¿Que pasa mas allá de la velocidad de la luz?. Según Einstein, no es posible sobrepasarla, porque a la velocidad de la luz el tiempo deja de transcurrir, y si el tiempo no transcurre, el cambio no es posible. Un objeto a la velocidad de la luz se "congelaría" a esa velocidad para toda la eternidad. La velocidad de la luz es aproximadamaente 300.000 km/s, o sea 300.000.000=3x108 m/s. Para no escribir siempre un número tan largo, abreviémoslo como c. Por tanto, una vez a la velocidad c, habrá que ir siempre a esa velocidad. De hecho, no puede conseguirse siquiera llegar a c, porque a medida que nos acercamos, el tiempo se "decelera", y el cambio (incluido el cambio de velocidad) se hace cada vez mas difícil. Se puede ir uno aproximándose asintóticamente a c, pero nunca alcanzarla por la sencilla razón de que el tiempo se va parando.
Aquí habría que hacer una consideración. Cuaado hablamos de que un viajero viaja a la velocidad de la luz, queremos decir que su novia, que ha ido a despedirle pero se ha quedado en el andén espacial agitando el pañuelo "quieta", ve que su amado se aleja a la velocidad de la luz. El viajero, sin embargo, como el tiempo se le "congela" se ve a sí mismo viajando a velocidad infinita. Debido a esa compresión del tiempo, el viajero se ve a sí mismo viajando a una velocidad distinta a la que le ve alejarse su novia. Por supuesto, éso sólo es notable en el caso de "viajeros lumínicos", es decir, viajeros que se acerquen mucho a la velocidad de la luz. Ya volveremos sobre ese tema mas adelante, por ahora baste con decir que el viajero se ve a sí mismo de muy distinta manera a como lo ve su novia. Todos nos vemos a nosotros mismos de muy distinta manera a como nos ve nuestra novia, pero no me refiero a éso. No me refiero a sentimentalmente o psicológicamente, o anímicamente. Aquí me refiero a "velocidadmente", es decir, que el viajero se ve a sí mismo viajando a una velocidad distinta de la que le ve su novia. Así que voy a representar con letras mayúsculas las variables del viajero tal como las ve el observador estático (la novia), y con letras minúsculas las mismas variables tal como las ve el propio viajero. Por tanto representaré:
| Tal como la ve el propio viajero | Tal como la ve un observador estático | |
| rapidez a la que pasa el tiempo | t | T |
| Velocidad a la que va el viajero | v | V |
| Aceleración con que acelera el viajero | a | A |
| Espacio que recorre el viajero | s | s |
¡Eh!, alto ahí. Acabamos de decir que usaremos letras mayúsculas para las variables tal como las ve un observador estático, y sin embargo para el espacio que recorre el viajero hemos usado s en ambos casos. Claro, es que lo único que ven igual el viajero y el observador estático es, lógicamente, la distancia que recorre el viajero. Si va de aquí a Marte, tanto el observador como el viajero ven que el viajero ha recorrido la distancia de aquí a Marte. Por lo tanto en ambos casos le llamo s.
Muy bien, pues según hemos dicho antes, un viajero no puede acelerar por arriba de la velocidad de la luz. Si, pero eso no me resuelve una duda. ¿Qué pasaría si ya hubiera inicialmente cuerpos viajando a una velocidad superior a c?. En principio a ellos les pasaría algo parecido, que no podrían decelerar a la velocidad de la luz por idénticas razones. Poque conforme deceleran, conforme se acercan a la velocidad de la luz, el tiempo se les va parado, y nunca podrían decelerar hasta c. La velocidad de la luz se convertiría así en una frontera infranqueable por ninguno de los dos lados. Pero, ¿puede haber cuerpos viajando a una velocidad V>c?. Especulemos un poco sobre éso.
