Números Enteros

“La experiencia no consiste en el número de cosas que sean visto; sino las que han aprendido”

El presente módulo se elabora con la firme intención de proporcionar al (a) participante una guía de los contenidos que se van a tratar durante el trimestre.

En el se pretende dar elementos importantes para el auto estudio y auto aprendizaje de los tópicos tratados; incluye definiciones, explicaciones, problemas y datos interesantes, que les ayudarán a su comprensión.

“La naturaleza es un libro abierto y el lenguaje en que está escrito es el de la matemática”

eñores(as) participantes quiero aprovechar estas línea para hacerles saber que este documentos es una guía importante para el desarrollo del trimestre; en él aparecen los contenidos que ustedes deben ampliar, investigar, desarrollar, estudiar, practicar y aprender a fin de obtener una evaluación satisfactoria.

7. Señale los temas difíciles; para solicitar las ampliaciones (explicaciones).

“El fracaso de muchos obedece más a la falta de resolución que a la falta de capacidad”

Rápidamente nuestro sistema numérico quedo limitado, pues no nos permitía representar numéricamente muchas cosas, como por ejemplo, una deuda, una temperatura bajo cero o un saldo en contra. Para solucionar este problema aparecen los números enteros, mismos que pueden ser positivos o negativos.

En esta sección encontrarás:

Números Enteros Positivos y Negativos

a) Números Enteros Positivos: Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).

b) Números Enteros Negativos: Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo.
El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.

c) Valor Absoluto: El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15

Comparación de Números Enteros

Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo:
4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo.
+3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.

b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Por ejemplo:
+5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.
16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.
+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.

c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Por ejemplo:
-2 es mayor que -5, ya que 2 representa meenor cantidad que 5.
-11 es mayor que -13, ya que 11 representaa menor cantidad que 13

Adición y Sustracción de Números Enteros

a) Si tenemos números de igual signo: Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.

35 +46 +11	En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11
35 +46 +11	Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92
+92 = 92	El resultado también será positivo.

-12 -28 -21	En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21
-12 -28 -21	Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61
-61	El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.

b) Si tenemos números de signos diferentes: restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.

35 -46	En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.
35 -46	El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 - 35 = 11
-11	Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.

-12 +28	En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.
-12 +28	El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16
+16 = 16	Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo

Multiplicación de Números Enteros

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:

(+) x (+) = (+)	El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo
(+) x (-) = (-)	El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo
(-) x (+) = (-)	El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo
(-) x (-) = (+)	El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo

Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.

División de Números Enteros

Cuando tengamos que dividir números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a dividir los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos (que es prácticamente la misma que la que utilizamos en multiplicación):

(+) ÷ (+) = (+)	El resultado de dividir dos números positivos es un número positivo
(+) ÷ (-) = (-)	El resultado de dividir un número positivo entre otro negativo es un número negativo
(-) ÷ (+) = (-)	El resultado de dividir un número negativo entre otro positivo es un número negativo
(-) ÷ (-) = (+)	El resultado de dividir dos números negativos es un número positivo

El mismo procedimiento se empleara para cualquier caso de división de números enteros o con signo que se nos presente.

Potenciación de Números Enteros

Ya hemos definido previamente lo que es la potenciación, por lo cual en esta sección nos orientaremos a definir que signo llevara la respuesta de una potencia.

Si el exponente es un número positivo (recordando que cuando no tiene signo es número positivo también), podemos afirmar que de acuerdo al signo de la base y si el exponente es número par o impar, tendremos:

(+)^impar = (+)	Cualquier número positivo elevado a exponente impar tiene resultado positivo
(+)^par = (+)	Cualquier número positivo elevado a exponente par tiene resultado positivo
(-)^impar = (-)	Cualquier número negativo elevado a exponente impar tiene resultado negativo
(-)^par = (+)	Cualquier número negativo elevado a exponente par tiene resultado positivo

Por ejemplo:
16³ = 16 x 16 x 16 = 4096
-14² = -14 x -14 = 196
-17³ = -17 x -17 x -17 = -4913<

Ahora, pasara diferente si el exponente es negativo. Cuando encontremos un exponente negativo haremos lo siguiente:

5^-3	En este caso encontramos exponente negativo: -3
1 5³	Lo que debemos hacer en estos casos es colocar 1 sobre la misma base elevada ahora a exponente positivo
1 125	Resolvemos la potencia abajo y el resultado será un número fraccionario (veremos más acerca de números fraccionarios más adelante)

Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej. : 3x²

2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej. : 2x²+ 3xy

1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.

