SIMPLEX
1. Un empresario tiene a su disposición dos actividades de producción lineales, mediante la contribución de tres insumos, fundición, ensamble y distribución, con una disponibilidad de $18, $8 y $14 respectivamente.
La distribución de los insumos a los productos se reproduce en la siguiente tabla:
|
Producto 1 |
Producto 2 |
Disponibilidades |
|
|
Fundición |
1 |
3 |
18 |
|
Ensamble |
1 |
1 |
8 |
|
Distribución |
2 |
1 |
14 |
|
Beneficio |
1 |
2 |
Determinar la combinación a producir que maximiza los beneficios.
Solución:
1. Se plantea el sistema de inecuaciones:
X1 + 3X2 <= 18
X1 + X2 <= 8
2X1 + X2 <= 14
X1;X2 => 0
B = X1+2X2
2. Al sistema de inecuaciones se le agregan las correspondientes variables de holgura.
X1 + 3X2 + S1 = 18
X1 + X2 + S2 = 8
2X1 + X2 + S3 = 14
3. Se resuelve este sistema de ecuaciones mediante el método Simplex, aplicando Gauss-Jordan.
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
S3 |
Cte. |
Variable |
|
1 |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
B |
|
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
0 |
18 |
S1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
8 |
S2 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
1 |
14 |
S3 |
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
S3 |
Cte. |
Variable |
|
1 |
- 1/3 |
0 |
2/3 |
0 |
0 |
12 |
B |
|
0 |
1/3 |
1 |
1/3 |
0 |
0 |
6 |
X2 |
|
0 |
2/3 |
0 |
- 1/3 |
1 |
0 |
2 |
S2 |
|
0 |
2/3 |
0 |
1/3 |
0 |
1 |
8 |
S3 |
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
S3 |
Cte. |
Variable |
|
1 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
13 |
B |
|
0 |
0 |
1 |
1/2 |
- 1/2 |
0 |
5 |
X2 |
|
0 |
1 |
0 |
- 1/2 |
1 1/2 |
0 |
3 |
X1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 1/6 |
-2 1/2 |
1 |
3 |
S3 |
El beneficio máximo es de $13, con una producción de tres unidades del producto 1 y cinco unidades del producto 2. En los procesos de fundición y ensamble se utilizan todos los recursos, en tanto que la distribución presentará $3 de recursos ociosos.
2. Un granjero tiene posee 100 hectáreas para cultivar trigo y alpiste. El costo de la semilla de trigo es de $4 por hectárea y la semilla de alpiste tiene un costo de $6 por hectárea. El costo total de la mano de obra es de $20 y $10 por hectárea respectivamente. El ingreso esperado es de $110 por hectárea de trigo y $150 por hectárea de alpiste. Si no se desea gastar más de $480 en semillas ni más de $1500 en mano de obra, ¿cuántas hectáreas de cada uno de los cultivos debe plantarse para obtener la máxima ganancia?
Solución.
1. Se arma el cuadro de los insumos.
|
Maíz |
Alpiste |
Disponibilidades |
|
|
Semillas |
4 |
6 |
480 |
|
Mano de Obra |
20 |
10 |
1500 |
|
Beneficio |
110 |
150 |
2. Se plantea el correspondiente sistema de inecuaciones.
4X1 + 6X2 <= 480
20 X1 + 10 X2 <= 1500
X1;X2 => 0
B = 110X1+ 150X2
3. Se transforma el sistema de inecuaciones a un sistema de ecuaciones con las correspondientes variables de holgura.
4X1 + 6X2 + S1 = 480
20X1 + 10 X2 + S2 = 1500
4. Se resuelve mediante el método Simplex.
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
Kte. |
Var. |
|
1 |
-110 |
-150 |
0 |
0 |
0 |
B |
|
0 |
4 |
6 |
1 |
0 |
480 |
S1 |
|
0 |
20 |
10 |
0 |
1 |
1400 |
S2 |
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
Kte. |
Var. |
|
1 |
-110 |
-150 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0,66667 |
1 |
0,16667 |
0 |
80 |
|
|
0 |
20 |
10 |
0 |
1 |
1400 |
|
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
Kte. |
Var. |
|
1 |
-10 |
0 |
25 |
0 |
8800 |
B |
|
0 |
0,66667 |
1 |
0,16667 |
0 |
80 |
X2 |
|
0 |
13,3333 |
0 |
-1,6667 |
1 |
600 |
S2 |
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
Kte. |
Var. |
|
1 |
-10 |
0 |
25 |
0 |
8800 |
|
|
0 |
0,66667 |
1 |
0,16667 |
0 |
80 |
|
|
0 |
1 |
0 |
-0,125 |
0,075 |
45 |
|
|
B |
X1 |
X2 |
S1 |
S2 |
Kte. |
Var. |
|
1 |
0 |
0 |
23,7497 |
0,75002 |
12450 |
B |
|
0 |
0 |
1 |
0,25002 |
-0,05 |
50 |
X2 |
|
0 |
1 |
0 |
-0,125 |
0,075 |
45 |
X1 |
El máximo beneficio de $12450, se obtiene de cultivar 45 hectáreas de trigo y 50 hectáreas de alpiste. Quedan cinco hectáreas en desuso.
Bibliografía: