La chistera algebraica
Siempre me han gustado esos juegos de magia donde un tipo con las mangas
subidas, sin ningún sitio aparente donde esconder nada, mete us conejo que
tiene entre sus manos en una chistera, hace plis-plas y el conejo se desvanece
en el aire. Desarma la chistera, y allí no hay nada.
Siempre me sorprenden. Por mucho que miro, por mucho que intento pensar en
ello, no consigo imaginarme como lo hacen. Una vez le dije a un amigo mío
cuánto me sorprendía y cómo lo harían, y el me respondió, pues no es para
tanto, al fin y al cabo seguro que eso tiene algún truco. Vaya gilipollez,
claro que tiene truco. Para ese viaje no me hacen falta tus alforjas. Lo
interesante no es saber "que tiene truco", sino "cuál es el truco". Y aquí es
donde yo quiero llegar.
Lo que voy a plantear a continuación son juegos malabares algebraicos. La
mayoría de ellos demuestran que 1=2, y cosas parecidas. Por supuesto que tienen
truco, éso no está en discusión. La gracia está en encontrar ese truco. En qué
paso del razonamiento he escondido el conejo sin que nadie se diera cuenta.
Algunos de estos trucos son básicos, pero otros son realmente ingeniosos, Me
encantan.
Una pareja de uno: método de las ecuaciones.
Bien, pues lo que vamos a demostrar está claro, ¿no?. Empecemos.
Supongamos dos variables x e y que cumplen:
x=y
Multiplicando por x a ambos lados: x^2=xy
restando y^2 a ambos lados: x^2-y^2=xy-y^2
El primer término es una diferencia de cuadrados (igual a suma por diferencia),
luego: (x+y)(x-y)=xy-y^2
Sacando factor común y en el segundo término: (x+y)(x-y)=y(x-y)
Y simplificando por (x-y): x+y=y
Y según nuestra hipótesis de partida (x=y), sustituyendo x por y se tendrá:
y+y=y, o sea, 2y=y
Y simplificando por y: 2=1
Busca, que no es tan difícil.
Una pareja de uno: método aritmético
Partamos de que 6=6. Supongo que nadie discrepará, ¿no?.
Por lo tanto 10-4=15-9.
Multiplicando por -1: 4-10=9-15.
Sumando 25/4 a los dos lados de la igualdad 4-10+25/4 = 9-15+25/4
Y como 4 = 2^2, 10 = 2x2x5/2, 25/4=(5/2)^2, 9 = 3^2 y 15 = 2x3x5/2,
Tendremos: 2^2 - 2x2x5/2 + (5/2)^2 = 3^2 - 2x3x5/2 + (5/2)^2 .
El primer término de la igualdad es el cuadrado de 2, mas el cuadrado de 5/2,
menos el doble producto de 2 por 5/2, o sea, (2-5/2)^2
El segundo término de la igualdad es el cuadrado de 3, mas el cuadrado de 5/2,
menos el doble producto de 3 por 5/2, o sea, (3-5/2)^2
Por lo tanto: (2-5/2)^2 = (3-5/2)^2
Y eliminando los cuadrados a los dos lados de la igualdad: 2-5/2 = 3-5/2
Y sumando 5/2 a los dos lados: 2=3
Y restando 1 a los dos lados: 1=2. ¡Et Voila!
Una pareja de uno: método de las derivadas
Tenemos que x+x+x+....+x =
kx
k veces
Por lo tanto x+x+x+....+x = xx
= x^2.
x veces
Así, 3+3+3 (3 veces) = 9 (3^2), como 5+5+5+5+5 (5 veces) = 25.
Partamos pueso de x+x+x+....+x
= x^2
x veces
Derivando respoecto de x los dos términos de la igualdad: 1+1+1+....+1 = 2x
x veces
Y por lo tanto x=2x
Que simplificando por x, da 1=2
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