2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

En esta sección encontrarás:

Términos Semejantes

Antes de pasar a evaluar las diferentes operaciones con monomios, conviene ver este concepto, el de los términos semejantes.

Observemos la siguiente pareja de expresiones algebraicas: a) 4x²y³ b) 2x²y³

Vemos que en ambas expresiones se repite la parte literal, en ambos monomios hay x², así mismo, en ambos monomios hay y³.

Cuando la parte literal en dos monomios sea igual, entonces estaremos hablando de términos semejantes.

No importara el orden de las letras en la parte literal, así, los monomios: 6a³b²c, cb²a³, también representan términos semejantes pues en ambos encontramos a³, b² y c.

Suma y Resta de Monomios

Para poder sumar o restar monomios estos deberán ser términos semejantes. Veamos el caso siguiente:

Primero que nada deberemos evaluar si son términos semejantes: vemos primero que m² esta en ambos monomios, y vemos luego que n¹ también esta en ambos monomios, llegando a la conclusión que son términos semejantes y por ende se podrán sumar:
3m²n + 6m²n                pero solamente sumaremos la parte numérica
3m²n + 6m²n                en este caso sumo 3 + 6 = 9
9m²n                             será el monomio respuesta (nótese que la parte literal sigue igual)

Muy similar será el trabajo en la resta, por ejemplo digamos que queremos restar: 5x⁴y³ -x⁴y³

Evaluaremos primero si son términos semejantes. Observamos que en ambos casos habrá el termino x⁴ y también el termino y³, por lo tanto serán términos semejantes. Procedemos a la resta:
5x⁴y³ -1x⁴y³               ahora restare solamente la parte numérica (colocamos el 1 para verlo más claramente)
5x⁴y³ -1x⁴y³               en este caso resto 5 - 1 = 4
4x⁴y³                          será el monomio respuesta

En el caso de que encontremos que los términos no son semejantes, no se podrán sumar ni restar los términos, por ejemplo, 3a²b +2a³b, no son términos semejantes, mientras que en uno de ellos encontramos a² en el otro encontramos a³; la respuesta de esta suma quedaría solamente como: 3a²b +2a³b

Multiplicación de Monomios

Para multiplicar monomios no será necesario que sean términos semejantes. Podremos multiplicar entre ellos a cualquier monomio. Por ejemplo, se desea multiplicar: a) 5x²y⁵ b) 2x³y²z

Debemos tratar por separado a la parte numérica y a la parte literal. Primero evaluemos la parte numérica:
(5x²y⁵)(2x³y²z) la parte numérica es algo que ya conocemos y que no cambiara, 5x2 = 10

En la parte literal debemos tomar especial cuidado con las letras que se repiten en los términos pues los exponentes se sumaran. Primero vemos que se repite la letra x, y luego la letra y:
(5x²y⁵)(2x³y²z)            primero para la letra x, sumamos los exponentes 2+3 = 5
(5x²y⁵)(2x³y²z)            ahora sumamos los exponentes de la letra y, 5+2 = 7
(5x²y³)(2x³y²z)            finalmente la letra z no se repite por lo cual solo la colocare tal como esta

Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.

División de Monomios

Para dividir polinomios tampoco es necesario que sean términos semejantes. Por ejemplo yo podré dividir los monomios, 81a²b³c⁴d⁵ entre 3b²c² (nótese que en el divisor deberán estar las mismas letras que en el dividendo, de ninguna manera podría dividirse, por ejemplo, 81a²b³c⁴d⁵entre 3x²y²)

Primero dividiremos la parte numérica como tradicionalmente lo hacemos, es decir: 81÷3 = 27

Ahora en la parte literal, restaremos los exponentes de las letras que se repiten, en este caso, la letra b y la letra c:
81a²b³c⁴d⁵ ÷ 3b²c² en este caso restamos 3 - 2 = 181a²b³c⁴d⁵ ÷ 3b²c² en este caso restamos 4 - 2 = 2

Entonces la respuesta será: 27a²bc²d⁵ (el exponente 1 de la letra b no lo he puesto por no ser necesario)

Cabe resaltar que en algunos casos la letra "desaparecerá", esto ocurrirá cuando su exponente resulte 0 (cero). Por ejemplo en: 5a²b² ÷ ab² (al restar los exponentes para la letra b dará como resultado 0: 2 - 2 = 0)
El resultado para este caso seria: 5a

Una vez que ya hemos trabajado con los monomios, debemos saber también como trabajar con los polinomios. En esta sección encontrarás lo referente a este tema.

