Función de demanda individual:

1. La demanda de un bien Q_j por parte del i-ésimo consumidor depende del precio de Q_j , del precio de todos los demás bienes y de su renta: D_ij = D_ij ( p₁, p₂, …, p_m, y_i). La función de demanda de dicho consumidor se obtiene de las condiciones de primer grado para la maximización de su utilidad, en el supuesto de que se cumplan las condiciones de segundo grado.

La demanda del bien Q_j por parte del consumidor puede variar como consecuencia de un cambio en p_k (k=j), aun cuando p_j permanezca inalterado, o en respuesta a cambios de su renta, permaneciendo constantes todos los precios. Para aislar su conducta en el mercado j, se suponen constantes todos los demás precios y la renta del consumidor.

Entonces, su demanda de Q_j es sólo una función de p_j :

D_ij = D_ij (p_j)

A medida que p_j cambia, y con objeto de seguir satisfaciendo sus condiciones de primer grado, el consumidor modificará sus demandas de todos los bienes distintos de Q_j. Estas variaciones se ignoran en un análisis centrado en un mercado Q_j.

Para abreviar la notación se omite el subíndice j, que representa el bien que se está considerando quedando:

D_i = D_i (p) con i = 1,2,…,n

La Demanda total de Q a cualquier precio es la suma de las cantidades demandadas a aquel precio por los n consumidores individuales:

D = D_i (p) = D (p)

Donde D es la demanda total. La forma de esta ecuación se debe a que todos los demás precios y las rentas de los n consumidores permanecen constantes. Suponiendo que todas las demandas de los consumidores son una función monótona decreciente, se supondrá que la demanda agregada también lo será.

P P P

O N q₁ O M q₂ O L q

Figura 1. Figura 2. Figura 3.

En términos gráficos la curva de demanda agregada es la suma horizontal de las curvas de demandas individuales. Las figuras 1 y 2 representan las curvas de demandas individuales. La figura 3 es la curva de demanda agregada que se construye haciendo la distancia O L igual a la suma de las distancias O M y O N.

2. Considerando las ecuaciones que maximizan la utilidad del consumidor:

L'_Xi = U_i - P_i = 0 con i = 1, 2,…, n (a)

L' = Y - P_iX_i = 0

siendo L la función de Langrange, se resuelve las n+1 ecuaciones, pudiéndose observar que la función de demanda del consumidor individual para cada uno de los n bienes de que puede disponer.

Si se toma el caso especial de que comprende solo dos bienes, X₁ y X₂, la función de utilidad toma la forma:

U = log_e X₁ + log_e X₂ + ( Y - P₁X₁ - P₂X₂ )

Tomando las demandas parciales de la ecuación anterior e igualando a cero, despejando X₁ y X₂, se obtienen las respectivas ecuaciones de los bienes X₁ y X_2:

X₁ = Y / 2 P_{1 ;} X₂ = Y / 2 P₂

Gráficamente la determinación de la función demanda será:

MU

MU'

MU''

MU'''

X' X'' X''' X

P'

P''

P'''

X' X'' X''' X

Tomando la ecuación (a) se puede expresar:

MU / P =

Siendo MU la utilidad marginal para el artículo, suponiéndose que es una función lineal decreciente.

Se determina entonces que para cada valor de X le corresponde un único valor de MU y cada valor de MU determina un único valor de P. (Véase la primera gráfica)

La segunda gráfica contiene la función de demanda del artículo, es decir, el precio que se le asocia a P para cada valor de X.