Davide Pioggia – ultima revisione: 4 dicembre 2003
Sinossi. Si definisce una ipotetica teoria quantistica “fondamentale”, tale da non
rendere necessaria la presenza dell’“osservatore esterno” per attribuire un
significato fisico alle grandezze utilizzate. A partire da questa teoria “microscopica”
si procede a costruire una teoria “macroscopica”, che
deve coincidere con la meccanica classica ed è ottenibile come “limite
termodinamico” della teoria microscopica fondamentale. Si mostra poi che data
una teoria microscopica ed il corrispondente limite termodinamico macroscopico, è sempre possibile definire una teoria “mesoscopica”, la quale descrive l’interazione fra un “oggetto
microscopico” e un “oggetto macroscopico”. Si mostra poi che: a) una teoria mesoscopica di questo tipo possiede una serie di
caratteristiche che sono tutte riscontrabili nella meccanica quantistica; b) se
si interpreta la meccanica quantistica come
formulazione mesoscopica di una sottostante teoria
microscopica fondamentale, allora da essa vengono eliminati gli elementi che
impediscono a priori di considerare la meccanica quantistica una teoria
logicamente chiusa; c) dopo aver reso possibile la “chiusura” della teoria, si
mostra che essa è realizzabile non appena si dimostri che gli elementi non
diagonali della matrice densità ridotta relativa ad un corpo macroscopico dissipativo si possono considerare sempre nulli, risultato
che probabilmente è ottenibile utilizzando l’effetto della “decoerenza”.
Infine si applica l’interpretazione mesoscopica della
meccanica quantistica al problema delle divergenze prodotte dai fenomeni di auto-interazione delle particelle, e si mostra che tali
divergenze, come pure la loro eliminazione per mezzo del processo di rinormalizzazione, sono del tutto compatibili con l’interpretazione
proposta.
Dunque, supponiamo che esista una meccanica quantistica “fondamentale”, MQF, che abbia i seguenti requisiti:
1) modellizzi la realtà fisica affermando che ogni oggetto fisico è costituito da “quanti”, oggetti elementari di cui esistono un numero finito di specie;
2) parametrizzi la “realtà” secondo un certo parametro t: il tempo (diciamo che sto costruendo una “MQF non-relativistica”, analoga alla MQ di Schroedinger, perché altrimenti anche il tempo andrebbe coinvolto in questa discussione);
3) associ a ogni quanto q delle “proprietà” a, cioè un insieme di grandezze delle quali si può dire in ogni momento che q *ha* delle proprietà a (così come si dice che un punto materiale in ogni istante ha una posizione, ha una velocità, ha una massa, ha una carica, eccetera.) il che poi equivale ad affermare che le grandezze a sono sempre definite e sono univocamente definite;
4) fornisca dei “principi di interazione”, il quali descrivono il modo in cui due quanti q e q’, aventi determinate proprietà a e a’, possano interagire fra di loro, e che l’esito di quella interazione sia una variazione di quelle proprietà (che pure restano tali, nel senso che sono univocamente definite sia prima che dopo l’interazione).
Bene, in queste condizioni noi non abbiamo bisogno di alcun “osservatore”. Non serve il famoso “dispositivo di misura macroscopico” per dare un significato fisico. La nostra MQF parla solo di quanti che possono interagire o non interagire fra di loro, e potrebbe essere applicata anche ad un universo fatto di soli due quanti, o al limite uno solo.
Per il momento noi non avanziamo altre ipotesi sulla MQF. Non sappiamo, ad esempio, se i principi di interazione siano deterministici o probabilistici, reversibili o irreversibili. Non sappiamo nemmeno quale modello mentale possa corrispondere a quelle “proprietà quantiche”. Sappiamo solo che per ogni quanto essere sono sempre definite, e definite in modo univoco.
Se ora noi affermiamo che l’insieme di quelle proprietà definisce lo “stato” del sistema, allora tale stato possiede tutti i requisiti che noi siamo abituati ad associare ad uno “stato”:
1) per ogni quanto, il suo stato è sempre definito in modo univoco;
2) lo stato di un quanto cambia solo in seguito ad una interazione, e cambia soltanto in relazione ai “principi di interazione”.
Abbiamo detto che noi non sappiamo nulla di questi principi di interazione. Tuttavia ciò che qui conta è che se ad esempio essi prevedono che lo stato vari con continuità, allora lo stato di tutti i quanti e di tutti i sistemi di quanti varierà sempre con continuità. Non si verificherà ad esempio che di fronte a dei principi di interazione che prevedono che lo stato vari con continuità si debba inserire una ipotesi ad hoc secondo la quale in certe particolari condizioni quello stato subisce delle variazioni discontinue che lo fanno “collassare”. Parimenti se i principi fondamentali dovessero implicare che lo stato di un quanto varia in modo discontinuo, cioè “collassa spontaneamente e continuamente”, avremo che tutti i quanti e tutti i sistemi di quanti evolvono nel tempo in quel modo. L’importante è che non si debbano introdurre “principi di interazione ad hoc”, cioè principi di interazione che risultino incompatibili con gli altri, e che vadano applicati solo in particolari circostanze, come se la natura cambiasse “principi” a seconda delle circostanze.
Insomma, una teoria veramente “fondamentale”: applicabile senza “osservatore esterno” e senza “principi ad hoc”.
Dicevamo che della MQF non sappiamo nulla. Tuttavia alcune delle sue caratteristiche le possiamo ricavare da altre cose che sappiamo.
Innanzi tutto se prendiamo un insieme costituito da un grande numero di quanti, ed applichiamo ad esso la “MQF statistica”, noi dobbiamo essere in grado di ottenere qualcosa di perfettamente equivalente alla MC (quanto meno nel caso di corpi macroscopici dissipativi, dai i quali dobbiamo escludere la radiazione, i superconduttori, i superfluidi, eccetera).