En esta sección encontrarás:

Suma y Resta de Polinomios

En un polinomio podremos sumar o restar solamente los términos semejantes, todo lo demás quedara exactamente igual.

Digamos que queremos sumar los polinomios siguientes:
P1: 5x²y +3xy²
P2: 3x³ -2x²y +xy² -4y³

Entonces la suma será:
P1 + P2: 5x²y +3xy²+3x³ -2x²y +1xy² -4y³(como se puede ver he añadido el numero 1 en el término que no lo tenia para facilitar la operación)

Ahora debemos ver si hay términos semejantes:
P1 + P2: 5x²y +3xy²+3x³ -2x²y +1xy² -4y³(hemos marcado con rojo los términos que tienen x²y, hemos marcado con azul los términos con xy²)

Operamos los términos con x²y: 5x²y -2x²y = 3x²y
Operamos los términos con xy²: 3xy² +1xy² = 4xy²

Introducimos los resultados parciales en nuestro polinomio respuesta:
P1 + P2: 3x²y +4xy²+3x³ -4y³ (esta es la respuesta)

Para realizar una resta, el procedimiento es similar, pero debemos tener mucho cuidado con los signos. Digamos que ahora quiero restar P1 -P2:
P1 - P2: 5x²y +3xy²-(3x³ -2x²y +1xy² -4y³) Nótese que P2 lo hee puesto entre paréntesisP1 - P2: 5x²y +3xy²-3x³ +2x²y -1xy² +4y³ &nbssp; Ahora vemos como hemos cambiado el signo a todo P2

Ahora recién buscamos los términos semejantes y realizamos las operaciones:
P1 - P2: 5x²y +3xy²-3x³ +2x²y -1xy² +4y³P1 - P2: 7x²y +2xy²+3x³ -4y³ (esta es la respuesta)

Multiplicación de Polinomios

En la multiplicación de polinomios tendremos que multiplicar todos los términos entre ellos. Evaluemos el siguiente ejemplo en el cual queremos multiplicar P1 x P2:
P1: 5x²y +3xy²
P2: 3x³ -2x²y +xy² -4y³

Entonces:
P1 x P2: (5x²y +3xy²)(3x³ -2x²y +xy² -4y³)
P1 x P2: (5x²y¹ +3x¹y²)(3x³ -2x²y¹ +1x^{1y² -4y³)
(el coeficiente 1; exponente 1 no es necesario ponerlo)}

Ahora tendré que multiplicar el primer término del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio:
P1 x P2: (5x²y¹ +3x¹y²)(3x³ -2x²y¹ +1x^{1y² -4y³)

(5x²y¹)(3x³)        = 15x⁵y¹(el exponente 1 no es necesario ponerlo)

(5x²y¹)(-2x²y¹)   = -10x⁴y²

(5x²y¹)(+1x¹y²) = 5x³y³

(5x²y¹)(-4y³)      = -20x²y⁴}

Hacemos lo mismo con el segundo término del primer polinomio:
P1 x P2: (5x²y¹ +3x¹y²)(3x³ -2x²y¹ +1x^{1y² -4y³)
(el exponente 1 no es necesario ponerlo)

(+3x¹y²)(3x³)        = +9x⁴y²

(+3x¹y²)(-2x²y¹)   = -6x³y³

(+3x¹y²)(+1x¹y²) = +3x²y⁴

(+3x¹y²)(-4y³)      = -12x¹y⁵}

Ahora acomodamos la respuesta:
P1 x P2: 15x⁵y¹-10x⁴y²+5x³y³ -20x²y⁴ +9x^{4y² -6x³y³
+3x²y⁴ -12x¹y⁵P1 x P2: 15x⁵y-10x⁴y²+5x³y³
-20x²y⁴ +9x^{4y² -6x³y³
+3x²y⁴ -12xy⁵(eliminamos los 1 innecesarios)}}

