Razões - Introdução

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

          (o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

        Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.
        A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

        A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

 

Termos de uma razão

Observe a razão:

                    (lê-se "a está para b" ou "a para b").

                Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo:

                3:5   = 

                Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .

        Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

        Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

        Exemplo:
            são razões inversas, pois .

        Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

    Observações:

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:

        Exemplos:
          são razões equivalentes.

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

        Exemplos:

        1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h₁= 1,20m e o segundo possui uma altura h₂= 1,50m. A razão entre as alturas h₁ e h₂ é dada por:

       

        2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m² e a de basquete possui uma área de 240m².

Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

        Exemplos:

        1) Consumo médio:

·         Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão?    Solução:

           Razão =

            Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

            Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

 

        2) Velocidade média:

·         Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão?
Solução:

           Razão =

            Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

            Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

 

        3) Densidade demográfica:

·         O estado do Ceará no íltimo censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km². Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão?
Solução:

           Razão =

            Razão = 46 hab/km² (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

            Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

 

        4) Densidade absoluta ou massa específica:

·         Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão?
Solução:

           Volume = 1cm . 1cm . 1cm  =  1cm³

           Razão =

            Razão = 7,8 g/cm³ (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Proporções - Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

        Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

       

        Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

       

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

        Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

• b e c os meios da proporção.
• a e d os extremos da proporção.

                   

        Exemplo:

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

	Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120
	Produto dos meios = 9.20 = 180 Produto dos extremos = 4.45 = 180
	Produto dos meios = 8.45 = 360 Produto dos extremos = 5.72 = 360

        De modo geral, temos que:

        Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

        Exemplos:

• Determine o valor de x na proporção:

           

            Solução:
            5 . x  =   8 . 15        (aplicando a propriedade fundamental)
            5 . x  =   120
           
            x   =  24

            Logo, o valor de x é 24.

 

• Determine o valor de x na proporção:

           

            Solução:
            5 . (x-3)  =   4 . (2x+1)        (aplicando a propriedade fundamental)
            5x - 15 =  8x + 4
            5x - 8x =  4 + 15
            -3x =  19
            3x =  -19
            x =  

            Logo, o valor de x é .

 

• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

          Solução:

                         (aplicando a propriedade fundamental)

            5 . x  =  8 . 35
            5x = 280
           
            x = 56

            Logo, o valor de x é 56.

 

        Resolução de problemas envolvendo proporções

        Exemplo:

• Numa salina, de cada metro cúbico (m³) de água salgada, são retirados 40 dm³ de sal. Para obtermos 2 m³ de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

            Solução:

            A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada.
            Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

           

            Lembre-se que 40dm³ = 0,04m³.

                        (aplicando a propriedade fundamental)

            1 . 2  =  0,04 . x
            0,04x = 2
           
            x = 50 m³

Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

        Exemplo:

• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

            Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

               (aplicando a propriedade fundamental)
            8 . x  =   12 . 6       
            8 . x  =   72
           
            x   =  9

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:

        Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:

        De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

       Terceira proporcional

            Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

            Exemplo:

            Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10.
            Solução

            Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:

                        (aplicando a propriedade fundamental)

            20 . x  =  10 . 10
            20x = 100
           
            x = 5

            Logo, a terceira proporcional é 5.

 

       Média geométrica ou média proporcional

            Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c.  Exemplo:

• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.
  Solução:

           

            5 . 20  =  b . b
            100 = b²
            b² = 100
            b =
            b = 10

Propriedades das proporções

1ª propriedade:

        Demonstração
        Considere as proporções:

       Exemplo:

• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
  Solução:

           

            Assim:

           

            x+y = 84   =>   x = 84-y   =>    x = 84-48   =>   x=36.

            Logo, x=36 e y=48.

 

        2ª propriedade:

        Demonstração
        Considere as proporções:

Exemplo:

• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
  Solução:

            Pela 2ª propriedade temos que:

           

            x-y = 18   =>   x=18+y   =>   x = 18+12    =>   x=30.
            Logo, x=30 e y=12.

 

        3ª propriedade:

        Demonstração
        Considere a proporção:
       

        Permutando os meios, temos:
       

        Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
       

        Permutando os meios, finalmente obtemos:

 

        4ª propriedade:

        Demonstração
        Considere a proporção:
       

        Permutando os meios, temos:
       

        Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
       

        Permutando os meios, finalmente obtemos:

       Exemplo:

• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção .
  Solução:

            Pela 4ª propriedade, temos que:

           

           

 

        5ª propriedade:

        Demonstração
        Considere a proporção:
       

        Multiplicando os dois membros por , temos:

           

        Assim:

           

Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

          é uma proporção múltipla.

        Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:

Grandezas - Introdução

        Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
        Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

        É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

        Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Grandezas diretamente proporcionais

       Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5 min  ---->  100Kg
10 min ---->  200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5 min  ---->  100Kg
15 min ---->  300Kg

Assim:

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

       Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 m/s  ---->  200s
10 m/s ---->  100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 m/s  ---->  200s
20 m/s ---->  50s

Assim:

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.