Según Einstein, una partícula que viaja a una velocidad v ve pasar el tiempo con diferente rapidez que uno quieto. Llamando dt a la rapidez con que transcurre el tiempo para el viajero, y dT a la que transcurre para el observador estático,
| dt = dT sqr[1 − ( V/ c ) ² ] | Expresión [1] |
Donde la letra d quiere decir "rapidez de cambio". En matemáticas le llaman diferencial. Y sqr [x] quiere decir raiz cuadrada de x. Efectivamente, vemos que si V=c (o sea, vemos viajar al viajero a la velocidad de la luz), V/c=1, y entonces dt=0. O sea, si la velocidad del viajero (vista desde un punto estático) es la de la luz, el tiempo se le congela al viajero. ¿Pero que ocurre si V>c?. Entonces V/c es menor que 1, y el término dentro de la raiz [1-(V/c)²] sería negativo. ¿Y que ocurre con las raíces cuadradas de un número negativo?. Bueno, ahí las matemáticas nos dan una respuesta que podemos interpretar de dos maneras distintas:
La conclusion es, ¡joder lo que da de si una fórmula cuando uno quiere sacarle punta!
Érase una vez un hombre que quería viajar a las estrellas. Bueno, no exactamente a las estrellas, no tenía ganas de abrasarse, pero si a ciertos planetas que giraban alrededor de estrellas muy lejanas. Muchos le tacharon de loco. "¿Es que no sabes que están a cientos de años luz?", le decían. "Pero yo he construído una nave que puede alcanzar la velocidad de la luz", contestaba. "¿No te das cuenta que incluso viajando a esa velocidad tardarías cientos de años en llegar, y ni tu, ni tus hijos, ni los hijos de tus hijos, llegarían hasta ellos?", le corregían. El hombre, lógicamente, se reía. Estaba claro que quien le decía éso no había entendido nada sobre la velocidad de la luz.
Es cierto que para los que se quedaran en tierra, el hombre tardaría cientos de años en llegar. Pero los que fueran a bordo de la nave viajarían a la velocidad de la luz, y a esa velocidad el tiempo se detiene según la fórmula que ya sabemos. Por lo tanto, para ellos el viaje no duraría cientos de años, sino que sería instantáneo. La velocidad de la luz, c=3x108 m/s, es la velocidad máxima alcanzable para quien lo observa desde fuera. Pero para los que viajen viajen a esa velocidad, el tiempo se les ralentiza (sólo a ellos) hasta congelarse (a la velocidad de la luz), por lo que se ven a sí mismos en su lugar de origen, y “al mismo tiempo” en su lugar de destino. Por lo tanto, “para su entendimiento” han viajado a velocidad infinita.
En otras palabras, la gente en la tierra, si pudiera ver a la nave en todo su recorrido, la vería alejarse y viajar a la velocidad de la luz durante cientos de años. En la Tierra pasarían generaciones, la humanidad progresaría (hacia bien o hacia mal), se sucederían imperios y el mapa político cambiaría varias veces antes de que la nave llegara a su destino. Incluso tal vez la humanidad se olvidaría que una vez una nave partió rumbo las estrellas. A bordo de la nave, en cuanto se alcanza la velocidad de la luz, todo transcurre en un instante. Al milimilimilisegundo siguiente, ya estás en tu destino y, si pudieras ver a la tierra, la encontrarías irreconocible porque la historia ha cambiado de manos varias veces en ese instante. Es como el viejo cuento del pescador (que pasa un día bajo el mar, y cuando vuelve a tierra sus nietos ya son viejos), pero a lo bestia.
O sea, que el viaje a las estrellas no parece ser tan imposible como parecía. Bien, pues entonces especulemos sobre éso.
Supongamos que en mi astronave quiero crear un medioambiente similar al de la tierra. Para ello decido que la aceleración o deceleración será siempre de a = 9,8 m/seg2 (la aceleración de la gravedad). Así, la propia aceleración de la nave me dará la impresión de una gravedad como en la Tierra. El viaje lo programo entonces como sigue: (1) Acelero a una aceleración de 9,8 m/seg2 hasta la velocidad de la luz, (2) viajo a la velocidad de la luz el tiempo necesario (visto desde fuera, porque desde dentro de la astronave serán 0 segundos), y (3) Doy media vuelta a la astronave y decelero a una deceleración de 9,8 m/seg2 para llegar parado a mi destino. Por supuesto que el plan tiene uno o dos inconvenientes: (1) según vimos antes, la velocidad de la luz se puede rozar, pero no conseguir, y (2) si la consiguiéramos quedaríamos para siempre atrapados “congelados” en ella y no podríamos dar a los mandos de "decelerar".
