TEMA III:
MEDIDAS DE
POSICIÓN
Medidas de Tendencia Central: Una
vez obtenida la muestra, clasificados los datos de la serie estadística,
elaboradas las tablas y los respectivos gráficos de la distribución de
frecuencias, debemos obtener otros valores que nos permitan un mejor análisis
de la serie. Existen una serie de indicadores, más representativos, de las
características de la muestra que se analizan, que nos permiten conocer mejor
la población que representan. Estos índices son las llamadas Medidas de
Tendencia Central, las que nos facilitan la estimación de la forma cómo los
elementos de la muestra se agrupan hacia el centro de la misma, es decir, cuán
diseminados o cuán concentrados se encuentran los datos. Entre las medidas de
tendencia central tenemos:
La Media
Aritmética, El promedio aritmético o media aritmética, es el valor más
representativo en una serie de valores, es el punto de equilibrio. Se
representa mediante el símbolo y es el resultado de
dividir la sumatoria de los elementos entre el número de ellos, o sea:
= Media Aritmética
=
---------------- DONDE: Xi = Valores de la serie
n n =
Tamaño de la serie
Ejemplo: Calcular la media aritmética de los
siguientes valores: 8 – 9 – 12 – 3 – 5 - 6 – 7 – 10 – 14
8 + 9 + 12 + 3 + 5 + 6 + 7 + 10 + 14 74
=
----------------------------------------------------------; -------- = 8,22
9
9
En datos agrupados en clases, la media se
obtiene multiplicando los puntos medios por las frecuencias simples absolutas y
dividiéndola por el total de casos
fi
= Media Aritmética
= ------------ DONDE: Xifi = Puntos medios
o marcas de clase por la frecuencia simple absoluta
N n = Tamaño de la muestra
Nota: Cuando es
necesario determinar aquellas medidas de tendencia central que hagan uso de
todos los datos de la muestra se recomienda descartar todos aquellos datos
atípicos que se encuentren en la muestra o muestras tomadas.
La Mediana (Md): Es una medida de
orden. La Mediana es el valor medio de un conjunto de valores ordenados,
significa esto, que divide la serie ordenada de valores en dos partes iguales y
se denota por el símbolo: Md. Para calcular la mediana se
presentan dos casos:
1) Cuando el número de datos en la serie es impar. En
este caso después de ordenar la serie, en orden creciente o decreciente, del mayor
al menor valor o del menor al mayor valor, localizamos aquel valor que se encuentra en el centro de
los datos y este es la mediana. También se puede utilizar la formula: Md= n+1/2
Ejemplo: Calcular la mediana de los
siguientes datos:
3 – 5 – 8 – 9 –
8 – 4 – 9 – 6 – 8 – 1 – 2 – 5 – 5 – 4 – 6 – 4 – 6 – 8 – 3 1 – 8.
n = 21; Md = n+1/2 = 21+1/2 = 22/2 = 11, posición de la mediana
Ordenamos la
serie:
1 – 1 -- 2 – 3
– 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 –
6 – 6 – 6 – 8 – 8 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9. Md
= 5 por cuanto es el centro de la serie
2) Cuando el número de datos en la muestra es par. En
este caso después de ordenar la serie, en orden creciente o decreciente, como
al ordenarlos obtenemos dos valores en el centro, procedemos a promediar estos dos
valores y tomamos ese valor como la mediana. En el ejemplo anterior si
agregamos un valor a la serie tendríamos n = 22
Ordenados: 1
– 1 – 1 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 – 8 – 8 – 8 – 8
– 9 – 9 Md = n+1/ = 22+1/2 = 23/2 = 11,5
posición de la mediana o promedio de 5 + 6/ 2 = 11/ 2 = 5,5
Para calcular la Mediana en una
Distribución de Frecuencias con Intervalos, utilizaremos la siguiente fórmula:
Md = Li + {n/2
– Fa-1} ic DONDE: Li = Límite inferior real
de la clase medianal; n/2 = Posición de
la mediana (se ubica en la Fa-1);
Fa = Frecuencia acumulada a la
{ fi } clase medianal; fi = Frecuencia simple absoluta
de la clase medianal; ic = intervalo de
clase. Nota: la clase medianal es aquella donde se ubica n/2
La
Moda (Mo): La Moda es el valor que más se repite en una serie, el valor más
común. Ejemplo: Calcular la moda en la siguiente serie:
3 –
5 – 6 – 9 – 8 – 4 – 9 – 6 – 8 – 3 – 2 – 5 – 5 – 4 – 5 – 4 – 6 – 8
Ordenamos
la serie: 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5
– 5 – 5 – 6 – 6 – 6 – 8 – 8 – 8 – 9 – 9
en este caso la moda es el número 5 porque es el que más se repite, la
serie puede ser unimodal, bimodal o plurimodal, según tenga uno, dos o más
modos.
