Universidad Yacambú
Dirección de Estudios Virtuales
Contaduría Pública
VI Trimestre
Estadística Inferencial
Profesor: Sandi Quintero
Alumno: David T. Narváez A
T3
Nociones fundamentales de
Probabilidad
Introducción: Mucha de la información que
reciben las personas cada día puede interpretarse sólo con el lenguaje de la
Estadística y la Probabilidad. El uso
de los métodos de estas disciplinas se ha incorporado a casi la totalidad de
las áreas del conocimiento.
En
la vida cotidiana son más frecuentes las situaciones que dependen del azar
(eventos o sucesos aleatorios) que las que corresponden al acontecer previsible
con exactitud:
·
¿De qué humor estará el profesor hoy?
·
¿Quién ganará el campeonato?
Hechos
tan simples como los mencionados requieren ser interpretados con pensamiento probabilístico, el cual gira alrededor de las nociones de
azar e incertidumbre.
Del
análisis individual de estos hechos (cómo llegó el profesor el lunes, qué pasó
el año pasado con mi salud, etc.) nada se puede concluir, sin embargo, si se
toma un conjunto de esos datos en número y forma apropiada es posible prever
con "cierto grado de certeza" qué es lo que posiblemente acontezca en
el futuro que nos interesa. De esto justamente se ocupa la Estadística.
La
Estadística Descriptiva atiende a la organización e interpretación de datos
(muestra) obteniendo medidas que resumen características de los mismos. La
Estadística Inferencial utiliza estas medidas para hacer generalizaciones
(predicciones) respecto a la población en base a la información proporcionada
por la muestra (subconjunto de dicha población). Por ejemplo, decidir sobre la
base de ciertos datos si una vacuna o un tratamiento terapéutico es efectivo
para una determinada población de personas, requiere de los métodos de la
inferencia estadística.
1. Probabilidad y Experimento Aleatorio: la probabilidad es una
medida es una medida de la incertidumbre, es el número al que
tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de
veces que se realiza el experimento crece.
Jakob Bernoulli en
1713 definió las probabilidades como: "...una fracción en la que el
numerador es igual al número de apariciones del suceso y el denominador es
igual al número total de casos en los que es suceso pueda o no pueda ocurrir.
Tal fracción expresa la probabilidad de que ocurra el suceso".
Un
experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en
idénticas condiciones el cociente entre el número de veces que aparece un resultado
(suceso) y el número total de veces que se realiza el experimento tiende a un
número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números,
establecida por Jakob Bernouilli.
Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de
unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a
medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene estable.
El
enfoque clásico de la probabilidad está basado en la suposición de que todos
los resultados del experimento son igualmente posibles. La probabilidad se
calcula de la siguiente manera:
|
Probabilidad = |
número de posibles resultados del evento |
|
número total de resultados posibles del
experimento |
Ejemplo:
El experimento
es lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un dos hacia arriba
Las
caras el dado están numeradas del 1 al 6, entonces hay una posibilidad de un
total de seis de que el número 2 quede hacia arriba:
|
P(cae 2) = |
1 |
= 0.166 |
|
6 |
La
principal dificultad que presenta esta interpretación de la probabilidad es que
se basa en sucesos equiprobables, siendo fácil para
problemas sencillos, como los de cartas, dados o urnas, es casi imposible para
problemas más complejos.
Un fenómeno
o experimento aleatorio es aquel, que en las mismas condiciones iníciales
produce distintos resultados finales, que son conocidos por anticipado ero no
se puede predecir con certeza el resultado en cada experiencia en particular.
El experimento aleatorio se denomina con “S”.
Ejemplos
de experimento aleatorio son el lanzamiento de dados, el lanzamiento de una
moneda, etc.
2. Espacio Muestral
y Eventos: es el conjunto de todos los posibles resultados del
experimento y se representa con “E” o “Ω”.
El espacio
muestral, de acuerdo con el número de resultados
posibles, puede ser: finito, infinito numerable, infinito no numerable.
Eventos:
denominamos evento solamente a aquel conjunto que contiene los puntos
muéstrales que consideramos de nuestro interés, obtenidos de un experimento
aleatorio.
3. Probabilidad de ocurrencia de un
evento: según el enfoque subjetivo la probabilidad de ocurrencia de
un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento
ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se
puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de
ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola
vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.
4. Definición axiomática de Probabilidad: La
definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov,
quien consideró la relación entre la frecuencia relativa de un suceso y su
probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy
grande.
5. Teoremas básicos de Probabilidad: El teorema de Bayes, enunciado
por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es
el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable
aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional
de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
El
teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones
de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el
tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística
tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y
que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema
puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras
probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un
experimento. La estadística bayesiana está demostrando
su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a
priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo
que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
La
Teoría de la Probabilidad estudia los métodos de análisis comunes en el
tratamiento de fenómenos aleatorios, cualquiera que sea el área en que estos se
presenten.
Actualmente,
cada vez se utiliza más la Teoría de la Probabilidad en una amplia variedad de
campos: genética, control de calidad de un producto, estudio del tráfico
telefónico, transmisión de señales en canales con ruido, etc.
