1. DEFINIZIONE DELLA MATEMATICA: PROBLEMI
Innanzi tutto bisognerebbe dire cosa sia la matematica. Ora, è
abbastanza noto che se al cultore di una disciplina gli si chiede che
cosa sia la sua disciplina lo si pone in una situazione assai critica.
Sembra quasi che sia più facile dare una risposta quando se ne sa un po'
meno.
Ad esempio se ad uno che non si è mai occupato di matematica, fisica,
medicina, psicologia e filosofia gli chiede cosa siano queste
discipline, egli potrebbe non avere dubbi nel darci una risposta. Ad
esempio potrebbe pensarla così: <<la matematica studia i numeri, la
fisica studia i fenomeni naturali, la medicina studia il corpo umano, la
psicologia studia la mente e la filosofia studia il vero e il falso.>>
Per uno esperto del settore però le cose non sono così semplici. Infatti
ci sono fisici che studiano modelli neuronali, psicologi che si occupano
della percezione e del linguaggio, filosofi che si occupano dei
fondamenti della scienza, matematici che costruiscono sistemi
assiomatici logici, medici che si occupano della fisica delle
macromolecole di carbonio, altri medici che si occupano di psicofarmaci
e così via.
Ne viene che quella di definire una disciplina indicando quale sia l'
oggetto di quella disciplina si rivela altamente fuorviante. E' più
opportuno cercare di definire una disciplina per mezzo del suo *metodo*.
Dopodiché magari si può osservare che un certo metodo si adatta meglio
allo studio certi oggetti, sicché si viene a creare una sorta si
"affinità" fra metodi e oggetti, il che non esclude però che una certa
disciplina possa/voglia "dire la sua" anche riguardo ad oggetti che in
precedenza sono stati affrontati con altri metodi.
Ora, ammesso che sia vero che ogni disciplina scientifica dispone di un
suo metodo specifico, tale metodo non sta scritto da nessuna parte, né è
stato deciso "a tavolino" dai cultori di quella disciplina. Ciò che
accade è che una certa comunità di persone si trovano a condividere una
certa sensibilità, un certo modo di confrontarsi con il mondo, e questo
processo di condivisione si svolge spesso senza che i componenti la
comunità siano del tutto consapevoli di tutti i dettagli di quella
particolare sensibilità che li connota.
Tale sensibilità coinvolge l'essere umano nella sua interezza, e già il
fatto di volerla esplicitare per mezzo del linguaggio, o addirittura
trasformarla in un "metodo" canonico e/o canonizzato potrebbe costituire
una forzatura.
Ad esempio uno come me, che ha una formazione scientifica, magari
vorrebbe classificare tutte le attività umane in base ad un "metodo",
anche - che so - l'arte e la religione. Ma un artista o un religioso
potrebbero non essere d'accordo a lasciare che sia un matematico a
spiegare cosa sia la matematica e cosa siano l'arte e la religione e
lasciare che sia sempre il matematico a dire quale sia la differenza.
Certo, come uomo il matematico ha in se anche una percezione dell'arte e
della religione, e quindi ha la sua quota di diritti di dire cosa siano
l'arte e la religione, ma questa "quota" non ha alcuna autorevolezza se
non quella che gli viene conferita dall'essere uno dei modi -
potenzialmente infiniti - in cui l'arte o la religione vengono vissute.
Viceversa l'artista potrebbe voler definire tutto ciò che fa l'uomo in
termini estetici, anche la matematica e la filosofia. E come dargli
torto? C'è qui un gruppo di persone - fra le quali mi annovero anche
io - che periodicamente, dopo aspri scontri in cui ognuno arriva armato
dei suoi dogmi, si ritrovano sfiniti ai piedi dell'albero a dire che sì,
effettivamente tutte queste grandi verità non sono altro che stili
retorici come tanti altri, e che anche i teoremi di matematica o il
principio di non contraddizione sono "discorsi" che si confrontano con
altri discorsi alla ricerca del consenso: ars retorica appunto. E di qui
a dire che tutto ha solo una valenza estetica ci vuole poco. Sicché l'
artista potrebbe dire che tutto è arte, e che l'artista è colui che è
consapevole della dimensione estetica delle cose, mentre gli altri
partecipano ad essa in modo inconsapevole. Un po' come il fisico quando
dice che tutti rispettano le leggi della fisica, anche quelli che le
ignorano, e sostiene che la differenza fra i fisici e gli altri è che i
fisici sanno il perché e il percome di ciò che fanno e di ciò che
accade. E il religioso potrebbe dire che tutto è manifestazione di Dio.