Quindi, a partire da un insieme di molti quanti q1, q2, … qN, aventi proprietà a1, a1, … aN, i quali costituiscono un “oggetto macroscopico dissipativo” OMD, noi dobbiamo:
1) ottenere un insieme A di grandezze “macroscopiche”, cioè grandezze ricavabili come “riassunti statistici” delle a1, a2, … aN (e come tali definite sempre e in modo univoco, il che le pone come *proprietà* di OMD)
2) dimostrare che il comportamento di queste grandezze è descritto da principi statistici tali che se si eliminano da essi le fluttuazioni e si prendo i valori medi si trova che le proprietà A del OMD hanno tutte un equivalente fra le proprietà “classiche”, quelle della MC, così come i “principi statistici medi” hanno un equivalente fra i principi della MC.
Non sappiamo come deve essere la nostra MQF, ma sappiamo che qualunque cosa essa sia deve necessariamente possedere questo “comportamento asintotico”.
Arrivati a questo punto noi abbiamo una teoria “microscopica”, che è la MQF, ed una teoria “macroscopica”, che è la MC ed è, per così dire, una “MQF statistica”.
Se vogliamo, la MC sta alla MQF come la termodinamica (TD) sta alla MC:
MQF ---(limite termodinamico)-- > MC
MC ---(limite termodinamico)-- > TD
micro ---(limite termodinamico)-- > macro
Insomma, a partire da certi principi e proprietà “microscopici” si possono ottenere principi e proprietà “macroscopici” che in linea di principio posso anche essere radicalmente diversi da quelli microscopici. Così ad esempio a partire dalla MC, che è reversibile, si ottiene una TD irreversibile. Inoltre molte proprietà definite a livello macroscopico non sono definite a livello microscopico (si pensi alla temperatura).
Supponiamo ora di avere un quanto q che interagisce con un sistema costituito da un numero enorme di quanti.
Noi non possiamo descrivere questo sistema in tutti i suoi dettagli, specificando per ogni quanto il suo stato. Possiamo tuttavia osservare che se esso è un OMD (basta che sia macroscopico e “dissipativo”, cioè che ci sia interazione fra le variabili macroscopiche e quelle microscopiche e ambientali: una richiesta molto “debole”) allora potremmo descriverlo usando la MC, che abbiamo appena trovato come “MFQ statistica”.
Vogliamo quindi descrivere il quanto come tale, con tutte le sue proprietà quantiche, ed il nostro OMD come oggetto macroscopico, definendo solo le sue proprietà macroscopiche.
Poi vogliamo sapere come interagisce un quanto descritto in modo quantistico con un oggetto macroscopico descritto in modo classico, e scrivere dei corrispondenti “principi di interazione”.
Che tipo di descrizione e di principi otterremo?
Possiamo osservare quanto segue:
1) il nostro sistema non è più descritto né da un punto di vista puramente “micrscopico” né da un punto di vista puramente “macroscopico”; potremmo dire che si tratta di un punto di vista “mesoscopico”;
2) le variabili “classiche” che associamo al corpo macroscopico non sono altro che “riassunti statistici” del suo stato microscopico; ne segue che i “principi di interazione mesoscopici” non potranno che essere principi *statistici* (a prescindere dal fatto che la MQF sia deterministica o probabilistica), perché noi descriveremo l’interazione di un quanto con altri quanti dei quali abbiamo solo informazioni statistiche.
Avremo quindi una “MQMeso”, una meccanica quantistica che descrive il mondo ad una scala che è una via di mezzo fra quella microscopica e quella macroscopica, e che non può che essere una teoria statistica.
Abbiamo detto poco fa che in un certo senso la MC sta alla MQF come la TD sta alla MC. Ebbene, in questo parallelo, troviamo qualche descrizione che sia una “via di mezzo”, un livello “mesoscopico” fra la TD e la MC?
Certo, basta considerare la descrizione del moto browniano. Lì una particella, descritta con le sue proprietà dinamiche (classiche), viene posta in un fluido costituito da un numero enorme di particelle. Poiché non possiamo specificare lo stato dinamico di tutte le particelle del fluido, noi descriviamo quest’ultimo da un punto di vista termodinamico (ad esempio indicandone la temperatura), poi ci ricordiamo che le variabili termodinamiche sono riassunti statistici delle variabili dinamiche associate alle particelle del fluido, ed a questo punto cerchiamo di ricavare dei “principi statistici” sul moto della nostra particella, analizzando la sua interazione con un insieme di particelle di cui conosciamo solo le distribuzioni statistiche. Insomma, non c’è nulla di strano nell’adottare un approccio “mesoscopico”, e ci sono pure degli esempi ricorrenti.
Adesso che abbiamo anche l’esempio proviamo a ricapitolare come è fatta questa MQMeso e cediamo se riconoscere qualcosa di “familiare”. Dunque:
1) è una teoria che descrive un quanto come tale che interagisce con un sistema macroscopico descritto dal punto di vista macroscopico, nel quadro della MC;
2) è una teoria che fornisce delle correlazioni statistiche, ovvero dei “principi probabilistici”.
Ci ricorda qualche cosa?
A me pare proprio che sia la nostra cara “MQ”, quella che da quasi un secolo stiamo cercando di trasformare, senza successo, in una teoria “fondamentale”, ritrovandoci sempre costretti ad aggiungere qualche ipotesi “ad hoc” per compensare quella “asimmetria”, il fatto che un oggetto sia descritto in termini “microscopici” ed un altro in termini “macroscopici”.
Se è così tutte le nostre difficoltà deriverebbero dal fatto di voler “spingere giù” a livello “microscopico” ciò che è, per sua stessa natura, “mesoscopico”.
Possiamo fare qualche esempio di questa irriducibilità del “mesoscopico” al “microscopico”?
Visto che abbiamo preso il moto browniano come esempio di riferimento, torniamo a pensare alla nostra particella immersa nel nostro fluido a temperatura T.
Dunque, essa è interamente immersa in quel fluido, appartiene interamente ad esso, è in continua interazione con esso, tutto attorno al punto in cui essa si trova c’è qualcosa di cui si può dire che *ha* la temperatura T. Non solo, ma tutte le distribuzioni statistiche delle proprietà dinamiche della particella (si pensi ad esempio alla distribuzione della velocità) dipendono da quella grandezza T dell’ambiente che la circonda. A chi non verrebbe spontaneo associare T a quella particella, dire che la particella *ha* una temperatura T, che T è una “proprietà” della particella?
