PROGRAMACION LINEAL

Autor:Alejandro E. García Venturini N° de Registro 166.398

Un Frigorífico cría truchas y salmones. Cada alimento tiene un costo de mano de obra y de materia prima.

Además hay una determinada capacidad de producción, valores dados por la siguiente tabla:

¿Cuántas truchas y cuántos salmones convienen criar para obtener el máximo beneficio?

Vemos que tenemos recursos escasos, 15.000 para invertir en mano de obra, 20.000 para invertir en materia prima y 1.500 es la capacidad máxima de producción.

Toda la información la podemos expresarla como un sistema de inecuaciones.

5S + 6T = 15.000

10S + 20T = 20.000

S+T = 1.500

S = 0

T = 0

La función beneficio es B= 60S + 80 T

Hay que buscar, de todos los valores de S y T que satisfacen el sistema de inecuaciones, aquel que haga máximo el beneficio. En esto consiste básicamente un problema de programación lineal.

Los valores de cada extremo se calculan suponiendo en cada restricción una variable =0

Y luego la otra. Ej. Con el límite mano de obra si S = 0 entonces T = 2.500 y para el otro extremo de esta recta: si T = 0 entonces S = 3.000

Solución Factible: Es cualquier conjunto de valores de las variables que cumple con todas las restricciones.

Teorema: Si hay una solución única que maximiza o minimiza el funcional entonces tal solución corresponde a un vértice del polígono de soluciones factibles. Si hay más de una solución factible que sea extremo, por lo menos dos de ellas deben corresponder a vértices adyacentes del polígono de soluciones factibles y también serán extremo todas las soluciones factibles que sean combinación lineal convexa de los mismos.

Por lo tanto para determinar la solución óptima es necesario evaluar la función objetivo o funcional solamente para soluciones que corresponda a vértices del polígono de soluciones factibles.

10S + 20T = 20.000 2.000 - 2T + T = 1.500

10S = 20.000-20T -T = -500

El máximo beneficio es:

Bibliografía: Guía Teórica y Práctica de Algebra

Autor: Alejandro E. García Venturini

Páginas: 135/136

Autor:Alejandro E. García Venturini N° de Registro 166.398

Un fabricante produce bicicletas y motos, las cuales se procesan a través de dos centrales de producción mecánica. La primera tiene un máximo de 120 horas disponibles, y las segunda tiene un máximo de 180 horas disponibles. La manufactura de una bicicleta requiere 6 horas de la central 1 y 3 horas de la central 2; la fabricación de una moto requiere de 4 horas en la central 1 y 10 horas en la central 2. Si la ganancia por bicicleta es de U$S 45 y por cada moto es de U$S 55, determinar el número de bicicletas y de motos que se deben fabricar para obtener la máxima ganancia.

Planteamos el sistema de inecuaciones:

6B + 4M = 120

3B + 10 M = 180

B = 0, M = 0

Donde B es el número de bicicletas y M el de motos que has de producirse.

Para determinar cual punto extremo es el óptimo hay que definir las líneas de Isobeneficio.

Averiguamos los valores extremos

B = 30

M = 60

Ahora calculamos el Punto extremo Optimo

6B + 4M = 120 3(20 – 2/3M) + 10M = 180

6B = 120 – 4M 60 – 2M +10M =180

8M = 120

Vemos que la mayor ganancia se obtiene:

Bibliografía: Guía Teórica y Práctica de Algebra

Autor: Alejandro E. García Venturini

Páginas: 137

Autor: Carpeta de Algebra N° de Registro 166.398

Dos alimentos X e Y contienen vitaminas A, B y C en las cantidades x e y que se indican en la matriz. También en la matriz figura la cantidad mínima que necesita una persona de cada vitamina para seguir una dieta equilibrada y el precio unitario de cada alimento.

Debemos determinar qué cantidad de cada alimento debe tener la dieta de tal manera que el costo de seguir la dieta sea el mínimo posible.

Expresamos las inecuaciones y formamos la función objetivo, que hay que minimizar.

3x + y = 12

3x + 4y = 30 El funcional es C = 3x + 2y

2x + 7y = 28

x = 0, y = 0

Averiguamos el mínimo costo, es decir, el Isocosto

Obtenemos los puntos extremos:

Luego buscamos el punto mínimo:

3x + y = 12 3(4 – 1/3y) + 4y = 30

3x = 12 - 1/3y 12 – y + 4y = 30

3y = 18

X = 4 – 2

X = 2

Vemos que el menor costo que permite hacer la dieta es 18 consumiendo 2 unidades del alimento x y 6 del alimento y.

Para la fabricación de dos productos se utilizan tres insumos en las cantidades x e y según los valores consignados en la siguiente matriz.

Debemos determinar que cantidad de cada insumo debe tener la producción, de tal manera que el costo de seguir la producción de estos sea el mínimo posible.

Expresamos las inecuaciones y formamos la función objetivo, que hay que minimizar.

5x + 10 y = 80

40x + 20y = 360 El funcional es C = 3x + 2y

10x + 10y = 100

Averiguamos el mínimo costo, es decir, el Isocosto

5x + 10y =80 10(16 – 2y) + 10y = 100

x = 16 – 2y 160 – 20y +10y = 100

-10y = -60

y = 6

Nuestro menor costo es:

Carpeta de Algebra Lineal

Bibliofrafía: Carpeta de Microeconómia 2 N° deRegistro 166.398

Caso 1:

Xd = 50 – 3p

Xo = 20 + p

Buscamos el punto de equilibrio:

50 – 3p = 20 + p

-4p = - 30

Xd = 50 – 3p

(-)

= 30 – 4p

E´p = - 4 < 0 MERCADO ESTABLE

Caso 2:

Xd = 20 – 2p

Xo = 80 - 5p

Buscamos el punto de equilibrio:

20 – 2p = 80 – 5p

3p = 60

Xd = 20 – 2p

(-)

= - 60 + 3p

E´p = 3 > 0 MERCADO INESTABLE

Estabilidad según Marshall

Caso 1:

Xd = 50 – 3p -3p = x – 50

P = -1/3 + 16,6

Xo = 20 + p p = x – 20

P = -1/3x + 16,6

(-)

Fx = - 4/3x +36,6

F´x = -4/3 < 0 MERCADO ESTABLE

Caso 2:

Xd = 20 – 2p -2p = x – 20

P = -1/2x +10

Xo = 80 - 5p -5P = x – 80

P = -1/5x + 40

P = -1/2x + 10

(-)

Px = -3/10 – 30

P´x = -3/10 < 0 MERCADO ESTABLE