Ecuaciones polinómicas de una variable real

Discusión

Es de todos sabido que si anx^(n) + an-1x^(n-1) + an-2x^(n-2) + ... + a2x^2+a1x+a0 = 0 es un ecuación polinómica de una variable real, ocurre que:
  1. La ecuación tiene n soluciones en el campo complejo (o sea, n soluciones que pueden ser reales o complejas), siempre que si la misma solución se repite r veces no se cuente como una solución, sino como r soluciones.
  2. Si tiene una solución compleja, también tiene su conjugada
  3. Si el x1 es una solución, al dividir el polinomio anx^(n) + an-1x^(n-1) + an-2x^(n-2) + ... + a2x^2+a1x+a0 por x-x1, se obtiene un nuevo polinomio (de grado n-1) bn-1x^(n-1) + bn-2x^(n-2) + ... + b2x^2+b1x+b0 que tiene las mismas  raices que el anterior, menos la raiz  x=x1.
Vale, pues entonces está claro. Si se resolver ecuaciones de grado n-1, y me las apaño para encontrar una raíz de una ecuación de grado n, ya puedo envontrarlas todas. Así que vamos a proceder de abajo a arriba, empezando por las ecuaciones de primer grado.

Ecuación polinómica de PRIMER GRADO de una variable real

Bueno, eso todo el mundo lo sabe. Si tengo la ecuación a1x+a0=0, me basta con despejar x para obtener:
x = -a0/a1

Como vemos, al ser de primer grado solo tiene una solución, que necesariamente es real (si fuera compleja, tendría que tener su conjugada, y entonces habría dos soluciones).


Ecuación polinómica de SEGUNDO GRADO de una variable real

Esta también la sabe todo el mundo, por lo menos recitar la fórmula como un papagayo. Pero esto no es ornitología, sino matemáticas, así que vamos a resolver la ecuación de una forma lógica, no de una forma memorística.
La ecuación es a2x2+a1x+a0=0. Vaya, que mala suerte, porque si no hubiera término en x (término de primer grado), o sea si la ecuación fuera b2y2+b0, la solución sería bien sencilla, bastaría con despejar y, y tendríamos y = (+/-)sqr(-b0/b2). Easy peacy. Pero como hemos dicho, no ha habido buena suerte y tenemos término en x. ¿Y si hago un cambio de variable de x a y, por ejemplo x=y+c, para eliminar el término de primer grado. Bueno pues sustituyamos x por y+c a ver que pasa:
a2(y^2+2cy+c^2) + a1(y+c) + a0 = a2y^2 + (2a2c+a1) y + (a2c^2+a1c+a0) = 0.
Bueno, y si queremos que el término de primer grado sea cero tendrá que ser que 2a2c+a1 = 0, o sea, c= -a1/2a2.
La ecuación en y quedará entonces: a2y^2 + 0 y + (a1^2/4a2 - a1^2/2a2 + a0) = 0, o sea,
a2y^2 + (-a1^2/4a2 + a0) = 0, por lo que y = (+/-)sqr [(-a1^2/4a2 + a0) / a2].
Y como x=y+c, o sea, x=y-a1/2a2:
x = (+/-)sqr [(-a1^2/4a2 + a0) / a2] - a1/a2
Que operado nos queda la famosa fórmula  papagáyica de:
x = [-a1 (+/-)sqr(a1^2 - 4a2a0)] / 2a2
 Como vemos, la fórmula nos da dos soluciones, una poniendo un (+) antes de la raiz cuadrada, y otra poniendo un (-).
Si el término dentro de la raíz es cero, las dos soluciones son iguales. Es decir, hay una solución " doble" .
Si el término es positivo, habrádos soluciones reales.
Si el término es negativo, la solución de la raíz seráun número imaginario, y por lo tanto habrádos soluciones complejas y conjugadas.


Ecuación polinómica de TERCER GRADO de una variable real

Bueno, y ahora entramos en territorio ignoto hasta para los que se les daban bien las matemáticas en bachiller, incluso para muchos ingenieros. Sin embargo, la ecuación de tercer grado también tiene solución. No digo que sea sencilla, pero la tiene.
La ecuación es a3x3+a2x2+a1x+a0=0. Dividiendo por a3 tendríamos:
Sacando factor común x del primer y tercer término, tendríamos: x [a3x2+a1] + [a2x2+a0} = 0.
Si [a3x2+a1] y [a2x2+a0} fueran proporcionales, o sea, [a3x+a2] = k [a1x+a0}, o sea, a3/a2=a1/a0, o sea, se podría sacar factor común y problema resuelto:
[a3x+a2] (x2+k) + 0, con lo que las soluciones serían x=-a2/a3, y x=(+/-)sqr(-k)
Pero en general [a3x+a2] y [a1x+a0} no tienen nada que ver el uno con el otro, y de proporcionalidad, nada. Mala suerte.
Si, pero acudamos al tan conllevado cambio de variable x=y+c, a ver que pasa. Así que tendremos:
a3 (y3 + 3y2c + 3yc2 + c3) + a2 (y2 + 2yc + c2) + a1 (y+c) + a0 = 0
que operado queda:
a3y3 + (3ca3+a2) y2 + (3c2a3+2a2c+a1) y + (a3c3+a2c2+a1c+a0) = 0
Y ahora aplicando la proporcionalidad (termino 3) x (termino 0) = (termino 2) x (termino 1):
a3^2c^3 + a3a2c^2 + a3a1c + a3a0 = 9a3^2c^3 + 6c2a3a2 + 3ca3a1 + 3c2a2a3 +

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