Che altro potrebbero essere la Bellezza e le Leggi della Natura se non
l'immagine della Perfezione? Da questo punto di vista i fisici e gli
artisti sono solo strumenti attraverso i quali Dio si manifesta, solo
che molti di loro - poverini - non lo sanno. E così via.
E' quindi presumibile che nessuno abbia un orizzonte abbastanza ampio da
poter scrivere una "enciclopedia delle attività umane", se non dal suo
particolare punto di vista e con la sua particolare sensibilità.
Si potrebbe essere tentati di lasciare che i matematici dicano cosa è la
matematica, i filosofi cosa è la filosofia e gli artisti cosa è l'arte.
Così, per essere "politically correct", ché va tanto di moda.
Se non fosse che nell'istante in cui il matematico ci dice cosa è la
matematica, egli ci fornisce - in negativo - anche una definizione di
cosa *non è* la matematica. E in tutto ciò che non è matematica ci
potrebbe stare, che so, anche la religione e l'arte. Non è possibile
quindi che ognuno resti del tutto "nel suo". Se ad esempio un matematico
dicesse (sbagliando, ma qui si fa solo per fare un esempio) che la
matematica è la scienza del numero, un artista si troverebbe che i
numeri sono stati tutti "monopolizzati" dal matematico, sicché la sua
disciplina si ritroverebbe, per contrapposizione, esclusa dalle
discipline del numero. Ma questo artista a sua volta potrebbe essere uno
che concepisce l'arte come armonia, e per di più avere una concezione
"pitagorica" del numero, ed essere convinto che il numero descrive
l'armonia dell'universo, per mezzo di rapporti "perfetti" come il
rapporto aureo bla bla bla. Questo nostro artista potrebbe non essere
molto d'accordo ad accettare la definizione di matematica data dal
matematico, magari perché convinto che l'essenza del numero può
coglierla solo l'arte, e che i matematici siano solo una sorta di
"operai del numero".
Tutto ciò per chiarire che non è facile "non impicciarsi".
Ed infatti io qui un po' dovrò impicciarmi anche di ciò che non è affar
mio. Non vorrei farlo (si sa quanto io sia riservato), ma sarò costretto
a farlo (poverino).
2. UN TENTATIVO DI DEFINIZIONE: L'ALGORITMO
Torniamo dunque alla matematica.
Per poter dare una risposta esauriente dobbiamo estrarre da tutto ciò
che fa la matematica un suo peculiare metodo o una caratteristica che
sia uniformemente presente.
Ora, se andiamo a vedere di cosa si occupa la matematica troviamo parti
che possono anche apparire eterogenee: numeri, oggetti geometrici,
logica, informatica. Cos'hanno in comune fra loro queste parti della
disciplina?
Platone e Aristotele definirono la matematica come la <<scienza della
quantità>>. Ho già detto che ormai da secoli non è più possibile
classificare le discipline in base al loro oggetto. Ad esempio la logica
formale è perfetta per essere affrontata con la "sensibilità matematica"
, tant'è che io stesso - nel mio piccolo - mentre sulle questioni
ontologiche "non penso", se mi dà da discutere sul modus ponens, il
modus tollens, lo pseudo-Scoto, i sillogismi e tutte quelle fregnacce lì
mi sento perfettamente a mio agio. Ora, nella logica formale, così come
nella elaborazione dei linguaggi oggetto, non compare un numero che sia
uno. Quindi - come avevamo già capito - la definizione di Platone e di
Aristotele è un po' troppo restrittiva.
Resta tuttavia il fatto che se un matematico di oggi potesse discutere
con Euclide probabilmente si intenderebbero al volo; il che non
significa che non litigherebbero: a parte i filosofi gli scienziati sono
le prime donne più prime donne dell'universo, e di prime donne su un
palco ce ne può essere una sola, per definizione. Quindi ci deve essere
nella matematica qualche cosa di più universale del numero, qualche cosa
che vada bene sia per Euclide che per Russell. Ed anche qualche cosa che
renda comprensibile l'affermazione di Galileo, secondo il quale il mondo
sarebbe "matematico". Se non vogliamo pensare che Galileo fosse tanto
stupido da pensare che il mondo fosse pieno di numeri e di triangoli
svolazzanti (è vero che lo scrisse quasi in questo modo, ma egli aveva i
mezzi espressivi che aveva, e qui stiamo cercando di andare oltre alla
forma per cogliere dei tratti universali), dovremmo cercare di
comprendere qual era la particolare visione del mondo che faceva
percepire a Galileo la matematica dappertutto.