Ci verrebbe spontaneo, ma sarebbe un grosso errore. Infatti una volta che noi affermiamo che una particella *ha* una certa proprietà, noi stiamo aggiungendo quella proprietà al suo “stato”, e dobbiamo ammettere che quella grandezza sia sempre definita in modo univoco per la particella. Così, se ad esempio la particella abbandona un fluido posto a temperatura T per poi raggiungere un fluido posto a temperatura T’, potremmo chiederci quale temperatura abbia la particella nell’intervallo di tempo in cui ha già lasciato il primo fluido e non ha ancora raggiunto il secondo. Diciamo che essa continua ad “avere” la temperatura T anche quando ha già lasciato il primo fluido, e che poi la “sua” temperatura cambia con discontinuità quando raggiunge il secondo fluido, diventando T’? Oppure quando lascia il primo fluido essa “ha” già una temperatura T’, anticipando il futuro? O invece vogliamo dire che durante il “tragitto” la particella “ha” sì una temperatura, ma essa è “indeterminata”, è una “sovrapposizione” delle temperature T e T’?
A me tutto ciò sembra una assurdità. La particella è descritta per mezzo delle sue proprietà dinamiche, e il fluido per mezzo delle sue proprietà termodinamiche. Sarà anche vero che la particella è tutta immersa in un fluido che termodinamicamente *ha* la temperatura T, ma allora diremo semplicemente questo, ovvero che è immersa in un fluido che ha temperatura T. Non andremo a dire che allora anche la particella *ha* temperatura T.
Ci siamo?
E adesso andiamo a vedere la nostra MQMeso, che poi abbiamo scoperto essere la “MQ” così come noi la conosciamo.
A noi piacerebbe che fra quelle proprietà “microscopiche”, quelle proprietà a del quanto che compaiono nella MQF, ci fosse anche la “posizione”.
Tuttavia da tutta una serie di esperimenti “mesoscopici” (tipo un quanto che passa attraverso due fenditure descritte classicamente e arriva ad un rivelatore descritto sempre classicamente) scopriamo che non è possibile assegnare *sempre* una posizione ad un quanto, tant’è che in alcune circostanze siamo costretti a supporre che il quanto si possa trovare in una “posizione indeterminata” o addirittura in una “sovrapposizione di posizioni”.
Ma tutto questo non va bene. Se la posizione è una proprietà del quanto essa deve essere sempre definita, e definita in modo univoco. Se non lo è essa non è né “indeterminata” né “sovrapposta”, ma è *in-definita*: non possiamo definire una posizione come proprietà del quanto. Punto e basta.
E allora -mi si chiederà- che dire del fatto che un quanto viene emesso da un corpo nel punto x0 al tempo t0 e poi viene assorbito da un altro corpo nel punto x al tempo t? Voi dire che quando il quanto viene assorbito nel punto x, in quell’istante t in cui sta interagendo con un insieme di quanti dei quali si può dire che si trovano nella posizione x, ecco, vuoi dire che in quell’istante esso non *ha* la posizione x?
La mia risposta è no. Per la stessa ragione per cui la nostra particella browniana, anche quando se ne stava tutta immersa in un fluido a temperatura T, anche quando tutte le distribuzioni statistiche delle sue proprietà (che erano poi “tutto quello che potevamo sapere” della particella, la nostra “informazione massima”) dipendevano espressamente da T, anche allora non dicevamo che una particella *ha* una temperatura!
Dunque, impariamo a parlare bene: un quanto viene emesso al tempo t0 da un corpo che *ha* posizione x0 e viene assorbito al tempo t da un corpo che *ha* posizione x.
Quanto poi a quell’“emesso” e quell’“assorbito”, essi hanno tutta l’ambiguità dei concetti “mesoscopici”, del modo in cui si descrivono le interazioni a livello mesoscopico.
Anche qui ci aiuta a capire il caso del moto browniano.
Che vuol dire che una particella è “immersa” in un fluido? Da un punto di vista microscopico vuol dire che sta interagendo con le particelle del fluido. Ma non è necessario che interagisca in ogni istante di tempo. Basta che il tempo medio fra una interazione e l’altra sia piccolo rispetto ai tempi necessari per una osservazione macroscopica, o che sia quantomeno comparabile con esso. E’ quel che accade, ad esempio, nei casi in cui si ipotizzi che la particella interagisca col il fludo solo per mezzo di “urti”. Ecco, in quel caso fra un urto e l’altro da un punto di vista microscopico la particella è “isolata” dal fluido, e non ha senso dire che è “immersa” in esso. Tuttavia da un punto di vista macroscopico si può ancora individuare un volume che contiene sia il fluido che la particella. Ne viene che quell’essere “immersa” è –come dicevo– la descrizione “mesoscopica” della interazione fra la particella ed il fluido.
Qualcosa di analogo si può dire per il nostro quanto che viene “emesso” ed “assorbito”. Un quanto che viene “emesso” da un corpo non è altro che un quanto che fino ad un certo istante di tempo interagiva frequentemente e/o intensamente con un insieme macroscopico di quanti, e che da quel momento in poi cessa quella interazione, o essa diviene trascurabile. Noi non sappiamo come descrivere lo stato e l’interazione dal punto di vista della MQF, sappiamo però che sarebbe sbagliato dire che il quanto è stato emesso perché si è “allontanato” dal primo corpo, perché staremmo attribuendo al quanto delle proprietà macroscopiche, che appartengono solo al sistema di quanti con i quali fino a poco prima interagiva.
Sarebbe come dire che una particella classica non è più immersa in un fluido a temperatura T perché la sua temperatura è cambiata, non è più T, ma è una “temperatura indeterminata”, o la “sovrapposizione di due temperature”. No, niente di tutto questo: la particella non è più immersa perché si è *allontanata* (questa volta sì!) dal fluido. Perché la “posizione” per la particella è definita, e perché per descrivere il concetto “mesoscopico” di allontanamento abbiamo bisogno di usare la descrizione “microscopica” della particella, descrizione microscopica che in questo caso è una descrizione cinematica!
Quindi per descrivere in modo non “mesoscopico” (e ambiguo) cosa accade ad un quanto che viene “emesso”, noi dovremmo poter fare una sua descrizione microscopica. Cosa che non possiamo fare, perché non sappiamo quali siano le proprietà microscopiche del quanto. Sappiamo solo che fino ad un certo istante t0 era in interazione con un insieme dei quanti che collettivamente occupavano la posizione x0. Una volta che quella interazione sia venuta meno, dire che il quanto si è “allontanato”, o dire che all’istante t0 *aveva* la posizione x0 ed ora non possiamo più dire quale sia la “sua” posizione, ecco, tutto ciò è privo di senso.
