Es común observar todos los años cómo los estudiantes egresados de nuestras instituciones educativas se sobresaltan cuando en su deseo de ingresar a las universidades se anotan para las pruebas de conocimientos generales, ya que estas incluyen una gran cantidad de contenidos que no dominan y que en el peor de los casos ni siquiera los reconocen como aprendidos.

Es sabido por los entendidos que nuestro sistema educativo está lleno de vacíos y lagunas; y que estas inciden en el producto que año tras año egresa de él. Quizás esta sea la motivación principal para desarrollo de esta unidad. En ella se pretende dar elementos importantes para el aprendizaje de los contenidos tratados. Así como la introducción de elementos nuevos; que están encaminados a que nuestros participantes manejen y les faciliten su comprensión.

Este módulo está organizado en cinco (5) unidades de aprendizaje, en él aparecen definiciones, investigaciones, prácticas, diagramas, pruebas de conocimientos adquiridos, cuadros, ilustraciones, datos interesantes; que les servirán de guía para la mejor comprensión de los temas que componen cada unidad.

Confiamos que el mismo sirva al propósito con que se ha confeccionado, y que se cumplan los objetivos planteados en su desarrollo.

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 1

1. Conceptos Geométricos Básicos

1.1. Lugar Geométrico

1.2. El Punto

1.3. La Recta

1.4. El Plano Geométrico

2. Conceptos Fundamentales 

2.1. Segmentos

2.1.1. Medición de Segmentos

2.2. Rayo

2.3. Semirrecta

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 2

1. Definición de Ángulo

1.1. Elementos del ángulo

1.2. Medición de ángulos

1.2.1. Sistema de Unidades para medir ángulos

2. Clasificación de Ángulos

2.1. De acuerdo a su amplitud

2.2. De acuerdo a su posición

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 3

1. El Triángulo

1.1. Definición

1.2. Elementos (lados, ángulo, vértice)

1.3. Segmentos notables

1.3.1. Mediana

1.3.2. Altura

1.3.3. Bisectriz

1.4. Clasificación de Triángulos

1.4.1. Por sus lados

1.4.2. Por sus ángulos

 

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 4

1. Teorema de Pitágoras

1.1. Enunciado

1.2. Resolución de triángulos rectángulos

1.2.1. Dados sus catetos, hallar la hipotenusa

1.2.2. Dada la hipotenusa, hallar los catetos

1.3. Resolución de problemas donde se aplique un triángulo rectángulo

1.4. Teorema de ángulos interiores.

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 5 

1. Relaciones Trigonométricas

1.1. Concepto de Razón Geométrica

1.2. Simplificación de razones

2. Razones Trigonométricas

2.1. Concepto

2.2. Deducción de las razones trigonométricas de un ángulo agudo

2.3. Despeje de razones trigonométricas

 

Introducción

Las funciones trigonométricas tienen un especial tratamiento en muchas ramas del conocimiento, a través de ellas se pueden resolver una gran variedad de problemas en diversos campos.

Ellas nos permiten establecer las relaciones entre los lados y ángulos de todo triángulo o figuras donde estén presentes más de dos lados.

En el se pretende introducir al estudiante a la solución de problemas utilizando modelos a escala.

Estas funciones son aplicables a problemas de desplazamiento, fuerza, fricción o rozamiento, etc.

Esta serie de definiciones está dirigida a los estudiantes que cursan los quintos años del curso de matemática de las modalidades Bachiller en Ciencias, Bachiller Agropecuario, Bachillerato Industrial y Perito de los colegios e institutos de la República de Panamá.

En el desarrollo del mismo los estudiantes encontraran todas las razones geométricas posible en un triángulo rectángulo (no repetidas) y la comparará con las definiciones de las funciones trigonométricas, a fin de reconocerlas y aprenderlas de tal forma que puedan establecer sus relaciones a cada ángulo.