A questo punto rompo gli indugi e provo a buttare la mia soluzione del
problema. Secondo me tutto ruota attorno alla nozione di "algoritmo".
Se ho ragione i matematici sarebbero quelli che anziché indugiare sul
<<cosa>> preferiscono buttarsi sul <<come>>. Anziché chiedersi <<cos'è>>
mettono da parte questa domanda come priva di senso e passano
direttamente al <<fai così, fai cosà>> o al <<se fai questo, allora
succede quello>>.
Detto così è troppo vago, dovrei provare a formularlo in modo più
rigoroso. Fra poco lo farò, ma prima di farlo occorre anteporre un
avvertimento.
La nozione di "algoritmo", soprattutto se lasciata vaga come ho appena
fatto, potrebbe essere condivisa anche da un matematico di mille anni fa
o da un matematico del XXII secolo. Però non appena si cerchi di essere
più specifici ci si addentra sempre più in quello che una particolare
epoca storica considera specifico, dettagliato, esauriente e -
soprattutto - fondamentale.
Come si sa il mondo può essere spiegato a partire da una margherita, e
se uno si mette a spiegarlo a partire dagli "atomi di carbonio" non fa
altro che legarsi mani e piedi ad una visione del mondo che è quella
specifica della sua epoca. Da questo punto di vista è probabile che la
descrizione fatta a partire dalla margherita, anche se più vaga, abbia
vita assai più lunga.
Ad esempio fra poco io tirerò fuori il concetto di "insieme". Ecco,
forse avrei potuto convincere Euclide che i suoi sono solo "algoritmi",
ma convincerlo che tutta la sua opera richiede solo la nozione di
"insieme" magari sarebbe stata un po' più dura.
Insomma, il mio "universale" sembra essere solo "l'universale del 2003",
e non ci fa una gran bella figura.
Ma anche questo va preso dal giusto punto di vista. Se io dico che un
treno rispetto a me si muove a cento chilometri all'ora, in qualche modo
ho fornito una informazione sul treno. E' vero che l'ho fornita rispetto
al mio particolare punto di osservazione, tuttavia essa sarà
utilizzabile anche da altri non appena essi sappiano a che velocità mi
stia muovendo io rispetto a loro.
Se uno intende descrivere l'*universale* non può che farlo rispetto ad
una certa posizione *particolare*. Ma, se si è fatto un buon lavoro, una
volta che si sia data una qualche informazione da una possibile
angolazione, quella stessa informazione potrebbe essere "trasferibile"
ad altre angolazioni. Allo stesso modo se si fa un disegno in
prospettiva esso descriverà un oggetto come lo si vede da un certo punto
di vista, ma se il disegno è fatto secondo certi criteri (che non siano,
ad esempio, quelli di Escher) le informazioni contenute in quel disegno
potranno essere trasferite anche ad altri punti di vista.
3. UNA DEFINIZIONE PIU' RIGOROSA
Quale potrebbe essere, allora, la versione "moderna" di una definizione
"rigorosa" di "algoritmo"?
Sui dizionari c'è scritto che l'algoritmo è un <<procedimento di
calcolo>>. Ma che è il "calcolo"? Non è che ci ritroviamo i numeri fra i
piedi?
Proviamo in un altro modo: l'algoritmo è ciò che prende qualcosa in
"ingresso" (input) e dà qualcos'altro in "uscita" (output).
Siamo ancora un po' vaghi. Allora proviamo così: l'algoritmo è un
operatore che ad ogni elemento di un insieme A associa l'elemento del
medesimo insieme A o di un altro insieme B.
Questo oggetto che abbiamo definito "operatore" è un caso particolare di
"relazione". Una relazione fra l'insieme A e l'insieme B è "qualcosa"
che ad ogni elemento di A (o ad ogni elemento di un sottoinsieme di A)
"associa" uno o più elementi di B.
Ci troviamo così con tre concetti fondamentali: insieme, associare e
relazione.
Si può dimostrare che solo *uno* di queste tre concetti è irriducibile,
solo che la scelta è libera. In particolare possiamo esprime il concetto
di "relazione" usando quello di "insieme" o viceversa.
Il metodo "classico" è quello di considerare come concetto fondamentale
quello di "insieme" ed esprimere il concetto di "relazione" come
derivato. Non è il metodo più "intelligente", poiché conduce a delle
famose antinomie che nell'altro modo possono essere eliminate più
facilmente, elegantemente ed "economicamente" (nel senso di Occam).
Tuttavia parlare qui di come fondare tutta la matematica e la scienza
sul concetto di "relazione" mi sembra una impresa un po' eccessiva.