Ahora vemos si hay términos semejantes que podamos sumar o restar:
P1 x P2: 15x⁵y-10x⁴y²+5x³y³ -20x²y⁴ +9x^{4y² -6x³y³
+3x²y⁴ -12xy⁵}

Tenemos que simplificar los términos semejantes:
Operamos los términos con x⁴y²: -10x⁴y²+9x⁴y² = -1x⁴y²
Operamos los términos con x³y³: +5x³y³ -6x³y³ = -1x^{3y³Operamos los términos con x²y^4:-20x²y⁴
+3x²y⁴= -17x²y⁴}

Ahora si, presentamos la respuesta:
P1 x P2: 15x⁵y-1x⁴y²-1x³y³ -17x²y⁴ -12xy^5<

Recordemos siempre que la parte numérica se multiplica y en la parte literal se suman los exponentes de las letras que se repiten.

División de Polinomios

La división de polinomios es, tal vez, la operación más complicada dentro de las expresiones algebraicas. Debemos tener mucho cuidado al resolverlas.

a) División de un polinomio entre un monomio:
En este caso tendremos que dividir cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.

Vamos a resolver un ejemplo: (4x²y -2xy² + 8x³) ÷ 2x
Haremos: 4x²y ÷ 2x¹ = 2x¹y
Luego: -2x¹y² ÷ 2x¹ = -1y²
Luego: 8x³ ÷ 2x¹ = 4x²

Finalmente la respuesta será: 2xy -1y² + 4x²(el coeficiente 1 no es necesario colocarlo)

b) División de dos polinomios:
En este caso lo mejor es ir directamente a un ejemplo:
(x⁴ +4x³ +x² -x) ÷ (x² + x), mismo que completando los grados seria: (x⁴ +4x³ +x² -x¹) ÷ (x² + x¹¹)

Acomodémoslo como una división tradicional:
x⁴ +4x³ +x² -x¹ ÷ x² + x¹(seleccionamos el primer término del dividendo y del divisor)

Dividimos los términos seleccionados: x⁴÷ x² = x² (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: x² (x² + x) = x⁴ +x³
A la respuesta le cambiamos el signo: -x⁴ -x³ (esto se sumara o restara con el divisor)

x⁴ +4x³ +x² -x¹ ÷ x² + x¹-x⁴ -1x³ x² 3x³ +x² -x¹ (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)

Dividimos los términos seleccionados: 3x³÷ x² = 3x¹ (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: 3x¹ (x² + x) = 3x³ +3x²
A la respuesta le cambiamos el signo: -3x³ -3x² (esto se sumara o restara con el divisor)

x⁴ +4x³ +x² -x¹ ÷ x² + x¹-x⁴ -1x³ x² +3x 3x³ +x² -x¹ -3x³ -3x² -2x² -x¹ (seleccionamos el primer término de lo que va quedando y del divisor)

Dividimos los términos seleccionados: -2x²÷ x² = -2 (la respuesta será parte del cociente)
Multiplicamos la respuesta por el divisor: -2 (x² + x) = -2x² -2x¹
A la respuesta le cambiamos el signo: +2x² +2x¹ (esto se sumara o restara con el divisor)

x⁴ +4x³ +x² -x¹ ÷ x² + x¹-x⁴ -1x³ x² +3x -2 (será el cociennte o respuesta) 3x³ +x² -x¹ -3x³ -3x² -2x² -x¹ +2x² +2x¹ x¹ (será el residuo)

Productos Notables

Existen algunas respuestas características para algunos casos en los que debemos multiplicar, estos son los productos notables. Los principales son:

a) Cuadrado de la suma de dos cantidades:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (5x +7)² = (5x)² + 2(5x)(7) + (7)²
El cuadrado del primer término es: (5x¹)² = 25x²
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)² = 49

b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (5x -7)² = (5x)² - 2(5x)(7) + (7)²
El cuadrado del primer término es: (5x¹)² = 25x²
El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7) = 70x
El cuadrado del segundo término es: (7)² = 49

c) Suma por la diferencia de dos cantidades:
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Por ejemplo: (4a +7y³)(4a -7y³) = (4a)² - (7y³)²
El cuadrado del primer término es: (4a¹)² = 16a²
El cuadrado del segundo término es: (7y³)² = 49y⁶

d) Cubo de la suma de dos cantidades:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

