Решение алгебраические дроби

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры. Продолжаем изучение темы преобразование алгебраических дробей. В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице. Что значит сократить алгебраическую дробь? Изучая обыкновенные дроби. мы говорили про их сокращение. Сокращением обыкновенной дроби мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9. Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен.

в частности, одночлен или число. Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3. что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x. что приведет к выражению .

Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x. а также на любой из многочленов x+2·y. 3·x+6·y. x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y.

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби. Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению? Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби.

Решение алгебраические дроби - их

Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению. Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь.

При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно. В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение.

Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3. Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x. на y или сразу на x·y.

Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1.

но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей. Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби.

Эта информация будет раскрыта в следующем пункте. Правило сокращения алгебраических дробей Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей .

которое состоит из двух шагов: сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби; если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении. Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов.

находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет. Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются.

В результате получается новая дробь более простого вида. В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби. которое выражается равенством , где a. b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c. а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении. Характерные примеры Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например, и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби раскрадываются на простые множители. после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться свойством деления степеней с одинаковыми основаниями.

В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3. Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде . По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами. Что называют сокращением алгебраических дробей?

Любая ли дробь сократима? По какому правилу выполняется это действие? Разобрана теория и показаны решения примеров с подробными пояснениями.