In quanto non ha mai avuto una posizione, né prima né durante né dopo l’“emissione”, per la stessa ragione per cui una particella immersa in un fluido *non* *ha* *mai* una temperatura, né quando è “immersa” in esso, né quando non lo è.
A questo punto, che abbiamo capito come stanno le cose, dobbiamo porci un problema di “coerenza interna” della nostra teoria.
Noi abbiamo detto che della MQF non sappiamo nulla tranne che deve avere la MC come, per così dire, “limite termodinamico”.
E qui la cosa parrebbe del tutto arbitraria. Supponiamo che sia così punto e basta.
Ma non è così, perché è vero che della MQF non sappiamo molto, tuttavia avendo supposto che la MQF abbia la MC come “limite termodinamico” noi abbiamo ricavato due conseguenze importanti:
1) la MQF ha una “versione mesoscopica”, la MQMeso
2) la MQMeso non può che essere equivalente a quella teoria che noi conosciamo come “MQ”
Dunque dalla nostra ipotesi “arbitraria” abbiamo ricavato delle implicazioni *fisiche*, ed ora dobbiamo andare a “verificare” queste implicazioni.
Come facciamo a verificarle?
Noi sappiamo che la “MQ” deve avere una “interpretazione”, perché è ancora lì in attesa di averne una. Tutte quelle tentate fino ad ora non l’hanno resa “logicamente chiusa”: quando si cerca di passare dalla “MQ” al “limite” della MC bisogna aggiungere dei principi “ad hoc”, come il “collasso”. Oppure bisogna ipotizzare che esistano “tutti i mondi possibili” o altre diavolerie del genere.
Ebbene, se, come abbiamo ricavato dalla nostra supposizione, la “MQ” non è altro che la MQMeso, allora da qui si deve:
1) ricavare una “interpretazione” della MQ
2) dimostrare che quella “interpretazione” rende la teoria “logicamente chiusa”, ovvero consente di ottenere la MC come limite senza dover ricorrere ad “ipotesi ad hoc”.
E qui è richiesto un ulteriore sforzo concettuale.
Noi abbiamo detto che la MQMeso è di fatto la “MQ” che noi conosciamo, e che possiamo *interpretare* la “MQ” in questo modo: come una teoria “mesoscopica”.
Ma d’altra parte quella che chiamiamo “MQ” ha già delle “interpretazioni”, come ad esempio l’interpretazione di Copenhagen, ed in queste “interpretazioni” ci sono quelle “ipotesi ad hoc” che noi stiamo cercando di eliminare.
Dov’è il problema?
Il problema è che quando ho detto che la MQMeso è la “MQ”, avrei dovuto dire che la MQMeso è una “MQ senza interpretazioni”. E’ tutta quella parte della MQ che “funziona”, che fa “tornare i conti”, a prescindere dalla “interpretazione” che ad essa si vuole dare.
Nello schema della MQMeso noi facciamo interagire un quanto con un oggetto macroscopico descritto per mezzo delle sue proprietà macroscopiche. E sappiamo anche che la MQMeso non può che essere una teoria probabilistica.
Quindi le uniche domande che hanno senso in MQMeso sono domande di questo genere:
<<Se un quanto viene “emesso” da un corpo che *ha* la posizione x0 al tempo t0, che probabilità c’è che al tempo t esso venga “assorbito” da un corpo che *ha* la posizione x al tempo t?>>
Ebbene, la “MQ” ci fornisce una risposta a questa domanda. Ci fornisce degli strumenti matematici per calcolare quella probabilità.
Non solo, ma in tutto ciò lo “stato” del quanto, quello “vero”, quello “microscopico,” non ha nulla a che vedere né con le proprietà dei corpi che lo emettono e lo assorbono, né –a rigore– con i concetti “mesoscopici” di “emissione” e “assorbimento”.
Noi cerchiamo di correlare statisticamente degli “eventi classici” (cioè fenomeni descritti in termini di variabili classiche, come la posizione) mediati da un quanto. E per farlo costruiamo tutta un’algebra a partire dagli eventi classici osservati e dagli eventi classici possibili. Introduciamo il concetto di insieme completo di eventi, lo trasformiamo in una “base” di un certo spazio vettoriale di eventi. Eccetera, eccetera.
Calcoli, tutti calcoli. Ed anche, se vogliamo una vera e propria teoria fisica. Ma una teoria *mesoscopica*. Nella quale lo “stato” del quanto non compare.
Non solo, ma il fatto che questa teoria sia necessariamente probabilistica ci dice che è del tutto normale che l’informazione che abbiamo un attimo prima di osservare un evento subisca un “collasso” al momento della osservazione. Questo avviene per la stessa ragione per cui quando lancio una moneta prima di osservarla la mia informazione è “50% testa e 50% croce”, e dopo l’osservazione essa diventa, istantaneamente, “100% testa”, per il semplice fatto che io guardo che cosa è accaduto.
E tutto ciò non ha nulla a che vedere con lo “stato” del quanto. Ricordiamo anzi che a rigore la MQF potrebbe anche essere deterministica, e in ogni caso la MQMeso non potrebbe che essere probabilistica. In quel caso lo “stato” del quanto evolverebbe in modo deterministico e magari continuo, mentre la nostra “informazione probabilistica mesoscopica” subirebbe dei “collassi” ad ogni successiva osservazione.
Una volta capito questo, ci si rende conto che se anche avessimo una MQF “intrinsecamente probabilistica” le cose cambierebbero poco: la MQMeso sarebbe sempre probabilistica, ma non perché derivata da una teoria “intrinsecamente probabilistica”, quanto piuttosto per il fatto di essere “mesoscopica”. E anche in quel caso il “collasso” della “informazione probabilistica mesoscopica” non avrebbe nulla a che vedere con i principi e gli stati della MQF.
Dunque dobbiamo fare una rettifica: la nostra MQMeso coincide con la MQ solo sul piano formale.