Proviamo a farci bastare il caro vecchio "insieme", che ormai è
penetrato anche nelle culture non specificamente "scientifiche".
Non è difficile farlo. Supponiamo ad esempio che l'insieme A sia
costituito dagli elementi (a1, a2, a3) e l'insieme B dagli elementi (b1,
b2, b3). Supponiamo ora di avere una "relazione" che ad a1 associa b3,
ad a2 associa b2 e ad a3 associa a1. La nostra relazione produce quindi
le seguenti "coppie": (a1, b3), (a2, b2), (a3, b1).
Ora, queste tre coppie sono un sottoinsieme di tutte le possibili coppie
fatte da un elemento di A ed un elemento di B, cioè le coppie del tipo
(aX, bY). L'insieme di queste possibili coppie viene chiamato "prodotto"
di A e B, ed indicato con AxB.
Di tutte le possibili coppie (che nel nostro caso sono 9) la nostra
relazione ne individua solo alcune (nel nostro caso 3). Quindi possiamo
dire che una relazione fra A e B è un qualunque sottoinsieme di AxB. E
così la "relazione" è stata espressa ricorrendo esclusivamente al
concetto di "insieme".
Ora siamo pronti per una definizione "universale" della matematica:
***
la matematica è quella disciplina che si occupa delle proprietà delle
relazioni definite sugli insiemi.
***
Uno qui potrebbe fermarmi e dirmi che la cosa non può andare. Infatti ho
appena finito di dire che non può essere l'oggetto a definire una
disciplina, ma solo il suo metodo, ed ora me ne vengo fuori a dire che
l'*oggetto* della matematica sono gli insiemi e le relazioni.
Ma la contraddizione è solo apparente. Infatti il *metodo* della
matematica consiste proprio nel ridurre i suoi oggetti a degli insiemi
strutturati per mezzo di relazioni.
Ad esempio se un matematico decide di studiare la logica farà più o meno
un discorso di questo genere: <<Supponiamo di avere un insieme L di
elementi A, B, C eccetera, che definiamo "proposizioni". Su questo
insieme L definiamo delle relazioni da L ad L, che indichiamo con "&",
"V", "~" tali che eccetera (segue la definizione di .AND. .OR. .NOT.).
Definiamo poi una relazione T che va da L ad un insieme binario B, la
quale ha le seguenti proprietà bla bla bla e che chiamiamo "funzione di
verità".>>.
Ecco, il "metodo" sta in questo "letto di Procuste" che il matematico
impone a tutto ciò che tocca.
Che dire di questo letto? Sarà utile o sarà distruttivo? Sarà un bisturi
che cura o una mannaia che decapita? Boh, il matematico questo non lo
sa, sa solo che questo è il suo modo di "vedere" il mondo.
4. UN ESEMPIO: LA GEOMETRIA
A questo punto si rendono necessarie alcune considerazioni, a sostegno
di questa mia proposta.
Prima di tutto una "prova su strada". Che la mia proposta funzioni con i
numeri dovrebbe essere evidente: è fatta praticamente apposta. Ma che
dire, ad esempio, della geometria? E' possibile definire la geometria
usando la nozione di insieme e di relazione?
Gli 0,25 lettori (un centesimo di quelli del Manzoni) che hanno a cuore
la geometria, già avranno capito come stanno le cose.
Chi invece di solito è in tutt'altre faccende affaccendato non farà
fatica a seguirmi nel comporre questa "ricetta": 1) si prende un
*insieme* G qualunque fatto di elementi che chiameremo "punti"; 2) si
definisce una *relazione*, avente alcuni requisiti che qui non sto a
discutere, che ad ogni coppia di punti associa un numero reale (ovvero
un elemento dell'insieme R), e si definisce "distanza" questa relazione;
3) si definiscono "trasformazioni rigide" gli operatori che agiscono
sull'insieme G lasciando invariata la "distanza"; 4) si definisce
"geometria" l'insieme di tutte le proprietà dei sottoinsiemi di G che
restano invariate rispetto alle "trasformazioni rigide".
Vediamo di dirlo in modo meno pedante. Supponiamo di avere un foglio di
carta su cui possiamo tracciare delle curve. E tracciamo ad esempio un
triangolo. Ora, su un foglio le "trasformazioni rigide" non sono altro
che delle rotazioni o delle traslazioni o delle combinazioni delle due.