6. Probabilidad en espacios muéstrales
finitos: Llamaremos
espacios muestrales finitos
a los espacios muestrales que provengan
de experimentos para los cuales
sólo existe un número finito de resultados posibles, así Ω = { w1, w2, ... ,
wn }
En un
experimento aleatorio con un espacio
muestral
finito, una distribución de probabilidad
se especifica asignando una probabilidad pi a
cada resultado wi ∈ Ω, pi = P ( { wi } ) . Debe
cumplirse:
a ) pi ≥ 0
b ) P ( Ω ) =
1 ──→ ∑ pi = 1
En estas condiciones, si A = { wi1, wi2, ... , wir }, se tiene
P(A) = ∑ pij
Un espacio
muestral finito se dice que es Equiprobable
si cada uno de sus elementos tiene la misma probabilidad de ocurrencia
7. Métodos de
Conteo. Regla de multiplicación: El análisis de los problemas de probabilidad se
facilita a través de métodos sistemáticos de conteo de los grupos y arreglos de
los datos. Si un experimento puede describirse como una secuencia de k pasos y
en cada paso hay n1 resultados en el primer paso, n2 resultados en el segundo
paso, n3 resultados en el tercer paso, y así sucesivamente, entonces el número
de eventos que pueden ocurrir será,
(n1) • (n2) • (n3) • (n4) • • • • • • (nk)
La regla multiplicativa se puede
generalizar de la siguiente manera: Si un experimento compuesto de k
experimentos simples, cada uno de los cuales se puede efectuar de maneras
distintas, entonces el experimento compuesto se puede efectuar de maneras
distintas.
8. Permutaciones: Permutación
( P ). Cada arreglo de datos donde el orden es
importante y que puede realizarse tomando algunos datos o todos los datos
contenidos en el grupo.
n = #
de datos r = grupo tomado de n ( r < n )
( n = r )
n Pn = n !
Ejemplo.
Se tienen 6 máquinas de escribir y 6 personas para operar las máquinas, ¿de
cuántas maneras se pueden asignar las personas a las máquinas?
Solución:
6 P6 = 6 ! = 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 =
720
¿De cuántas maneras se pueden ordenar las
letras A, B, C tomándolas todas a la vez?
Solución:
3 P3 = 3 • 2 • 1 = 6 [ ABC, BCA, CAB, BAC, CBA, ACB ]
8.
Combinaciones: Número de formas diferentes que se pueden seleccionar n objetos de un
total de N objetos distintos sin importar el orden (juego de póker, ej.).
Formula:
NCn = N ! / n ! ( N – n ) !
Ejemplo.
Se dispone
de 8 personas, 5 hombres y 3 mujeres, para formar un comité de 5 personas. ¿De cuántas maneras se puede formar el
comité si debe incluir 3 hombres y 2 mujeres?
NCn = 8C 5 = [5C3 ]
[ 3C2 ] =[ 5! / 3! ( 5-3)! ] [ 3! / 2! (3-2)!
NCn = 8C 5 = [ 10 ]
[ 3 ] = 30
9. Muestreo y Muestras: En
estadística un muestreo es la técnica para la selección de una muestra a partir
de una población. Al elegir una muestra, se espera que sus propiedades sean extrapolables a la población. Este proceso permite ahorrar
recursos, obteniendo resultados parecidos que si se realizase un estudio de
toda la población.
Cabe
mencionar que para que el muestreo sea válido y se pueda realizar un estudio
fiable (que represente a la población), debe cumplir ciertos requisitos, lo que
lo convertiría en una muestra representativa.
En el
muestreo, si el tamaño de la muestra es más pequeño que el tamaño de la
población, se puede extraer dos o más muestras de la misma población. Al
conjunto de muestras que se pueden obtener de la población se denomina espacio muestral. La variable que asocia a cada muestra su
probabilidad de extracción, sigue la llamada distribución muestral.
10. Sucesos Dependientes e Independientes:
El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en
algunas ocasiones, la probabilidad del suceso B, pero en otras no. Los sucesos
en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica la probabilidad del
otro, decimos que son independientes y, si se modifica, decimos que son
dependientes entre sí.
Decimos
que dos sucesos A y B son independientes
entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del
otro, es decir, si P( B/A ) = P( B ) ó
P( A/B ) = P( A )
Decimos
que dos sucesos A y B son dependientes
entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la probabilidad del otro, es
decir, si P( B/A )
P( B ) ó P( A/B ) P( A )
Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:
·
Dos sucesos A y B son independientes si se
cumple:
P( A B ) = P( A ) · P( B )
·
Tres sucesos A, B y C son independientes
si se cumplen a la vez:
P( A B ) = P(
A ) · P( B )
P( A C ) = P(
A ) · P( C )
P( B C ) = P(
B ) · P( C )
P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )
11.