Bueno, cambiemos el plan para llegar hasta “casi la velocidad de la luz”, de forma que la segunda parte del plan no la vemos como si durara 0 segundos, sino por ejemplo 1 o 2 horas (aunque en la Tierra estas dos horas las seguirán viendo como cientos de años). La pregunta es, ¿durante cuanto tiempo deberíamos estar acelerando el el tramo (1), que será igual al tiempo decelerando en el tramo (3)?.
Respondamos la pregunta mediante la mecánica clásica. Por supuesto, que ya sabemos de antemano que la respuesta será falsa, porque en cuanto nos acerquemos peligrosamente a c, la mecanica clásica no funciona. Pero tengo curiosidad por saber lo que nos dice.
En este caso da igual usar t o T, v o V, a o A, porque según la mecánica clásica son iguales (ya hemos dicho que la mecánica clásica no es cierta velocidades cercana a la de la luz). Bien, el cálculo es bien sencillo. Movimiento a aceleración constante a = 9,8 m/seg2, con velocidad inicial nula (v0=0), y velocidad final “casi c”, o sea, vf ~ 3x108m/seg. Un simple cálculo me dice que t = (vf - v0)/a, o sea, t = [3x108m/seg] / [9,8 m/s2] = 30.612.244,9 seg = (30.612.244,9)/(60x60x24) = 354 días. Para redondear, pongamos un año.
O sea, que nuestro largo viaje estará constituído por una fase de aceleración de un año (sintiéndose como en casa), 2 horas o así a casi la velocidad de la luz (sin acelerar, y por lo tanto sin sentir ninguna "gravedad", pero total por dos horas no pasa nada), y un año de deceleración (sintiéndose otra vez como en casa). Dos años de viaje. Perfectamente factible.
¿Perfectamente factible de verdad?. Puede que sí, pero no tan fácil. Como he dicho estos cálculos son según la mecánica clásica, que no es cierta próximos a la velocidad de la luz. Efectivamente, en cuanto nos acercamos a c el tiempo pasa mas despacio, por lo que ese año nos parecerá incluso mas corto… o mas largo, porque a la nave también se lo parece y “el tiempo en que está acelerando” es para ella mas corto, y por lo tanto “no tiene tanto tiempo para acelerar" como habíamos previsto. Vale, vale, ya estoy suficientemente liado, no sigamos razonando por ese camino. Entonces, ¿que hacemos?. Bueno, pues aplicar la teoría adecuada. El problema es que si lo hacemos así, las matemáticas involucradas se complican un poco. Pero si no te importa, o si te crees lo que yo te diga, vamos allá.
Una cuestión interesante es como se corresponden v y V, o sea, cuando el viajero se ve a sí mismo viajando a una velocidad v, a qué velocidad V le ven alejarse desde tierra. Bien, sabemos que la velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo. El espacio recorrido es el mismo para el viajero que para el que le observa desde tierra, como hemos dicho antes (s para ambos), pero el tiempo no (t para uno y T para otro). Por lo tanto v=ds/dt y V=ds/dT. Tendremos que:V = ds/dT = ds/dt dt/dT = v dt/dT = v sqr[1 − ( V/ c ) ² ] ,
| que despejando v nos dará v en función de V: | v = V / sqr[1−(V/c)²] | [Expresion 2] |
| Y despejando V nos dará V en función de v: | V = v / sqr[1+(v/c)²] | [Expresion 3] |
| Y comparando ambas expresiones, | [1−(V/c)²] = 1 / [1+(v/c)²] | [Expresion 4] |
La relación v/V nos dice cuánto mas rápido se ve viajar la nave desde dentro de la propia nave que desde la tierra; llamémos r=v/V. Así, si r=100, quiere decir que los viajeros se ven a sí mismos viajando 100 veces mas rápido que cómo los ven desde tierra.
V/c es el porcentaje (la fracción) de la velocidad de la luz a la que viaja la nave (vista desde tierra); llamémosle F=V/c. v/c es la fracción de la velocidad de la luz a la que se ven viajando los propios viajeros; lamémosla f=v/c.