La nostra MQMeso, in quanto teoria mesoscopica,
si pone come unico obiettivo quello
di determinare delle correlazioni
statistiche fra eventi descritti macroscopicamente e mediati
da un quanto.
Quanto del quale sappiamo poco o nulla, sicché la MQMeso ci dice ben poco sullo “stato” del quanto quando viene “emesso” ed “assorbito”.
Lo ripeto: la MQMeso è una teoria che formalmente, matematicamente, è uguale alla “MQ”, solo che in essa ha senso parlare solo di correlazioni statistiche fra eventi descritti macroscopicamente e mediati da un quanto, e non ha senso invece parlare dello “stato del quanto”, né tanto meno del “collasso degli stati”.
A questo punto il problema della “consistenza” di questo mio modello concettuale si riduce alla seguente domanda:
Di una “MQ” fatta così, ovvero matematicamente uguale alla “MQ” ma “interpretata” come teoria “mesoscopica”, è possibile dimostrare che è “logicamente chiusa”, ovvero che è possibile ottenere la MC come “limite termodinamico” *senza* introdurre dei “principi ad hoc”?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo tornare a considerare che la MQMeso è probabilistica in senso “normale”: è probabilistica tout-court. Non è “intrinsecamente probabilistica” (al più lo sarà la MQF), ma è probabilistica come si deve: per “ignoranza”.
Dunque tutto ciò che dobbiamo fare è mostrare che quando si prendono degli OMD, degli oggetti macroscopici dissipativi (che sono quelli dei quali sappiamo essere “classici”) si ottengano delle correlazioni statistiche del tutto compatibili con quelle “classiche”.
E in cosa si differenziano le correlazioni statistiche della MQMeso dalle correlazioni statistiche che si ricaverebbero dalla MC se essa fosse una teoria “fondamentale”, in grado di descrivere lo stato dei quanti e le loro interazioni?
Si differenzia solo ed unicamente per la presenza delle “interferenze”, ovvero pr la presenza di elementi non diagonali nella “matrice densità”, che descrive l’“informazione statistica” (e non lo stato!) del sistema.
Quindi quando andiamo a prendere un oggetto macroscopico dissipativo, un OMD, dobbiamo dimostrare che gli elementi non diagonali di quella matrice scompaiono.
E qui ci sono da fare alcune considerazioni importanti.
Se andiamo a prendere il nostro OMD, dal punto di vista della MQF lo possiamo intendere come un insieme di quanti.
A questo punto dovremmo applicare a quell’insieme di quanti direttamente la MQF, la teoria microscopica, e tirare fuori la MC. In questo modo noi avremmo un bel passaggio “chiaro e pulito” da una teoria microscopica ad una macroscopica.
Tuttavia noi la MQF non la conosciamo del tutto, perché ne conosciamo solo la versione “mesoscopica”, la MQMeso, che è poi la “MQ” interpretata in modo opportuno.
Ora, se anziché ricavare la MC (la teoria macroscopica) direttamente dalla MQF (la teoria mesoscopica) noi vogliamo arrivare al livello macroscopico a partire da quello mesoscopico (perché più in giù di lì abbiamo ancora troppe incognite), allora dobbiamo renderci conto che per restare coerenti con noi stessi dobbiamo essere assai “sottili”.
Infatti la MQMeso, in quanto teoria mesoscopica, descrive sempre e comunque delle interazioni fra dei quanti ed un corpo descritto da un punto di vista macroscopico. Se vogliamo parlare dei quanti usando la MQMeso ci tocca sempre portarci dietro un “oggetto classico” da far interagire col quanto. Nel moto browniano è il “fluido a temperatura T”, o più in generale un qualunque “bagno termico”.
Possiamo pensare che questo oggetto classico che ci dobbiamo portare sempre dietro ci serve per “osservare classicamente” il quanto. E’ il famoso “osservatore classico”. Ecco, sia chiaro che in tutto ciò non c’è nulla di trascendentale: le cose vanno così perché anziché avere una teoria microscopica ne usiamo una mesoscopica.
Dunque, se ora vogliamo descrivere il nostro OMD come un insieme di quanti, e dimostrare che si comporta in modo “classico”, noi dobbiamo portarci sempre dietro un “oggetto classico”, o “osservatore classico”, OC, da far interagire con il nostro OMD, perché abbiamo voluto considerare quest’ultimo un insieme di quanti ed abbiamo voluto applicare ad esso la MQMeso.
Dunque le domande che di dovremo porre hanno il seguente tenore:
<<Qual è la probabilità che un OMD, inteso come insieme di quanti, interagendo con un OC, descritto in modo classico, induca in OC una certa correlazione di eventi descritti in modo classico>>?
Per rispondere a questa domanda (che è l’unica ad avere un senso nell’ambito della MQMeso = “MQ”) dobbiamo costruire la “matrice densità” del OMD rispetto alle “osservazioni” che si possono fare con OC.
Ebbene, a questo punto, come dicevamo, per poter “ritrovare” la MC dobbiamo semplicemente dimostrare che gli elementi non diagonali di quella matrice densità sono nulli, o si possono considerare tali.
Perché dico “si possono considerare”?
Perché ora è il momento di ricordare che nella nostra supposizione la MC avrebbe dovuto essere ottenuta come “limite termodinamico” della MQF, il modo analogo a quello in cui la TD (termodinamica) si ricava dalla MC.
Ora, noi abbiamo detto che la TD è una “MC statistica”. Sì, certo, ma già all’inizio avevamo detto che è una “MC statistica” in cui sono state soppresse le fluttuazioni, prendendo solo le medie temporali delle grandezze osservate. Questo perché le dinamiche microscopiche sono generalmente veloci rispetto a quelle macroscopiche, e per di più di solito sono presenti fenomeni dissipativi verso i gradi di libertà microscopici.
Se noi non effettuiamo questa “eliminazione delle fluttuazioni” non otteniamo la TD così come noi la conosciamo, ma otteniamo una “MC statistica” in cui c’è una probabilità molto bassa (ma c’è!) che un gas, dopo aver finito di espandersi uniformemente in un contenitore, torni spontaneamente a raccogliersi in un angolo di esso.