Probabilidad Condicional: Llamamos probabilidad condicionada del suceso B respecto
del suceso A, y lo denotamos por P ( B｜A) al cociente
P ( B | A ) = 2/6= 1/3
Ejemplo
Se lanzan dos dados. Si la
suma ha sido 7, ¿cuál
es la probabilidad de que alguno de los dados haya salido un tres?
Sean los
sucesos
A = "la suma de los
puntos es siete" y
B = "en alguno de
los dados ha salido un tres"
El suceso B｜A es salir en algún dado 3, si la suma ha
sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (
3, 4 ) y ( 4, 3 ). Por tanto,
P ( B
| A ) = 2/6= 1/3
12. Sucesos Mutuamente Excluyente: Si dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente, se llaman
eventos mutuamente excluyentes, es decir, que la intersección de ambos eventos
es vacía.
13. Distribución de Probabilidad: Una
distribución de probabilidad la podemos concebir como una distribución teórica
de frecuencia, es decir, es una distribución que describe como se espera que
varíen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las
expectativas son modelos de gran utilidad para hacer inferencias y tomar
decisiones en condiciones de incertidumbre.
14. Distribución Normal. Tabla de
Distribución: La distribución normal, también llamada distribución de Gauss
o distribución gaussiana, es la distribución de probabilidad que con más
frecuencia aparece en estadística y teoría de probabilidades. Esto se debe a
dos razones fundamentalmente:
·
Su función de
densidad es simétrica y con forma de campana, lo que favorece su aplicación
como modelo a gran número de variables estadísticas.
·
Es, además, límite
de otras distribuciones y aparece relacionada con multitud de resultados
ligados a la teoría de las probabilidades gracias a sus propiedades
matemáticas.
La importancia de la distribución normal se debe
principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que
siguen el modelo de la normal:
·
Caracteres morfológicos de
individuos
·
Caracteres fisiológicos como
el efecto de un fármaco
·
Caracteres sociológicos como
el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos
·
Caracteres psicológicos como
el cociente intelectual
·
Errores cometidos al medir
ciertas magnitudes
·
Valores estadísticos muestrales como la media.
La tabla distribución normal
tipificada, presenta las soluciones a esta integral para distintos valores
de x, hay varios modelos de tablas de este tipo, así como algoritmos
para su cálculo por ordenador.
15. Distribución Binomial:
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes
características:
·
En cada prueba del experimento sólo son
posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario A (fracaso).
·
El resultado obtenido en cada prueba es
independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
·
La probabilidad del suceso A es
constante, la representamos por p, y no
varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1-
p y la representamos por q.
·
El experimento consta de un número n de
pruebas.
Todo experimento
que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable
X que expresa el número de éxitos
obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede
tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n
pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de
obtener k-éxitos y
(n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número
combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo
n y p los
parámetros de dicha distribución.
Ejemplo
1
Una máquina
fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas
defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una
defectuosa.
Solución:
Se trata de
una distribución binomial de parámetros B (50, 0'007)
y debemos calcular la probabilidad p(X=1).
P (x=1) = (50/1) 0,007¹. 0,993 = 0.248
16.
Distribución Poisson: En teoría de probabilidad y estadística, la
distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa
la probabilidad de un número de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos
eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo
desde el último evento.
La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840)
que publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des
jugements en matières criminelles et matière civile ("Investigación sobre la probabilidad de los
juicios en materias criminales y civiles"). El trabajo estaba enfocado en
ciertas variables aleatorias N que cuentan, entre otras cosas, un número de
ocurrencias discretas (muchas veces llamadas "arribos") que tienen
lugar durante un intervalo de tiempo de duración determinada. Si el número
esperado de ocurrencias en este intervalo es λ, entonces la probabilidad
de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un entero no negativo, k = 0,
1, 2, ...) es igual a:
Dónde
·
e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),
·
k! es el factorial de k,
·
k es el número de ocurrencias de un evento,
·
λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de
ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de
media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo
en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de
Poisson con λ = 2.5.
La distribución Poisson
tiene conexión con los procesos de Poisson. Se aplica a varios fenómenos
discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en una
área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es
constante en el tiempo o el espacio
EJERCICIOS:
Hay que colocar a 5
hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares
pares. ¿De cuantas maneras puede hacerse?
Solución:
Ya que la fila es de 9 individuos en total,
hay 4 posiciones pares (que deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5
posiciones impares (para los 5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de P4*
P5 = 4! * 5! = 2880 maneras.
En un grupo de 10
amigos, ¿cuantas distribuciones de sus fechas de cumpleaños pueden darse al
año?
Solución:
Considerando que el año tiene 365 días y que
puede darse el caso de que varias personas cumplan en la misma fecha, el numero
de maneras distintas es V R365;10 = 36510
Bibliografías y Referencias Utilizadas:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/3.html
http://ciberconta.unizar.es/LECCION/probabil/INICIO.HTML
http://masmatematicas.com/estadisticas/dfrec.html
http://masmatematicas.com/estadisticas/dfrec.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADstica
http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Probabilidad%20condicional.htm
http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/45/probabeco.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson
http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t19_distribucion_binomial.htm