Por ejemplo: (2a + 4b)³ = (2a)³ +3(2a)²(4b) +3(2a)(4b)² + (4b)³
El cubo del primer término es: (2a¹)³ = 8a³
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(2a¹)²(4b) = 48a²b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(2a)(4b¹)² = 96ab²
El cubo del segundo término es: (4b¹)³ = 64b³

e) Cubo de la diferencia de dos cantidades:
El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

Por ejemplo: (4a - 2b)³ = (4a)³ -3(4a)²(2b) +3(4a)(2b)² - (2b)³
El cubo del primer término es: (4a¹)³ = 64a³
El triple del cuadrado del primer término por el segundo término: 3(4a¹)²(2b) = 96a²b
El triple del primer término por el cuadrado del segundo término: 3(4a)(2b¹)² = 48ab²
El cubo del segundo término es: (2b¹)³ = 8b³

Estos son productos de los cuales podemos lograr una regla para obtener rápidamente una respuesta; los cuatro ejemplos cumplen las siguientes reglas:

1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.

2. El coeficiente del segundo término es el resultado de la suma algebraica de los productos de los segundos términos de los binomios y en este término la x está elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el primer término del producto.

3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

El producto de dos binomios con un término común, en los cuales el término común tenga un coeficiente distinto de 1, puede hallarse fácilmente:

1. El primer término del producto es el producto de los primeros términos de los binomios.

3. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios.

Cocientes Notables

Existirán algunos casos en los cuales podemos dividir dos polinomios fácilmente pues sus respuestas son conocidas:

a) Primer caso: (aⁿ +bⁿ) ÷ (a + b)
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un numero impar.

Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x^5-1 = x⁴A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x³), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x³y
Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

b) Segundo caso: (aⁿ -bⁿ) ÷ (a - b)
En este caso tendremos respuesta exacta siempre, no importara si el exponente es un numero par o impar.

La mecánica es prácticamente la misma que en el caso (a), con la única diferencia que en la respuesta todos los términos se estarán sumando (es decir todos los signos serán más).

c) Tercer caso: (aⁿ -bⁿ) ÷ (a + b)
En este caso tendremos respuesta exacta solo cuando el exponente n sea un numero par.

Debemos empezar la respuesta tomando el primer término, pero bajándole un grado, es decir, por x^4-1 = x³A partir de ahí bebemos ir intercalando los signos (mas, menos, mas, menos, etcétera).
En el segundo término debe seguir bajando el grado del primer término (ahora será x²), pero además deberá aparecer el segundo término (aparece y): x²y
Para los demás términos de la respuesta se seguirá bajando el grado del primer término (hasta que este desaparezca) y se ira incrementando el grado del exponente del segundo término.

La factorización de expresiones algebraicas consiste en buscar el origen de las mismas, en descomponerlas. Veremos las principales técnicas.

En esta sección encontrarás:

Factor Común Monomio

Este método busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este factor resultara ser un monomio, mismo que debemos encontrar.

Dado un polinomio cualesquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los términos.

Dado el siguiente polinomio: 8x⁴ -4x²y + 16x⁵y²
Hallaremos el M.C.D. de la parte numérica: 8x⁴ -4x²y + 16x⁵y²
Entonces el M.C.D. de 8, 4 y 16 es: 4 (este numero será la parte numérica del monomio que busco)

Ahora observo mi polinomio: 8x⁴ -4x²y + 16x⁵y²
Me doy cuenta que la letra x se repite en los tres términos, entonces buscare la que tenga menor exponente, misma que resulta ser x² (la tomo como parte literal del monomio que busco)

Como no hay otra letra que se repita en todos los términos, empiezo a construir mi monomio.
Recuerdo que la parte numérica era 4 y la parte literal era x², entonces será: 4x²

El monomio que he encontrado dividirá a todos y cada uno de los términos del polinomio, así:
8x⁴ ÷ 4x²= 2x²-4x²y ÷ 4x²= -y
16x⁵y² ÷ 4x²= 4x³y²
Construimos el polinomio: (2x² -y +4x³y²)

Factor Común Polinomio

En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x² + 3x +7)

En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a²(3 +b) +3 +b
Que yo puedo escribirlo como: 5a²(3a +b) +1(3a +b)

Factorización por Agrupación de Términos

En la factorización por agrupación de términos hacemos una mezcla de las anteriores técnicas de factorización.

