 = 100 - 0.5x1 - x2 - x2

2x2 = 100 - 0.5x1

x2 = 50 - 0.25x1 à función de reacción x2 (*)

 

Reemplazo (*) en x1

x1= 95 - 0.5(50 - 0.25x1)

x1 = 95 -25 - 0.125x1

0.875 x1 = 70

x1 = 80 à x2 = 50 - 0.25*80 = 30

 

Pd = 100 - 0.5 (80 +30) = 100 - 55 = 45

P = 45

 

B1= 80*45 - 5*80 = 3200

B2= 30*45 - 0.5*30^2 = 900

 

 

b) Colusión

Bt = [100 - 0.5(x1+x2)]x1 - 5x1 + [100 - 0.5 (x1+x2)]x2 -0.5(x2)^2

dBt/dx1 = 100 -x1- 0.5x2 - 5 - 0.5x2 = 0 à x1=95 - x2

dBt/dx2 = -0.5x1 + 100 - 0.5x1 - x2 -x2 = 0 à x2= 50 - 0.5x1

x1 = 95 - 50 + 0.5x1

0.5x1 = 45

x1 = 90 à x2 = 50 - 0.5*90 = 5

 

P = 100 - 0.5 (90 + 5) = 52.5

Bt = 4525

 

c) Líder y seguidora

B1= [100 - 0.5(x1+x2)]x1 - 5x1

Reemplazo x2 por la función de reacción (es seguidora)

B1 = [100 - 0.5(x1+50 - 0.25x1)]x1 - 5x1

db1/dx1 = 100 - x1 - 25 + 0.25x1 - 5 = 0

0.75x1= 70

x1 = 93.33 à x2 = 50 - 0.25*93.33 = 26.66

 

P = 100 - 0.5 (93.33 + 26.66) = 40

 

B1 = 3266.66

B2 = 711.11

 

 

 

 

Modelo

X1

X2

P

B1

B2

BT

Cournot

80

30

45

3200

900

4100

Colusión

90

5

52.5

 

 

4525

Líder y Seguidora

93.33

26.66

40

3266.66

711.11

3977.77

 

En colusión el precio es mayor, ya que actúan en forma monopólica.

2) Si el equilibrio de Cournot de un Duopolio maximizador de beneficios que enfrenta una demanda lineal es x1=10/3 y x2=4/3, siendo los costos medios igulaes a $4 para el primero y $8 para el segundo, a cuánto ascenderá el precio?

Datos

X1 = 10/3

X2 = 4/3

CMe = 4

Solución

P = a + b.X à x = x1 + x2

CT1 = CMe1.X = 4 x1

CT2 = CMe2.X = 8 x2

B1= P(x1 ,x2)x1 - CT1

B1= (a + bx1 + bx2)x1- 4x1

dB1/dx1 = a + 2bX1 + bX2 – 4 = 0

a + bX2 – 4 = – 2bX1

– a/2b – X2/2 + 2/b =X1 à Función de reacción de 1

B2= P(X1 ,X2)X2 – CT2

B2= (a + bx1 + bx2)x2 – 8x2

dB2/dx2 = a + 2bx2 + bx1 – 8 = 0

a + bx1 – 8 = - 2bx2

– a/2b – X1/2 + 4 b = x2 à Función de reacción de 2

Reemplazo una función de reacción en la otra

x2 = – a/2b – 0.5(– a/2b + x2/2 + 2/b) + 4/b

x2 = – a/2b + a/4b + x2/4 – 1/b + 4/b

0.75 x2 = – 0.25 a/b + 3/b

0.75 x2 = (– a + 12)/4b

x2 = (– a + 12)/3b

 

x1 = – a/2b – 0.5(– a/2b + x1/2 + 4/b) + 2/b

x1 = – a/2b + a/4b + x1/4 – 2/b + 2/b

0.75x1 = – 0.25 a/b

x1 = – 0.25 a/b * 4/3

x1 = – a/3b

 

Reemplazo los valores en x1 y x2

x1 = 10/3 à 10/3 = – a /3b

10b= –a (*)

– 10b= a

(– 2)(–10)= a

a = 20

x2 = 4/3 à 4/3 = (– a+ 12)/3b

4b= 10b + 12 (*)

-6b= 12

b = -2

 

 

Función de demanda à P = a + bx

P = 20 – 2x

Reemplazo con las de X

P = 20 – 2( x1 + x2)

P = 20 – 2(10/3 + 4/3)

P = 20 – 2.(14/3)

P = 20 – 28/3

 

 

 

 

 

 
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