Trabajo Práctico de EQUILIBRIO GENERAL
Bibliografía: "Microeconomía Intermedia" de Hal R. Varian.
Ejercicio:
Dadas las funciones de Utilidad de Cobb Douglas
UA ( x 1 A, x 1 A) = (x 1 A) a ( x 2 A) (1-a) para el individuo A
UB ( x 2 B, x 2 B) = ( x 1 B) b (x2B) (1-b) para el individuo B
Verificar que las funciones de demanda agregada satisfacen la Ley de Walras y el precio de equilibrio.
Solución:
De las fc. de utilidad obtenemos que las fc. De demanda
Para el bien 1= X1A (p1, p2) = a mA/p1 X1B (p1, p2) = b mB/p1
bien 2= X2 (p1, p2) = (1-a) mA/ p2 X1B (p1, p2) = (1-b) mB/ P2
Siendo X1A , X1B el consumo del bien 1 y 2
W1A y W1B la asignación correspondiente a la dotación inicial
En condición de equilibrio la renta monetaria de cada individuo viene dada por su dotación
MA= p1 . W1A + p2 . W2A mB = p1 . W1B + p2 . W2B
Donde los excesos de demanda son:
Z1(p1, p2) = a mA/p1 – W1A + b mB/p2 – W1B
Exceso de demanda de Exceso de demanda de B respecto
A Con respecto al bien 1 del bien 2
La sums de estos 2 nos da el exceso de demanda agregada del bien 1 por parte de los agentes A y B Que para el bien dos va a ser analogo.
Z1( p1, p2) = a p1. W1a + p2. W2a + b p1 .W1B + p2. W2B - W1A – W1B
P1 p1
Z2(p1, p2) = (1-a) p1 .W1A + p2. W2A + (1-b) p1 .W1B +p2 .W2B -W2A - W2B
P2 p2
Verificacion de la ley de Walras
P1 Z1 (p1, p2)= 0
P1 ( a p1 .W1A + p2 .W2A ) + p2 ( (1-a) p1 .W1A + p2 .W2A) = p1 W1A + p2W2B
P1 p2
P1 ( a . p1. W1A + p2 .W2A .W1A -W1A) + p2 ( (1- a) p1 .W1A+ p2 .W2A -W1A ) = 0
P1 p2
P2 Z2 (p1, p2 ) = 0
P2 [(1– a) p1 . W1B + p2 .W2B W2B ] + p2 [(1-b) p1 . W1B + p2 .W2B - W2B)] = 0
P2 p2
Esto es igual a cero porque uno de los terminos va a ser negativo ya que el individuo deseara venderlo para obtener más cantidad del otro.
Si sumamos las dos se cumple
P1 Z1(p1, p2) + p2 Z2( p1, p2) = 0
La ley de Walras implica que hay k-1 ecuaciones independientes en el modelo de equilibrio general, pero para determinar los k precios de los k bienes podemos multiplicar todos los terminos, los precios y la renta por un número positivo y de esta manera no variara el conjunto presupuestario. Al precio que se agrega multiplicando se lo denomina numerario.
En este caso p2 = 1
Z1(p1, 1) = a p1 . W1A + W2A + b p1 . W1B + W2B - W1A – W1B
P1 p1
Z2(p1, 1) = (1-a) (p1 .W1A + W2A) + (1-b) (p1 .W1B + W2B) - W2A –W2B
Estas son las ecuaciones para expresar el exceso de demanda de ambos bienes en función del p1
Equilibrio:
(1-a)(p1 . W1 A + W 2 A) + (1-b)(p1 . W1 B + W 2 B) = W 2 A + W 2 B
(1-a)p1 .W1 A + (1-a) W 2 A + (1-b) p1. W1 B + (1-b) W 2 B = W 2 A + W 2 B
W 2 A – W 2 A + a W 2 A
(1-a) p1 . W1 A + (1-b) p1 . W1 B = a W 2 A + b W 2 B
p1 [(1-a) W1 A + (1-b) W1 B] = a . W2 A + b . W2 B
p1 = a W2 A + b W2 B
(1-a) W1 A + (1-b) W1 B
Según la ley de Walras podemos obtener el mismo precio cualquiera de las dos que hubieramos despejado y este a su vez es el precio de equilibrio.