Allora quello che dovremo fare per ottenere la “matrice densità” che stiamo cercando sarà questo:
1) partire dalla matrice densità completa Rho di OMD, quella che si ottiene se lo si considera come insieme di quanti, da “osservare” con OC;
2) individuare delle “variabili collettive” da associare a quell’insieme di quanti;
3) ottenere una “matrice densità ridotta” R, partendo dalla Rho e sommando su tutte le “variabili ambientali”;
4) calcolare le medie temporali degli elementi di R, eliminando tutti quegli elementi che producono sempre un contributo nullo su osservazioni lunghe rispetto le dinamiche microscopiche e del sistema OMD, eliminando così le “fluttuazioni”
5) mostrare che questa “matrice ridotta senza fluttuazioni” *ha tutti gli elementi non diagonali nulli*.
A questo punto la nostra teoria risulterà “logicamente chiusa”, e non avremo dovuto introdurre nessuna ipotesi “ad hoc”.
Certo, non sarà facile dimostrare che il “programma” presentato nei cinque punti precedenti si possa realizzare “universalmente”. C’è ancora un sacco di lavoro da fare, ma è chiaro che in tutto ciò le ricerche sulla “decoerenza” sono incoraggianti.
Se ho atteso fino a questo punto per parlare di decoerenza è perché non voglio legare troppo la mia interpretazione a questo “effetto”.
Noi sappiamo ad esempio che se si vuole ricavare la TD dalla MC bisogna che il sistema perda in fretta la “memoria” delle condizioni iniziali. E per avere un totale “rilassamento” bisogna che le traiettorie del sistema microscopico nel suo spazio delle fasi siano tali che alle medie temporali delle variabili macroscopiche si possano sostituire le medie prese nello spazio delle fasi, sulle ipersuperfici isoenergetiche.
Ebbene, come sappiamo all’inizio tutto ciò fu semplicemente una “supposizione”, la cosiddetta “ipotesi ergodica”. Non si sapeva ancora nulla del caos, del teorema KAM, dei sistemi mixing, del teorema di Sinai, eccetera. Si era solo capito che le cose avrebbero dovuto essere risolte in un certo modo, ma come fare per ricavare l’“ipotesi ergodica” a partire dalla meccanica classica era del tutto oscuro.
Ora, io non so se basterà usare la “decoerenza” per portare a termine quel programma o bisognerà tirar fuori altri “effetti”, tuttavia la strada da percorrere appare già piuttosto chiara.
Diciamo che “si può fare”, e probabilmente si farà. Di sicuro al momento non si avverte alcun bisogno né di “tutti i mondi possibili” né di un “osservatore che guardando fa esistere la realtà”, né di altre astruserie del genere.
Se
si assume, come sto facendo, che le proprietà cinematiche siano solo proprietà
"emergenti" a livello macroscopico,
divengono forse anche più comprensibili certi "misteri" della *rinormalizzazione*.
Nel
seguito farò riferimento ad una sorta di "QED astratta", cioè una QED in cui si parla generalmente di "fermioni", "bosoni",
"massa", "carica", eccetera, senza però che si debba
necessariamente parlare di elettroni e fotoni. Così facendo si tiene aperta una
porta per una eventuale successiva generalizzazione
(anche se devo ammettere che al momento non mi è chiaro come si potrebbe generallizzare il tutto alla QCD).
Noi
sappiamo che il problema della rinormalizzazione è dovuto alle *divergenze* che si incontrano quando si
suppone che una particella bosonica possa essere
"emessa" ed "assorbita" da un'altra particella fermionica (o viceversa, nel qual caso si avrà una coppia
di fermioni), e si fa *tendere a zero* la distanza
dei due eventi.
Ciò
che si fa in questo caso è noto:
1)
si inseriscono nei calcoli due grandezze
"teoriche" note come "massa nuda" _n_ e "carica
nuda" _j_, grandezze che vengono associate a
delle particelle fermioniche "nude" (=
considerate senza tutti i processi di auto-interazione mediati da particelle bosoniche);
2)
si "tronca" l'integrazione ad una certa
distanza minima _d_ e si fanno tutti i conti "troncati";
3)
da questi conti si ricavano le ampiezze di
propagazione e di interazione delle particelle fermioniche
"vestite" (= cosiderate come particelle inizialmente
"nude" e successivamente "rivestite" da tutti i processi di
autointerazione), e tali ampiezze sono direttamente
collegate alla "massa vestita" _m_ ed alla "carica vestita"
_e_, che sono poi le grandezze *osservabili*;
4)
si ottiene allora una certa relazione fra le
grandezze "osservabili", _m_ ed _e_, e
quelle "teoriche", _n_ e _j_, relazione che
ovviamente dipenderà dalla distanza di troncamento _d_
Ho
già detto che se si fa tendere _d_ a zero si ottengono delle "divergenze".
Nella fattispecie queste divergenze appaiono nei valori di _n_ e _j_, che tendono a diventare infiniti quando _d_ tende a
zero.
Si
potrebbe pensare che esista la famosa "discretizzazione
dello spazio", ovvero che esista una distanza spaziale minima, ma questa ipotesi è poco convincente, per almeno due ragioni:
1)
innanzi tutto se si fa tendere _d_ a zero è vero
che _n_ e _j_ tendono all'infinito, ma è pur vero che tanto più _d_ è piccolo
quanto più si guadagna in precisione su tutte le grandezze
"osservabili"; sembra quasi che a mano a mano che _n_ e _j_ perdono
di significato fisico essi divengano sempre più "esatti" (e questo è
un bel mistero!)
2)
se si suppone davvero che lo spazio sia
"discreto" saltano fuori una montagna di problemi per normalizzare le
funzioni d'onda delle particelle;
3)
nessuno ha mai osservato alcuna fenomeno che
mostri una qualche "evidenza" di questa "discretizzazione
spaziale", e ogni volta che se ne parla si suppone che essa avvenga a
ordini di grandezza enormemente inferiori a quelli raggiungibili con le attuali
tecnonogie, il che ha tutta l'aria di una bella
ipotesi "ad hoc".
Quindi ci troviamo di fronte ad un grosso *dilemma*:
1)
se ipotizziamo che _d_ possa essere piccolo a
piacere guadagniamo in *precisione* e non abbiamo problemi con la
normalizzazione delle funzioni d'onda;
2)
*però*
a mano a mano che _d_ tende a zero le grandezze che compaiono nelle equazioni
"fondamentali", quelle non ancora "rinormalizzate",
tendono a divergere, perdendo *significato* fisico e facendo perdere
significato fisico a tutta la teoria.