Dado un polinomio cualesquiera debemos primero formar grupos de términos con características comunes (de preferencia de dos términos cada grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos el Factor Común Monomio.

Veamos el ejemplo: 5x⁴y + 3x²y -9xy -15xy²
De acuerdo a las características lo podría agrupar: 5x⁴y + 3x³y -9y -15xy²

Entonces: 5x⁴y + 3x²y -9xy -15xy² = 5xy (x³ -3y) +3y (x³ -3y)
Y ahora aplicamos Factor común Polinomio, ya que nos damos cuenta que el polinomio (x³ -3y) se repite.

Una cantidad es cuadrada perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales. Así 4 b² es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de 2 b.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Se extrae la raíz cuadrada al primero y al tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

La raíz del tercer término del trinomio Ö36 = 6; se forma el binomio (m² + 6); donde el signo que los separará, será el signo del segundo término del trinomio en este caso +. Este binomio se eleva al cuadrado.

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se verifica (se cumple), para determinado valor numérico de ella.

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Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso, mismo que observamos en el siguiente ejemplo:

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el -3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el operador inverso (el inverso de -3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Ahora tenemos el número 2 que esta multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo (la operación inversa de la multiplicación es la división).

-11x -5x +1 = -65x +36
-11x -5x +65x = 36 -1	Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).
49x = 35	Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.
x = 35 = 5 47 7	Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

Resolución de ecuaciones con signos de colección

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de colección o agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.

2x -[x -(x -50)] = x - (800 -3x)
2x -[x -x +50] = x -800 +3x	Primero quitamos los paréntesis.
2x -[50] = 4x -800	Reducimos términos semejantes.
2x -50 = 4x -800	Ahora quitamos los corchetes.
2x -4x = -800 +50	Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.
-2x = -750	Nuevamente reducimos términos semejantes
x = -750 = 375 -2	Despejamos x pasando a dividir a -2, luego simplificamos.

CUIDADO!!!
Para suprimir los signos de colección debemos tener en cuenta que:
a) Si tenemos un signo + antes del signo de colección no afecta en nada a lo que este dentro de este signo de colección. Por ejemplo: +(3x -5) = 3x - 5

b) Si por el contrario, tenemos un signo - antes del signo de colección, este signo afectara a todo lo que este dentro del signo de colección. Todos los términos dentro del signo de colección cambiarán de signo. Por ejemplo: -(3x -5) = -3x + 5

Resolución de ecuaciones con productos indicados

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos indicados y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas). Observemos un ejemplo:

5(x -3) -(x -1) = (x +3) -10
5x -15 -x -1 = x +3 -10	Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.
5x -x -x = 3 -10 +15	Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)
3x = 9	Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.
x = 9 = 3 3	Despejamos x pasando 3 a dividir, luego simplificamos.

Para resolver los productos indicados hemos empleado los criterios de multiplicación de un monomio por un polinomio

Un sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones cuya resolución significa hallar los valores que satisfacen al mismo tiempo dichas ecuaciones.

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Ecuaciones de Primer Grado con Dos Variables

Veamos las siguientes ecuaciones:
a)    7x +5y -24 = 0
b)    a + 5b = -85
c)    13x = 7 - 11y

En todos los ejemplos anteriores (ecuaciones a, b y c) observamos que se tienen dos variables o incógnitas, mismas que están representadas por letras diferentes. Entonces todas ellas son Ecuaciones de Primer Grado con Dos Variables.

Una ecuación con dos variables tiene infinitas soluciones dentro de los números reales, es decir, una combinación infinita de respuestas cumplirá con las condiciones de la ecuación. Si tenemos solamente una ecuación de este tipo no podemos determinar el valor exacto de cada una de las variables.

Tendremos, eso sí, la opción de tener el valor de una de las variables o incógnitas en función de la otra. Veamos a continuación como podríamos resolver el primero de los ejemplos:

Hallamos el valor de x	Hallamos el valor de y
7x +5y -24 = 0	7x +5y -24 = 0
7x = 24 -5y	5y = 24 -7x
x = 24 -5y 7	y = 24 -7x 5

Como podemos apreciar las respuestas quedaran en función de la otra variable o incógnita y no se podrá hallar un valor numérico exacto.