Las expresión [1] anterior quedaría: v/V = 1/ sqr[1−(V/c)²] = sqr[1+(v/c)²], y por lo tanto r = 1/sqr[1-F²], o bien r = sqr[1+f²]
Como se puede ver, a velocidades muy inferiores a la de la luz (f casi cero o muy pequeño), r es prácticamente 1, o sea, no hay diferencia enrtre cómo se ve viajar a la astronave desde ella misma o desde tierra. Incluso a velocidades tan altas como un un millón de km/h (=277.777 m/seg), F=277777/300000000=0,000926, y por tanto r=1,000000463, es decir que desde la astronave se ven a sí mismos viajar 4 diezmillonésimas mas rápido de lo que les ven desde la Tierra. Una diferencia casi imposible de medir con los aparatos de medición tradicionales mas precisos.
También puede verse que a velocidades V próximas a la de la luz (f próximo a 1), (1-F²) se hace casi cero, y por tanto r crece enormemente. De hecho tiende asintóticamente a infinito para F=1. O sea, tal como habíamos dicho antes, cuando la astronave va a la velocidad de la luz (observada desde tierra), los viajeros creerán ir a velocidad infinita. Bueno, la verdad es que en realidad van a velocidad infinita visto "desde su realidad particular".
Bueno, entonces éso de que la velocidad máxima es la de la luz vale sólo para los gandules que se quedan en tierra. Para los valientes aventureros que se sientan ante los mandos de su astronave, no hay límites: pueden verse a sí mismos viajando a velocidad infinita. Y todo ello es posible gracias a que el tiempo se les ralentiza para que así sea. Entonces el plan cuántico de viaje es bien sencillo VISTO DESDE LA PROPIA ASTRONAVE: acelerar a una aceleración constante durante la mitad del trayecto (y nos da igual la velocidad máxima que alcancemos vista desde dentro, porque dentro de la astronave no hay límites), dar la vuelta a la nave, y decelerar con esa misma deceleración durante la otra mitad. Si esa aceleración es de 9,8 m/seg², o sea, igual a la gravedad terrestre, los viajeros encima se sentirán como en casa, pero para generalizar supongamos por ahora que es una acleración "a" cualquiera pero fija para que, una vez acostumbrados a ella, se sientan como en su nuevo hogar.
Como ejemplo, supongamos que queremos llegar a un planeta a cien años luz, sintiéndonos como en casa (con una aceleración a=g). Mucha gente no entiende que un año luz NO es una medida de tiempo, sino de distancia. Es la distancia que recorre la luz en un año, es decir 300.000.000 m/seg x 60 seg/min x 60 min/h x 24 h/dia x 365 dias/año = 3 x 108 x 31536000 = 9,461 x 1015 m. Por tanto| 1 yl = 9,461 x 1015 m. | [Expresion 5] |
Unos veinte años, si, pero como hemos dicho éso es lo para los viajeros que van en la astronave. Cuando lleguen a su destino serán "sólo" veinte años mas viejos. Como en el cuento del pescador, los que se quedan en tierra ven ese tiempo de una forma muy distinta. Para ellos, que no se les contrae el tiempo, esos veinte años es mucho, mucho, muuuuuuuuuuucho mas. ¿Cuánto?. Bueno, eso es un poco difícil de contestar, porque ellos ven a la astronave moviéndose a aceleración no constante. La contracción irregular del tiempo (distinta contracción a medida que la astronave aumenta su velocidad) hace que la aceleración constante de la astronave (vista desde la propia astronave) se vea "no constante y cada vez mas pequeña" vista desde la Tierra. Bueno, entonces, los que esperan en la Tierra, ¿cuánto ven durar el viaje?.
Hagamos los cálculos para una aceleración cualquiera "a". Como sabemos que según la expresión [1] dt = dT sqr[1-(V/c)²], tendremos que dT = dt/sqr[1-(V/c)²], y según [4], dT = dt sqr[1+(v/c)²].
Ahora bien, como v (la velocidad de la astronave vista desde la propia astronave) es la velocidad de un movimiento uniformemente acelerado, v=at, por tanto dT = dt sqr[1+(at/c)²] = dt sqr[1+(a/c)²t²]. Ahora basta con integrar todo el tiempo que la astronave está acelerando, o sea, desde que arranca hasta la mitad del camino.