Dovremmo
trovare un modo si salvare capra e cavoli: avere la massima *precisione* senza
perdere il *significato fisico* della teoria.
Ed
è qui che può venirci incontro l'ipotesi che quelle cinematiche siano proprietà
"emergenti" a livello macroscopico, e che
-di conseguenza- i processi di "emissiione" ed
"assorbimento" di una particella bosonica
siano descrizioni "mesoscopiche".
Per
capire meglio dove voglio andare a parare farò il solito esempio tratto dal
rapporto esistente fra MC e TD.
Dunque,
a rigore la temperatura può essere definita solo per un corpo macroscopico che si trovi all'equilibrio.
Se invece il corpo non si trova all'equilibrio e
vogliamo ancora poter fare della "termodinamica" (che in questo caso
sarà un "termodinamica irreversibile") occorre trovare un modo di
associare una certa temperatura _T(x)_ ad ogni punto _x_ del corpo in
questione, dove _T(x)_ dovrebbe essere qualcosa come "la temperatura nel punto
_x_".
Perché ho virgolettato "nel punto _x_"? Perché sappiamo che la temperatura è una
proprietà che "emerge" quando si passa al limite termodinamico, e affinché
essa risulti definita con una qualche precisione
bisogna associarla ad un corpo materiale costituito da un numero N molto grande
di particelle.
Ed è chiaro che in un *singolo* punto geometrico
sarà difficile trovare un numero N molto grande di particelle. Al massimo ne
troveremo una!
(Ricordo
che in questo momento stiamo discutendo il passaggio dalla MC alla TD, e quindi
non esiste nulla come la "degenerazione degli stati" che si incontra nelle statistiche bosoniche.)
Dunque
quello che dobbiamo fare è diverso: prendere una sfera _S(x,d)_
centrata in _x_ ed avente un raggio _d_ abbastanza grande da poter essere certi
che in quella sfera c'è un numero di particelle N abbastanza grande da poter
affermare che già cominciano ad "emergere" delle grandezze termodinamiche.
E qui si realizza una situazione interessante.
Affinché
la _T(x)_ abbia un significato fisico noi dobbiamo
prendere _d_ quanto più grande possibile: se _d_ tende a zero _T(x)_ perde di
significato fisico.
Allo
stesso tempo possiamo osservare che l'informazione contenuta in T(x) è tanto
meno "locale" quanto più grande è _d_. Al
limite se facciamo tendere _d_ all'infinito la funzione
T(x) sarebbe costante e pari alla "temperatura media" del corpo.
Vediamo
allora che anche qui ci si presenta un "dilemma": se facciamo tendere
_d_ a zero guadagniamo in *precisione* nel descrivere i dettagli "locali",
ma allo stesso tempo andiamo perdendo il *significato fisico* delle grandezze
che stiamo considerando.
Non
solo, ma c'è anche un altro aspetto di cui tener conto.
Se
noi volessimo descrivere le interazioni termodinamiche fra le varie parti del
nostro corpo macroscopico (flussi di calore,
produzione di entropia, eccetera) dovremmo pensare di suddividerlo in tanti
cubetti di lato _d_ e poi considerare ognuno di questi cubetti come un sistema
termodinamico a contatto con quelli contigui.
Anche qui si avrebbe lo stesso dilemma:
1)
se si fa tendere _d_ a zero si guadagna in
precisione nel descrivere i dettagli locali, ma si perde il significato fisico
delle grandezze utilizzate;
2)
se invece _d_ è grande, e teoricamente tende
all'infinito, allora la temperatura _T_ ha è meglio definita, ma si perde in
precisione sui dettagli locali.
Pertanto
anche in questa circostanza di ricava l'impressione
che volendo guadagnare indefinitamente in *precisione* sui dettagli locali si
debba rinunciare progressivamente al *significato fisico* delle grandezze utilizzate.
Alla
fine dovremo adottare un qualche "compromesso", perché è chiaro che
non possiamo utilizzare grandezze prive del tutto di significato fisico (come può
essere la "temperatura di un punto") né d'altra parte possiamo rinunciare
del tutto ad avere delle informazioni "locali", che sono quelle che
mi consentono di mettere in evidenza le trasformazioni
irreversibili cui va incontro il sistema.
E
tutto ciò è dovuto al fatto che la temperatura è una
proprietà *emergente*.
Se ora torniamo al problema della rinormalizzazione, possiamo rammentare che anche lì avevamo
un problema analogo: per migliorare la *precisione* nei dettagli microscopici
dovevamo via via perdere il *significato fisico*
delle grandezze utilizzate, fino a ritrovarci, nel caso limite, con delle grandezze
divergenti, che facevano perdere di significato fisico a tutto l'impianto
teorico.
Tutto
ciò appare assai meno strano quando si supponga che
rispetto ad una fisica quantistica macroscopica la posizione _x_ (questa volta
la posizione, non la temperatura!) possa essere considerata una "proprietà
emergente".
Prima
di andare avanti è meglio chiarire e ribadire ciò che
ho appena finito di sottolineare. Ricordiamo che abbiamo fatto il seguente
parallelo:
MQF
------> MC
MC
-----> TD
quindi dobbiamo avere ben presente che nel nostro
esempio termodinamico la posizione è una proprietà microscopica e la temperatura
è una proprietà macroscopica, mentre nel caso quantistico la posizione sarebbe
la "proprietà emergente" a livello "macroscopico", così:
MQF ------> MC
(?) (x)
MC ------> TD
(x,d) (T)
dove fra parentesi si sono indicate le proprietà
caratteristiche di un certo livello.
Abbiamo
già visto che non sappiamo molto delle proprietà associate alla MQF, tuttavia
ai nostri fini possiamo considerare il numero N di quanti fermionici
che costituiscono il sistema trattato.
Dunque:
così come, nel caso MC>TD, per poter avere una
_T_ "abbastanza" definita si doveva prendere una _d_
"abbastanza" grande,
allo stesso modo, nel caso MQF>MC, per avere una
_x_ "abbastanza" definita si dovrà prendere un numero N di quanti fermionici "abbastanza" grande.