Consideriamo ora una proprietà qualunque del triangolo. Ad esempio il
rapporto fra l'arco sotteso da due dei suoi lati e il raggio di quel
medesimo arco. Chiamiamo "angolo" questo rapporto. Ebbene, se noi
ruotiamo e/o trasliamo il triangolo, quel rapporto non cambia, sicché
possiamo dire che il nostro "angolo" fa parte della "geometria" del
triangolo. E' un esempio volutamente "banale" per mostrare che la nostra
definizione può essere utilizzata per costruire la geometria "dalle
basi"
5. LA MATEMATICA E LE SCIENZE
Incoraggiati da queste prime conferme, possiamo spingerci ad osservare
che tutto l'armamentario scientifico si va piano piano spostando sotto
l'insegna del "come" (quella degli "algoritmi") abbandonando via via
l'insegna del "cosa".
In particolare le discipline scientifiche affini alla matematica (come
la fisica e le altre scienze "positive") stanno compiendo da almeno un
secolo una formidabile migrazione di questo tipo, dovuta alla
introduzione della "definizione operativa" delle grandezze.
In passato - basti leggere Newton - c'era da parte degli scienziati un
desiderio residuo (e comprensibile:dopo duemila anni di filosofia
aristotelica) di dire cosa fossero lo spazio, il tempo, la massa
eccetera in termini "essenzialisti". Da almeno un secolo invece si
forniscono le "definizioni operative": non so cosa sia la massa, ma non
mi importa: fai così e cosà, poi confronta quello con quell'altro, e
quello che ottieni è - per definzione - la misura della massa.
Ora, che altro è questa "definizione operativa" se una definizione
ottenuta come "output" di un "*algoritmo* empirico". E, per di più, ora
che possiamo guardare la storia della scienza con un orizzonte
retrospettivo di una certa ampiezza, non è evidente che è questa la
strada che la scienza ha imboccato fin dall'inizio? Non è questa assenza
della dimensione ontologica nel metodo scientifico che ha creato fin
dall'inizio un conflitto fra la "sensibilità" rappresentata dalla
filosofia tradizionale? E non è lo stesso conflitto che oggi si ritrova
anche all'interno della filosofia fra chi è "sensibile" alla dimensione
"sintattica" del linguaggio e chi invece è "sensibile" alla dimensione
"semantica"? Mentre gli ontologi si aggrappano sempre più ai valori
semantici delle parole (e si riferiscono alla sintassi parlando di
"damigiane vuote"), gli altri filosofi, quelli che - a sentire gli
ontologi - si sono messi al servizio della scienza, stanno cercando di
ridurre il linguaggio a puro "algoritmo", e - conseguentemente - la
filosofia ad un settore della matematica. <<Resistere, resistere,
resistere!>> grida qualcuno che si sente tirare da tutte le parti la
stola di ermellino.
La "sensibilità algoritmica" che si ritrova sia nella matematica che
nelle scienze naturali è anche alla base di quella disciplina nota come
"Intelligenza Artificiale" e fondata da Turing.
Anche se lo stesso Turing non ne era completamente consapevole (o meglio
lo era, ma in una prospettiva che andava bene per la sua epoca)
l'elemento "rivoluzionario" della sua definizione di intelligenza
consiste proprio nell'essere una definizione "operativa".
Turing non rispondere alla domanda <<cos'è l'intelligenza?>> non si
sofferma impietrito ad arrovellarsi sulla "essenza" della intelligenza,
ma propone una "ricetta" (un "algoritmo operativo" appunto): 1) mettete
nella stanza accanto alla vostra qualcosa che abbia la capacità di
produrre dei bigliettini scritti e di scambiarli con voi; 2) portate un
vostro amico nella stanza e fatelo "dialogare" con quel qualcosa; 3) *se
* il vostro amico non è in grado di stabilire con certezza se quel
"qualcosa" che sta scambiando bigliettini con lui non è un uomo o no,
*allora* quel qualcosa - per definizione - è "intelligente".
Certo, con la definizione di Turing siamo andati vicino ai limiti della
psicologia, ma è chiaro che l'erosione della dimensione ontologica (e
semantica) a favore di quella operativa (e sintattica) è enorme. Ed
infatti in questa retrospettiva diviene anche chiaro per quale ragione
la IA produce tanto risentimento e tanta repulsione fra i cultori della
"sensibilità ontologica".
Il fatto che la "sensibilità algoritmica" sembri destinata ad imporsi
come "cultura dominante" dovrebbe far piacere a chi coltiva quel tipo di
sensibilità e vede finalmente la propria parte avere qualche
soddisfazione, dopo millenni di quello che i filosofi à la page che
frequentano questo gruppo definiscono "oscurantismo" e "fondazionismo".
Ma: fu vera gloria?
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Davide