Él comprende el reconocimiento de los elementos del triángulo rectángulo, simplificación de razones hasta su forma irreducible; cociente de las fracciones comunes y el análisis de las razones encontradas para poder establecer su similitud con la de los otros ángulos para formalizar nuestra definición de funciones trigonométricas.

El presente apartado contiene elementos fundamentales para el desarrollo del módulo, aparecen definiciones, prácticas, investigaciones, así como elementos que apoyan los temas tratados. Sin embargo, el estudiante debe comprender que toda la información no puede aparecer en el mismo, por ello, él debe profundizar en las definiciones y otros elementos que le sean necesarios para su mejor comprensión y aprendizaje.

• Calcular las funciones trigonométricas de un ángulo dado en grados o en radianes.
• Simplificar expresiones trigonométricas usando identidades y resolver ecuaciones trigonométricas.
• Aplicar el Teorema de Pitágoras en la solución de problemas.
• Plantear y resolver problemas que involucren la resolución de triángulos.
• Determinar los elementos de un triangulo rectángulo
• Enunciar las ocho identidades trigonométricas fundamentales

• Determinar los elementos de un triangulo rectángulo
• Plantear y resolver problemas que involucran triángulos rectángulos.
• Encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas
• Enunciar las ocho identidades trigonométricas fundamentales utilizando las definiciones de las funciones trigonométricas en términos de "x", "y" y "r"
• Verificar identidades trigonométricas empleando las ocho

Nombre del Módulo Conceptos Básicos de Geometría,  Razones Trigonométricas y su Aplicación

Nivel Vtos. Años Área Trigonometría

No. De puntos 100

Requisitos previos En este módulo los requisitos previos se abordan como parte inicial de los contenidos.

a. Presencial 18

b. Tutoriales 12

c. Autoaprendizaje 6

 

Manejar los conceptos básicos de geometría

Aplicar el teorema de Pitágoras en resolución de problemas.

Utilizar las funciones trigonométricas.

Este módulo se aprueba con nota final mínima de 60%

Marco Histórico de la Geometría

La geometría es una ciencia muy antigua y su origen se debe a la necesidad de medir del hombre. Los primeros conocimientos geométricos que tuvo el hombre consistían en un conjunto de reglas prácticas. Para que la geometría fuera considerada como ciencia tuvieron que pasar muchos siglos, es en Grecia donde se ordenan los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre a través del tiempo y al reemplazar la observación y la experiencia por deducciones racionales, se eleva la geometría al plano rigurosamente científico.

Los babilonios fueron, hace cerca de seis mil años, los inventores de la rueda. Tal ves ahí provino su afán por descubrir las propiedades de la circunferencia y esto los condujo a que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro era igual a 3. Los babilonios lo hallaron considerando que la longitud de la circunferencia era un valor intermedio entre los perímetros de los cuadrados inscritos y circunscritos a una circunferencia.

La geometría de los egipcios era eminentemente empírica, ya que no se basaba en un sistema lógico deducido a partir de axiomas y postulados. La aplicación de los conocimientos geométricos a la medida de la tierra fue la causa de que se diera a esta parte de la matemática el nombre de geometría que significa medida de tierra. Pero la necesidad de medir las tierras no fue el único motivo que tuvieron los egipcios para estudiar las matemáticas, pues sus sacerdotes cultivaron la geometría aplicándola a la construcción de los mausoleos.

Fue el pueblo griego el que tuvo la gloria de dar a la geometría un carácter netamente científico, reuniendo todos los conocimientos diseminados y adquiridos en forma empírica a través de los siglos, induciendo las leyes, demostrando razonadamente y en forma general las propiedades ya conocidas y deduciendo otras nuevas.

Cabe destacar que los matemáticos griegos utilizaron sólo dos instrumentos geométricos la regla y el compás. Y con esos dos únicos instrumentos trataron de resolver todas las construcciones.

