TEMA V
CURVA
NORMAL DE PROBABILIDADES
La Curva Normal de Probabilidades, en la práctica ,es el modelo de distribución más utilizado en
virtud a que multitud de eventos, sucesos o fenómenos se conducen según
una distribución normal. Esta distribución de caracteriza porque los valores se
distribuyen formando una campana,
en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución:
Características:
a) Es
generada por una variable de tipo continuo, denominada x; -¥< x
< ¥
b)
La función que nos define esta distribución es: -¥< x < ¥
Al colocar a la función los valores de m , s2 y x,
obtendremos la distribución que tiene forma de campana, motivo por el que se le
conoce como campana de Gauss. Existe un número infinito de funciones de
densidad normal, una para cada combinación de m y s. La media m mide la ubicación de la distribución y la
desviación estándar s mide su dispersión.
c) Es
simétrica con respecto a su eje vertical.
d) Es
asintótica con respecto al eje de las abscisas.
e) El área
total bajo la curva es 1.
f) Entre m ± s, del área bajo la curva normal, se ubican el 68.26%
de los datos. Entre m ± 2s, del área bajo la curva normal, se ubican el 95.44%
de los datos. Y entre m ± 3s, del área bajo la curva normal, se ubican el 99.74%
de los datos. Ver figura 1
Debido
a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada vez que se
necesite, lo usual es normalizar el valor de la variable x, es decir, x se
transforma en un valor de z, de la siguiente manera:
X -- µ
Z =
Una
vez calculado el valor de z este debe buscarse en una tabla donde se encuentran
las áreas relacionadas a este valor, y haciendo uso de los valores tabulados,
se determina la probabilidad requerida.
Ejemplo:
El
salario medio de los empleados de una Clínica se distribuye según una
distribución normal, con media de 750.000,00 Bs. con una desviación típica de
500.000,00 Bs. Calcular el porcentaje de
empleados con un sueldo inferior a 600.000.00 Bs.
Z = X -- µ/ = 600.000,00 – 750.000,00/ 500.000,00 =
--150.000,00/500.000,00 = --0,3; buscamos en la tabla de la curva normal este
valor de –0,3 y obtenemos que es igual a 0,1179, este valor debe
restársele a 0,50 por cuanto es negativo, obteniendo 0,3821 al llevarlo a
porcentaje obtenemos que el 38,21% de los empleados tienen un sueldo inferior a
600.000,00 Bs.
FIGURA 1
DISTRIBUCIÓN NORMAL
EJERCICIOS
1) El salario promedio de los
habitantes de un país es de 7 millones de Bs./año, con una varianza de
1,5. Suponiendo normalidad en la distribución. Calcular:
a) Porcentaje
de la población con un salario inferior a 5 millones de Bs.
b) Salario a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos.
c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población.
2) El promedio de vida de los habitantes de un determinado país es de 67 años, con una varianza de 16. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 8.000 habitantes:
a) ¿Cuántas
personas superarán los 73 años?
b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?
3) A un examen de ingreso a una universidad se han presentado 2.500 aspirantes. La calificación media ha sido un 5,5, con una varianza de 1,5.
a) Existen sólo
100 cupos. Usted ha obtenido un 7,7. ¿Se encontrará usted entre los
seleccionados?
b) Se le dará una nueva oportunidad para los se encuentran entre el 20% de notas más altas y que no hayan sido seleccionados. ¿A partir de que calificación se podrá participar en esta nueva oportunidad?