Para hallar la Moda en una
Distribución de Frecuencias con Intervalos, tomaremos la marca de clase (Xi)
del intervalo que contiene la mayor Frecuencia Absoluta simple. También podemos
utilizar la formula:
DONDE: Xmod es la moda; Li
es el límite inferior exacto de la clase modal; d1 es el promedio entre la frecuencia simple
absoluta de la clase modal y la frecuencia simple absoluta de la clase
anterior; d2 es el promedio entre la frecuencia simple
absoluto de la clase modal y la frecuencia simple absoluta de la clase
siguiente; A es el intervalo de clase de
la clase modal.
CENTILES
De acuerdo con Glass - Stanley
(1974), “…es un punto en una escala
numérica que se supone abarca una serie de observaciones dividiéndola en dos
grupos cuyas respectivas porciones se conocen.“
En los centiles encontramos los
Percentiles, los Deciles y los Cuartiles, definiremos a continuación cada uno
de ellos:
Los Percentiles dividen la serie de
elementos en cien partes, cada uno comprende un igual número de observaciones.
El P1 nos deja por debajo el
1% de los casos y sobre él se ubica el 99% restante, el misma forma se procede con el resto de los 98
percentiles.
Los Cuartiles dividen la serie de
elementos en cuatro partes. Q1 nos deja por debajo el 25% de los
casos y sobre él se ubica el 75% restante; Q2 nos deja por debajo y por encima el 50% de los
casos, es igual a la mediana y el Q3 nos deja por debajo el 75% de los casos y
sobre él se ubica el 25% restante.
Los Deciles dividen la serie de
elementos en diez partes. El D1 nos deja por debajo el 10% de los casos y
sobre él se ubica el 90% restante, D2
nos deja por debajo el 20%
de los casos y sobre él se ubica el 80% restante, y de esa forma los D3 ,
D4 hasta el D9
Normalmente se calculas los percentiles
en virtud a cada de los cuartiles y deciles corresponden a un determinado
percentil. Por ejemplo Q1 corresponde
al P25 , el D1 corresponde al P10 y así sucesivamente. La formula para el
cálculo de los Percentiles es la
siguiente:
Pp = Li
+ {pn/100 – Fa-1 }
ic DONDE: Pp es
el percentil p; Li es el límite inferior exacto de la
clase percentilar; pn/100 es la posición
del percentil (se ubica en la Fa); Fa-1
{
fi } es la frecuencia
acumulada absoluta anterior a la clase percentilar; ic es
el intercalo de clase y fi es
la frecuencia simple de la clase percentilar.
EJERCICIOS
1) Dada la siguiente serie de valores
correspondientes a las calificaciones obtenidas por 38 participantes del curso
de Bioestadística virtual:
90 – 66 – 96 – 84 – 95 – 83 – 94 – 82 –
97 – 97 – 59 – 95 – 78 – 70 – 47 – 95 – 100 – 69 – 44
80 – 75 – 75 – 51 – 99 – 89 – 58 – 59 –
72 – 74 – 75 – 81 – 71 – 68 – 91 – 62 – 91 – 93 – 84
Se pide:
a) Construir una distribución de
frecuencias con un intervalo de clase de 5
b) Construir el histograma y el
polígono de frecuencias
c) Calcular la media, la mediana, el
modo y los percentiles 50 y 75
d) Interpretar los resultados