Entre los primeros geómetra griegos, se destaca, como figura prominente, Thales de Mileto. Fue uno de los siete sabios de Grecia. Hizo varios viajes a Egipto durante la primera mitad de su vida y recibió de los sacerdotes egipcios todos los conocimientos matemáticos que después enseñaba en Mileto. Descubrió numerosas propiedades de ángulo, triángulos y segmentos proporcionales.

Los griegos, grandes pensadores, no se contentaron con saber reglas y resolver problemas particulares; no se sintieron satisfecho hasta obtener explicaciones racionales de las cuestiones en general y, especialmente, de las geométricas. Es en Grecia donde comienza la Geometría como ciencia deductiva o del pensamiento.

Uno de los matemáticos más notables que apareció después fue Pitágoras, nacido en Samos. En un teorema que lleva su nombre, demostró una relación fundamental que vincula los lados de un triángulo rectángulo.

Otro geómetra notable fue Euclides, cuyo nombre pasó a la historia simbolizado la Geometría clásica, que es la que nosotros estudiamos y que se llama por esta razón Geometría Euclidiana.

Los datos sobre el origen de Euclides son muy seguros; según los informes más aceptables, nació unos 350 años antes de J.C.; fue alumno en la escuela de Platón y después fundo la Alejandría, una Escuela de Geometría. Reunió y ordenó con criterio didáctico todos los conocimiento de Geometría, estudiados hasta entonces, en un libro de titulo Elementos. Es un verdadero tratado, un curso completo de Geometría, que circuló por todo el mundo con el nombre de los Elementos de Euclides.

Es Euclides el máximo exponente de la geometría griega, ya que con su obra Elementos construye el edificio de lo que es la Geometría que llega a nuestros días, Euclides construye la geometría partiendo de definiciones, postulados y axiomas con los cuales demuestra teoremas que a su vez, le sirven para demostrar otros teoremas.

La Geometría No Euclidiana. Los Elementos de Euclides fue considerado como una obra en la que se sigue el Método Axiomático, ya que partiendo de proposiciones previamente establecida: definiciones, axiomas y postulados, se deduce toda la Geometría en una forma lógica. Posteriormente se ha visto que tiene varias fallas lógicas, es decir no se cumplen en el texto todas las exigencia que imponen las lógicas. Sin embargo, todos los defectos son considerados como insignificantes.

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 1

1. Conceptos Geométricos Básicos

1.1 LUGAR GEOMÉTRICO: es un punto o conjunto de puntos (Plano Geométrico, Recta, semirrecta, segmento de recta, rayo, cuerda, etc.) que tiene propiedades.

Los puntos, rectas y planos son conceptos geométricos que no tienen una definición formal, es decir, la idea que tenemos de ellos están sugeridos por objetos reales.

1.2 EL PUNTO: (lugar geométrico que no tiene dimensión, solo posición) en geometría la idea de punto está sugerida por:

® La señal que deja sobre el papel la punta bien afilada de un lápiz.

® El hueco o marca que produce la punta de un alfiler sobre un objeto cualquiera.

® La marca que se hace en el tablero con la tiza.

® O un granito muy pequeño de arena.

Todas estas ideas nos sugieren la idea de punto geométrico. El punto es una idea abstracta. Es imposible dar una definición real y formal de un punto, de modo que en nuestro estudio de geometría, el punto es uno de los conceptos no definidos.

Para designar (nombrar), los puntos se emplean letras mayúsculas, o por un circulo o una cruz sobre un trazo.

                . A          x  B; representan al punta A y el punto B

1.3 LA RECTA

Al igual que representamos a un punto, al hacer una marca, también mediante la consideración de objetos concretos podemos llegar al concepto de recta. Nos dan idea de recta geométrica:

® Un rayo luminoso.

® El hilo tenso de una plomada.

® Al dibujar sobre el papel un trazo con lápiz, teniendo como guía el borde de una regla.

® El borde de la hoja de un libro.

® El doblez en una hoja.

Establecidos los objetos que nos sugieren el concepto de línea podemos decir que la recta es un conjunto infinito de puntos, que se prolonga (extiende) sin limites en direcciones opuestas y no termina en ningún punto determinado.

