TEORIA DE LOS JUEGOS

EJERCICIO 1: : Henderson – Quandt. Teoría Microeconómica - Pág. 271

Considerando la siguiente matriz de beneficio:

Si I emplea su primera estrategia y II emplea su segunda, al beneficio de I es 40 y el de II es –40. Si I emplea su segunda estrategia y II emplea su tercera estrategia, el beneficio de I es –10 y el de II es 10.

El problema de la decisión del duopolista consiste en la selección de una estrategia óptima. I desea el resultado 40 de la primera fila y la segunda columna, y II desea el resultado –10 de la segunda fila y la tercera columna. El resultado final depende de las estrategias de ambos duopolistas por lo que ninguno de los dos puede imponer sus deseos. Si I escoge su primera estrategia, II puede escoger su cuarta estrategia y el resultado será 5 en vez de 40. Si II selecciona su tercera estrategia, I puede escoger su primera estrategia y el resultado será 20 en vez de –10.

La teoría de los juegos postula modelos de conducta que permiten la determinación del equilibrio en tales circunstancias. I teme que II descubra la estrategia que ha elegido y desea jugar "sobre seguro". Si I selecciona su i-ésima estrategia, su mínimo beneficio –y por tanto el máximo de II- vendrá dado por el menor elemento de la i-esima fila de la matriz de beneficio: min(j) a_ij. Si II no acierta a escoger la estrategia apropiada, el beneficio de I sobrepasará la magnitud anterior. I desea maximizar su beneficio esperado mínimo. Por ello, escoge la i-ésima estrategia que tiene el mayor min(j) a_ij. El resultado esperado es max (i) min (j) a_ij. No puede percibir un beneficio menor, pero sí uno mayor.

I adoptará su primera estrategia. En efecto, si II adivina su elección, el beneficio de I será igual a 5. Si I adopta su segunda estrategia y II prevé su elección, su beneficio será de –10. Del mismo modo, II adoptara su cuarta estrategia, limitando así su perdida a 5. En efecto, cualquier otra columna tiene un máximo mayor que 5. De esta forma,

Max min a_ij = min max a_ij = a₁₄ =5

Supongamos que la matriz de beneficio es:

Esta matriz de beneficio y el juego correspondiente pueden simplificarse mediante la introducción del concepto de dominación. Una inspección revela que II no adoptara nunca su tercera estrategia puesto que siempre le resultará mejor la primera, cualquiera que sea la estrategia adoptada por I. Todo elemento de la tercera columna es mayor –y por consiguiente representa una mayor pérdida para II- que el elemento correspondiente de la primera. La cuarta columna es dominada por la primera y la segunda. La dominación también puede definirse con respecto a las estrategias de I. Ninguna fila domina a la otra. Un jugador racional nunca adoptará una estrategia dominada. En consecuencia, la matriz de beneficio puede simplificarse eliminando las estrategias dominadas.

Eliminando las columnas tercera y cuarta se obtiene la nueva matriz de beneficio,

-2 4

De acuerdo con las reglas establecidas anteriormente, I deseará adoptar su segunda estrategia y II deseará adoptar su primera estrategia. Estas decisiones no son consistentes:

min max a_ij = a₂₂ = -1 ¹ 3 = a₂₁ = Max min a_ij

Si los duopolistas emplean estas estrategias, el resultado inicial será a₂₁ = 3. Si II emplea su primera estrategia, I no puede aumentar su beneficio cambiando de estrategia. Sin embargo, si I adopta su segunda estrategia, II puede reducir su pérdida de 3 a –1 pasando a su segunda estrategia. I puede aumentar entonces su beneficio de –1 a 4 aplicando su primera estrategia. Pero entonces II puede reducir su pérdida de 4 a –2 aplicando su primera estrategia. Los supuestos que llevan a una situación de equilibrio (primera matriz) dan lugar a interminables fluctuaciones en la segunda matriz.