T = Int[dT] = Int { sqr[1+(a/c)²t²] dt }, e integrando se obtiene (créeme) que
| T = 0,5 { t sqr[1+(a/c)²t²] + (c/a) Ln [(a/c)t + sqr[1+(a/c)²t²] ] } | Expresión 6 |
Así que nuestro viajero, de vuelta a la tierra, decide sacar provecho a su experiencia. ¿Por qué no abrir una agencia de viajes espaciales?. La propaganda sería demasiado tentadora para que los potenciales clientes la rechazaran: Si le gustan los destinos mas exóticos, y es usted amante de la velocidad, entre en nuestra agencia: visitará los lugares mas interesantes de la Galaxia, viajará a velocidades increíbles, y encima sea el mas joven de sus amistades sin pasar por el quirófano. Absolutamente irresistible.
Veamos entonces que lugares podríamos ofrecer. Para bolsillos humildes, las estrellas mas cercanas, como Alfa Centauro, la estrella mas cercana a la tierra (a 4,3 años luz). Para románticos, Sirius, la estrella mas brillante del firmamento vista desde la tierra (a 8 años luz). Para verdaderos aventureros, planetas que pueden ser similares al nuestro, y por tanto podría ser que pudiéramos vivir allí y quedarnos como colonos. De estos, hay varios. Para los mas caprichosos, el propio centro de la galaxia, a 8500 parsecs. Para los de mas amplias miras, llevémoslos a otra Galaxia. la mas cercana es el Can mayor, a 25.000 años-luz.
Analicemos la viabilidad de estos viajes. Pongamos en una tabla el destino, la distania a la Tierra, 2t (el tiempo que tarda la astronave visto desde la propia astronave), 2T (el tiempo que tarda la astronave visto desde la Tierra), v(max)/c = f(max) (cuantas veses se ve el viajero a sí mismo viajando mas rápido que la luz), y V(max)/c=F(max) (cuantas veces ven al viajero desde la tierra ir mas rápido, o no, que la velocidad de la luz).
Usaremos las siguientes fórmulas:
s (el espacio que va acelerando) = L/2, siendo L la distancia total.
t = sqr[2s/g] = sqr[L/g]
T = 0,5 { t sqr[1+(a/c)²t²] + (c/a) Ln [(a/c)t + sqr[1+(a/c)²t²] ] }
f(max) = v(max)/c = gt / c
F(max) = V(max)/c = v(max) /[c x sqr[1+(v(max)/c)²] = f(max)/sqr[1+f(max)²]
| LUGAR | L = DISTANCIA A LA TIERRA (Años-luz) | COMENTARIOS | 2t (años) | 2T (años) | f(max)=v(max)/c | F(max)=V(max)/c |
| Alfa-Centauro | 4.3 | La estrella mas cercana al Sol | 4,08 | 2.21 | 0.9110711 | |
| Sirius | 8,6 | La estrella mas brillante de la noche, vista desde la Tierra | 5,78 | 2.98 | 0,9480451 | |
| Gliese 667C c | 22,1 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos). Constelación de Escorpio | 9.26 | 4.77 | 0.9787236 | |
| Kepper 62 e | 1.200 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos). Constelación de Lira | 68.26 | 35.15 | 0.9995956 | |
| Keppler 283 c | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos) | |||||
| Keppler 296 f | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos) | |||||
| Tau Ceti e | 12 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos). Constelación de Cetus | 6.83 | 3.52 | 0.9619354 | |
| Gliese 180 c | 38 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos) | 12.15 | 6.26 | 0.9874800 | |
| Gliese 667C f | 22.1 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos) | 9.26 | 4.77 | 0,9787236 | |
| Gliese 581 g | 20 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos). Constelación Libra | 8.81 | 4.54 | ||
| Gliese 180 b | 38 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos). | 12.15 | 6.26 | ||
| Gliese 163 c | 49 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos). | 13.79 | 7.10 | ||
| HD 40307 g | 42 | Planeta muy parecido a la Tierra (creemos). | 12.77 | 6.58 | ||
| El centro de la Via Láctea | 27.700 | 327.96 | 168.93 | 0.9999825 | ||
| Galaxia del Can Mayor Galaxia de Andrómeda | 1.500.000 2.500.000 | Galaxia mas cercana Objeto mas lejano visible desde la Tierra a simple vista | 2413.40 3115.65 | 1243.11 1604.83 | 0,99999968 0,99999981 |