La recta la denotamos (designamos) por dos de sus puntos sobre ella con letras mayúsculas o bien por una letra minúscula cerca de ella, o con el símbolo encima de dos de sus puntos.

                               _______________________________    l

                              A         B          C          D

Así, tenemos la recta AD o la recta DA o la recta l que pasa por los puntos A, B, C y D para mencionar algunos, lo que también se puede designar por AD; donde los puntos A, B, C y D se llaman puntos colineales, ya que pertenecen a la misma recta. Sin embargo el punto F no pertenece a este conjunto, por tanto es un punto no colineal.

Existen tipos especiales de conjuntos de puntos, entre los cuales podemos mencionar:

§ La línea recta. (horizontal y vertical)

§ La línea curva.

§ La línea quebrada.

§ La línea mixta. 

REPRESENTE CADA TIPO

línea recta	línea curva	línea quebrada	línea mixta

1.4 EL PLANO

Cualquier superficie plana, como una hoja de papel, la cubierta de una mesa, el piso del salón, una puerta, el tablero, los espejos, etc., nos sugieren la idea de plano en geometría. Plano por consiguiente la conceptualizaremos como el conjunto de todos los puntos que conforman un espacio de dos dimensiones (largo y ancho).

Un plano, en matemáticas, se imagina de extensión ilimitada. Se suele representar por una figura cerrada, generalmente un paralelogramo. Ocasionalmente se usan otras formas, aunque el plano tenga dos dimensiones ilimitadas, y se nombran por tres de sus puntos no alineados o por una letra griega.(a, b, L, G, etc.)

Plano R Plano R S Plano ά

Si tomamos una hoja de papel, que nos sirve para representar un plano y la doblamos formando un pliegue. Desdoblando el papel, se revela una marca. Esta marca que hemos dejado al doblar el papel nos divide el plano en dos semiplanos.

Es decir al trazar una recta que corte al plano en dos porciones quedan determinados dos semiplanos.

2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

 

2.1 SEGMENTOS: si en la recta l, se consideran dos puntos cualesquiera A y el B,

                 _______________________________    l

                              A         B          C          D

La porción de la recta l formada por esos dos puntos y todos los puntos comprendidos entre ellos, se llama segmento AB.

________

A           B

Los puntos A y B se llaman extremos del segmento AB. El cual se denota AB. Observemos que el segmento AB es un subconjunto de la recta l determinada por los puntos A y B.

2.1.1 MEDIDA DE SEGMENTOS: Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad.

2.2 RAYO: es el conjunto de todos los puntos que pertenecen al segmento AB y a su prolongación por extremo B. Esta misma definición se aplica para el rayo BA.

2.3 SEMIRRECTA: si al rayo AB le quitamos el origen A, el resto de los puntos reciben el nombre de semirrecta.

La semirrecta se denotará AB y se lee semirrecta AB.

PRUEBA DE CONOCIMIENTOS

1. ¿Cuántos extremos tiene un segmento?

2. ¿Cuántos extremos tiene un rayo?

3. ¿Cuántos extremos tiene una recta?

4. ¿Cuántos extremos tiene una semirrecta?

5. Nombre el o los puntos extremos del SEGMENTO AB.

6. ¿Nombran AB y BA el mismo segmento?

7. Nombre el o los extremos de PQ.

8. ¿Nombran ST y TS al mismo rayo? Explique

9. Nombra tres segmentos de la figura.

                            ________________________

                                    S             T              R

INVESTIGACIÓN

1. ¿Qué son segmentos consecutivos?

2. ¿Qué son segmentos adyacentes?

3. ¿Qué son segmentos disjuntos?

4. ¿Qué son segmentos incidentes?

5. Representa gráficamente 

a) Segmentos Consecutivos

b) Segmentos Adyacentes

c) Segmentos Disjuntos

d) Segmentos Incidentes.  (Elabora un cuadro como el siguiente)

Segmentos Consecutivos	Segmentos Adyacentes	Segmentos Disjuntos	Segmentos Incidentes

6. ¿Qué es el vértice?