A
questo punto dobbiamo supporre che ad un numero N grande di fermioni
non si possa associare un singolo punto spaziale x, ma un qualche volume
(sfera, cubo, o altro) centrato in x ed avente dimensioni d.
Questo
è un discorso complesso, che andrebbe affrontato in un altro contesto,
perché complica notevolmente tutta la faccenda. Dovremmo ipotizzare che ciò che
"emerge" dalla MQF non è direttamente un "insieme geometrico di
punti", ma una sorta di "topologia delle superfici chiuse", e questo
dovrebbe essere in qualche modo attribuibile alle proprietà di certi quanti, i
cosiddetti "fermioni". Poi dovremmo
mostrare che questa topologia può essere "immersa" in uno spazio
geometrico dotato di una qualche metrica, il che è come dire che ognuna di
quelle superfici chiuse può essere pensata come "contenente dei
punti" _x_, avente delle dimensioni _d_, eccetera.
Tutto
ciò può sembrare complicato, ma è abbastanza chiaro che qualuqnue
sia la nostra MQF si dove poter ricavare che un numero
molto grande di fermioni non possono trovarsi tutti
in un volume piccolo a piacere nello stesso istante di tempo t. Non è chiaro
come ciò accada, ma sappiamo che accade.
Ed ecco cosa otterremmo per il nostro
"parallelo":
MQF ------> MC
(N) (x,d)
MC ------> TD
(x,d) (T)
A
questo punto le cose cominciano o a chiarirsi: il fatto di considerare un
*singolo fermione* (N=1) che emette ed assorbe un bosone, sarebbe del tutto equivalente, a livello macroscopico, a dire che gli eventi possono svolgersi non in
dei volumi di dimensioni finite, ma in dei *singoli punti* (x qualunque, d=0)
E'
chiaro che in questo caso ci troveremmo in uno dei due estremi del "dilemma":
la *massima* "precisione" possibile col il
*minimo* "significato fisico".
Come
sarebbe realizzato questo "caso limite" all'interno della
"MQ", quando volessimo "interpretarla" come "teoria mesoscopica"?
Abbiamo
già detto che la MQ descrive l'interazione fra un
quanto q e un oggetto macroscopico, descritto con le sue proprietà
macroscopiche.
Se
considerassimo l'emissione ed il successivo assorbimento di un fotone (bosone) da parte di uno o più dispositivi macroscopici allora staremmo considerando la "MQ"
in condizioni "normali", quelle in cui si rinuncia ai dettagli
microscopici sul sistema classico per avere tutte grandezze che hanno uno
specifico significato fisico.
Qui
però ci siamo spinti ad un limite estremo: abbiamo usato la "MQ", che
è "mesoscopica", e quindi
"asimmetrica" (cioè descrive l'interazione
di un quanto come tale che interagisce con un corpo descritto per mezzo delle
sue proprietà macroscopiche-classiche), per
descrivere l'emissione e l'assorbimento di un bosone
da parte di un *singolo fermione*!
Il
nostro "corpo macroscopico" ora è costituito
da un *singolo fermione*, e per di più esso continua,
come è necessario fare in una teoria mesoscopica, ad
essere descritto per mezzo di proprietà macroscopiche. Non stiamo dicendo che
un corpo macroscopico che si trova in posizione x0 al
tempo t0 emette un bosone che poi viene assorbito da
un altro corpo macroscopico (o anche lo stesso corpo macroscopico) nel punto x
al tempo t. Stiamo dicendo che un <"corpo macroscopico" costituito
da un *singolo fermione*>, che *si trova* nella
posizione x0 al tempo t0, emette un bosone che viene
poi riassorbito dalla stesso <"corpo macroscopico" costituito da
un *singolo fermione*>.
E'
chiaro allora che qui abbiamo completamente sacrificato il "significato fisico"
alla "precisione".
Non
ci si stupisce quindi che si riesca a fare dei calcoli "esatti" e che
allo stesso tempo ci si ritrovi con una teoria che a questo punto comincia ad
essere completamente "assurda". E non solo perché c'è il solito problema
del "collasso" quando poi si vanno a rivelare queste particelle con
dei "veri" sistemi macroscopici, ma anche
perché a questo punto la stessa interazione fra le due particelle è descritta
in un modo che non ha alcun significato fisico, e produce quelle divergenze che
sappiamo.
Un
modo per salvare tutta la situazione, e continuare a fare uso della
"MQ" per descrivere l'interazione di un singolo quanto-bosone con un <"corpo macroscopico"
costituito da un *singolo fermione*>, sarebbe
quello di
considerare quel fermione come come un singolo
quanto abbastanza "grosso" da poter a tutti gli effetti essere
considerato un corpo macroscopico, se non ai fini delle
"interferenze" (che resteranno) quanto meno ai fini delle dimensioni
spaziali entro le quali si collocano i fenomeni.
Ad
esempio quando noi facciamo degli esercizi elementari di MQ, ci danno sempre da
calcolare la probabilità che il famoso camion passi dall'altra parte di una
parete per "effetto tunnel". Oppure ci danno da calcolare le relazioni
di "indeterminazione" nel caso di oggetti
ordinari. Ecco, in tutti questi casi noi trattiamo il camion e quegli oggetti
ordinari come un "singolo quanto" (che viene
osservato da un "oggetto classico", come possiamo essere noi stessi),
e poi facciamo i conti secondo la MQ.
Dunque
questo *singolo fermione*, per essere trattato come
un "grosso quanto", lo si deve prendere
quanto più possibile "vestito", il che esclude che si possano andare
ad analizzare i fenomeni ad di sotto di una certa scala spaziale.
O
meglio, lo possiamo fare, ma le grandezze che utilizziamo
perdono via via di significato fisico.
Questo
è quello che ci succede a voler utilizzare una "teoria mesoscopica"
come una "teria microscopica": possiamo
guadagnare in "precisione" solo a costo di perdere via via il "significato fisico" delle grandezze che
stiamo utilizzando.
E
la presenza di divergenze da eliminare "a mano", con
"troncamenti" e successive "rinormalizzazioni",
si inquadrano perfettamente all'interno di questa
prospettiva.