7. ¿Qué es un ángulo?

8. ¿Cuáles son los elementos de los ángulos?

9. ¿Cómo se denotan los ángulos? Esboce un ejemplo para cada patrón

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 2

INVESTIGACIÓN

1. Qué es un ángulo?

2. Los elementos de un ángulo son:

a.___________________

b.___________________

3. En una hoja aparte traza una ángulo e identifica sus elementos

4. El instrumento para medir los ángulos es el: ______________________

5. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90°, entonces cada ángulo es el _________________ del otro.

6. Un ángulo cuya medida es menor que 90° se llama  __________________

7. Un ángulo cuya medida es mayor que 90° se llama ___________________

8. Un ángulo cuya medida es 90° se llama _______________________

9. La suma de las medidas de dos ángulos complementarios es ________; la suma de las medidas de dos ángulos suplementarios es _____________

10. Los ángulos con medidas iguales se llaman __________________

11. Los sistemas de unidades de medidas de ángulos son:

a.  _______________________

b. _______________________

c. _______________________

 

1.2 Medición de Ángulos

 

INVESTIGACION

1. ¿Qué es medir un ángulo?

2. ¿Qué instrumento se utiliza para medir los ángulos?

3. ¿Cuáles son los sistemas de unidades de medidas angulares? Menciónelos.

4. ¿Cómo están divididos los diferentes sistemas de unidades de medidas de ángulos?

5. ¿Cuál es la relación entre el grado sexagesimal y el radián?

PRACTICA

1. Construya los siguientes ángulos con la ayuda del transportador: 32°; 47°; 68°; 155°, 74°; 116°; 125°

GUIA DE AUTOINSTRUCCIÓN

CLASIFICACIÓN DE LOS ANGULOS

UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 3

1. El Triángulo

Triángulo. Es un poligonal cerrado, constituido por la unión de tres segmentos de recta determinados por tres puntos no colineales.

Los ángulos formados por cada dos lados se llaman ángulos interiores. Así, tenemos los ángulos  Ð A, Ð B, Ð C.  Los ángulos se nombran con las letras mayúsculas.

Los lados de un triángulo también se designan por la misma letra del vértice opuesto, pero minúscula. Así, el lado AB = c, el lado BC = a y el lado AC = b.

PRACTICA

DIBUJA Y DEFINE

Las escuadras (cartabón) son instrumentos geométricos que se utilizan para hacer trazos y sus contornos tienen forma triangular.

60° 45°

90° 30° 90° 45°

Es un triángulo escaleno rectangular y sus ángulos Es un triángulo isósceles rectángulo y sus ángulos

Miden 30°, 60° y 90°. Miden 90°, 45° y 45°.

Triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo recto, ellos sólo pueden ser escalenos o isósceles y sus lados se llaman catetos e hipotenusa. Los catetos son los lados que forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

1.3 Segmentos Notables

INVESTIGACIÓN

1. ¿Qué es la altura de un triángulo?

2. ¿Qué es la mediana de un triángulo?

3. ¿Qué es la bisectriz de un triángulo?

4. ¿Qué es la mediatriz de un triángulo? Elabore un cuadro con las definiciones y su dibujo.

Completa

1. Un triángulo que no tiene sus lados iguales se llama __________________ , el que tiene dos lados iguales se llama ________________ y el que tiene sus tres lados iguales se llama _____________________.

2. Desde cada vértice de un triángulo se puede trazar ________ medianas, _______ alturas, ______ bisectrices y ______ medianas.

3. La clasificación de los triángulos por sus ángulos es: ______________, _______________, _____________

4. La clasificación de los triángulos por sus lados es: ______________, _________________, _____________

5. Un triángulo rectángulo tiene ______ ángulo recto y _______ ángulos agudos.

6. Un triángulo obtusángulo tiene _______ ángulo obtuso y _________ ángulos agudos.

7. Un triángulo acutángulo tiene _________ ángulos agudos.

8. Dibuja un r XYZ tiene ______ medianas, ______ bisectrices, _______ mediatrices y ______ alturas.

UNIDAD DE APRENDIZAJE No.4

1. TEOREMA DE PITÁGORAS

Un teorema es una proposición que puede ser demostrada. El teorema de Pitágoras es una relación matemática, que nos permite la resolución de problemas donde se puede aplicar un modelo basado en un triángulo rectángulo. En la actualidad el teorema de Pitágoras tiene varios enunciados pero todos giran alrededor de dos aspectos fundamentales:

1. El cuadrado de los elementos del triángulo rectángulo.

2. y la suma de las áreas.

1.1 Enunciado

La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

El teorema de Pitágoras es una de esta proposiciones y ella nos ayuda a la resolución de triángulos rectángulos y por ende es un mecanismo de gran ayuda para la resolución de problemas que impliquen triángulos.

La demostración "clásica" del Teorema de Pitágoras es la que se representa gráficamente por medio de tres cuadrados formando un triángulo rectángulo con un lado de cada uno de ellos. Cuadrados que están formados, a su vez, por 9, 16 y 25 cuadrados interiores respectivamente.

COLORARIO: es una proposición que se deduce un teorema como consecuencia del mismo.

"en todo triángulo rectángulo, cada cateto es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto"

PRACTICA

Hallar el valor de la hipotenusa C en cada triángulo rectángulo cuyo lados miden:

a = 12 m;           b = 9 m;                a = 3 pies;           b = 7 pies

a = 3 cm;           b = 6 cm;              a = 4 pulg;            b = 3 pulg.

a = 15 m;           b = 20 m;             a = 15 cm;            b = 36 cm

Hallar el otro cateto. De los siguientes triángulo rectángulos cuyos catetos miden:

a = 12 m;           c = 20 m;               b = 15 pies;         c = 17 pies

b = 5 m;             c = 13 m;               a = 24 dm;          c = 25 dm

a = 8 km;           c = 17 km;              b = 5 m;             c = 25 m

Resuelva los siguientes problemas aplicando el Teorema de Pitágoras

1. Un terreno rectangular tiene 8m de base y 3m de altura. ¿Cuál será la longitud de la diagonal del terreno?

2. ¿Cuál es la altura de una casa si para subir a la azotea se necesita una escalera que mide 10m y, a nivel del piso, se coloca a 6m del muro.

3. ¿Cuánto mide un cable que baja de un poste que tiene una altura de 24m y está colocado a una distancia de 7m del pie del poste?

PERÍMETRO: es la longitud del contorno de cualquier superficie. En geometría, longitud de la línea que delimita una superficie o una figura y se obtiene sumando todos sus lados.

P = AB + BC + AC   

EJEMPLO: Dado el triángulo G ABC cuyos tres lados miden 4 unidades cada uno. Encuentre sus perímetro

P = AB + BC + AC

P = 4 + 4 + 4

P = 16 unidades

PRACTICA

Encuentre el perímetro de los siguientes triángulos:

a = 5 m;           b = 12 m;           c = 13 m;

a = 9 m;           b = 12 m;           c = 15 m;

1. "la suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale dos ángulos rectos" 

Ð A + Ð B + Ð C = 180°

ejemplo 1: Dado el G ABC cuyos ángulos interiores miden Ð A = 70°; Ð B = 30°; Ð C = 80°

Ð A + Ð B + Ð C = 180°

70° + 30° + 80° = 180°

ejemplo 2: Dado el G MNP donde Ð M = 45°; Ð N = 75°, hallar el ángulo Ð P.

Ð M + Ð N + Ð P = 180°

45° + 75° + Ð P = 180°

120° + Ð P = 180°

Ð P = 180° - 120°

Ð P = 60°

2. "la suma de dos ángulos de un triángulo rectángulo es igual a 90°" Ð A + Ð B = 90°

Ð A + Ð B + Ð C = 180°

Ð A + Ð B + 90° = 180°

Ð A + Ð B = 180° - 90°

Ð A + Ð B = 90°

ejemplo: Dado el triángulo rectángulo cuyo ángulo conocido mide 60°. Hallar el ángulo.

Ð A + Ð B = 90°

Ð A + 60° = 90°

Ð A = 90° - 60°

Ð A = 30°

PRACTICA

1. Dados los triángulos cuyos ángulos miden:

30° y 60°;              90° y 45°;            120° y 30°;            60° y 45°

125° y 30°;           110° y 40°;             55° y 70°;            80° y 30°

Hallar el valor del ángulo que se desconoce para que se cumpla que "la suma de los ángulos anteriores vale dos rectos"

2. Dados los triángulos rectángulos cuyo ángulo conocido mide

30°           60°                       55°                     25°

53°;          75°23’32";           40°2’36";            35°28’12"

hallar el valor del ángulo que se desconoce para que se cumpla que: "la suma de dos ángulos de un triángulo rectángulo es igual a 90°"

UNIDAD DE APRENDIZAJE No.5

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Concepto de Razón: razón significa cociente. La razón de un número a a un segundo número b, distinto de cero, es el cociente que se obtiene al dividir a entre b. Es decir, la razón de dos magnitudes (cantidades o unidades de medidas), es el cociente de la primera entre la segunda.

Por ejemplo la escala del escalimetro es la razón entre los metros reales y los centímetros que aparecen en el. Así 1:50 significa que por cada centímetro representado en la hoja, en el campo hay 50 metros. Otra manera de expresar esta razón sería 1/50, es decir, como una fracción.

Concepto de razón geométrica: una razón es la comparación que se establece entre dos cantidades homogéneas y que se puede expresar:

1. mediante la preposición a

2. mediante dos puntos :

3. mediante una fracción común

4. mediante una fracción decimal

5. mediante un tanto por ciento

 

 

 

 

Simplificación de razones (fracciones): simplificar una fracción es dividir simultáneamente al numerador y al denominador de una fracción por un mismo, si es posible.

PRACTICA

Dado los siguientes valores para los segmentos a, b, c: hallar todas las razones posibles entre ellos:

a = 3;          b = 4;          c = 5;           a = 10;           b = 12;           c = 15

a = 21;        b = 18;        c = 27;         a = 30;            b = 36;           c = 45

EN CADA CUADRO ESCRIBE EL SIMBOLO QUE REPRESENTA LA LETRA GRIEGA NOMBRADA

TRIGONOMETRIA: significa etimológicamente medición de triángulos.

Se la ha definido también como la ciencias de la medida indirecta. Por medio de la trigonometría pueden ser calculadas distancias que no se pueden medir directamente. Tal cálculo se hace mediante seis razones que se llaman funciones trigonométricas del ángulo; que se dividen en dos las principales Seno, Coseno y Tangente; y las secundarias cotangente, secante y cosecante.

Investigación

¿Qué son las razones trigonométricas?

Defina las funciones trigonométricas

Dado el triángulo G ABC defina las razones trigonométricas del ángulo A

AUXILIARES DIDACTICOS

· Material audiovisual

· Sesiones de discusión

ESTRATEGIA DE EVALUACIÓN

La evaluación se realizará por unidad de aprendizaje, cada unidad de aprendizaje se evaluará a través de una prueba parcial escrita, donde se revisarán los conceptos y las operaciones que estén inmersas en los contenidos, las practicas y cuadros que aparecen en el módulo deberán ser entregados para su evaluación como tareas a las cuales se les asignará un ponderación de por lo menos 30%.

Al final de cada mes se deberá presentar un examen mensual, estos exámenes mensuales se sumaran y se le asignará un porcentaje.

Una vez presentada la ultima prueba trimestral del modulo se efectuará la coevaluación y la autoevaluación.

TRIGONOMETRIA PLANA

Heineman

McGraw Hill