Sistemas de ecuaciones con dos variables

Para resolver ecuaciones con dos variables, necesariamente debemos tener dos ecuaciones. Estas dos ecuaciones en conjunto forman el sistema de ecuaciones con dos variables o incógnitas.

Por ejemplo, las siguientes ecuaciones individualmente no podrían ser resueltas, sin embargo, en conjunto si pudiesen ser resueltas, y de esta manera podríamos hallar el valor tanto de la variable "x" como de la variable "y":

A continuación veremos los diferentes métodos de resolución de este tipo de ecuaciones.

Método de Reducción

En este método buscamos que en ambas ecuaciones una de las variables tenga coeficientes opuestos (mismo valor, pero con diferente signo) para que sea eliminada al sumarlas.

2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	Este es el sistema de dos ecuaciones con dos variables que queremos resolver.
2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	Nos damos cuenta, que para la variable "y", tanto en la primera como en la segunda ecuación, el coeficiente es múltiplo de 3.
-4x - 6y = -10 5x + 6y = 4	Para hacer que la variable "y" tenga coeficientes opuestos, multiplicamos a todos los términos de la primera ecuación por -2
-4x - 6y = -10 5x + 6y = 4 1x = -6	Sumamos (o restamos según sea el caso) la primera ecuación con la segunda ecuación.
1x = -6 ó x = -6	Hemos encontrado el valor de la variable "x"
2x + 3y = 5 2(-6) + 3y = 5	Seleccionamos una de las ecuaciones y en ella reemplazamos el valor de la variable "x"
-12 + 3y = 5 3y = 5 + 12 3y = 17	Nótese que el valor de "x" (que en este caso era -6) lo hemos multiplicado por el coeficiente de esta misma letra. El trabajo que viene a continuación es similar al de cualquier ecuación de primer grado.
y= 17 3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

Método de Sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones con este método debemos despejar una de las variables en una de las ecuaciones, y reemplazar la expresión obtenida en la otra ecuación.

Método de Igualación

Este método consiste en despejar la misma variable en las dos ecuaciones y luego igualarlas.

Sistemas Incompatibles

Decimos que un sistema es incompatible cuando no se puede resolver. Veamos lo que sucede en el siguiente ejemplo:

ESTRATEGIA PARA LA EVALUACIÓN

Auto evaluación (apreciación): en ella se evaluarán los siguientes criterios:

La coevaluación: se hará a través de una hoja de cotejo donde se verificará el aprendizaje de los contenidos, procesos y habilidades.

La evaluación unidireccional se hará a través de ejercicios cortos, investigaciones y un examen trimestral en este se verificará los conceptos, procesos y operaciones que se incluyen en la unidad.

(-20) (5)	Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
(-20)(+ 5)	En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
(-20)(5) = -100	Según la ley de los signos negativo por positivo es negativo
(-20) (5) = -100	Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo

(-80) ÷ (-5)	En esta operación tanto -80 como -5 son números negativos.
(-80) ÷ (-5) = 16	Según la ley de los signos cuando se dividen cantidades de igual signo el resultado es positivo
(-80) ÷ (-5) = 16	Recordando siempre que cuando un número es positivo no es necesario ponerle signo

2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	De mi sistema de dos ecuaciones con dos variables escojo una de ellas, como por ejemplo, la primera de ellas.
2x + 3y = 5	En mi ecuación escojo una variable para despejar.
2x + 3y = 5 3y = 5 -2x	Como he escogido la variable "y", entonces dejo los términos con "y" a un lado y llevo los demás al otro lado.
y = 5 -2x 3	Hallamos el valor de la variable "y"
5x + 6(5 -2x) = 4 3	Reemplazamos el valor obtenido para "y" en la segunda ecuación (recordemos que estará multiplicando al coeficiente)
5x + 10 - 4x = 4 5x - 4x = 4 - 10 1x = -6 x = -6	Resolvemos el producto, llevamos los términos que tienen variable "x" a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad. Reducimos términos semejantes. Al realizar todo este trabajo obtendremos el valor de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4	Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17 3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

2x + 3y = 5 5x + 6y = 4	Voy a trabajar por separado la primera ecuación y la segunda ecuación. En ambas buscare el valor de "y"
2x + 3y = 5 3y = 5 -2x y = 5 -2x 3	Hemos resuelto para "y" la primera ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.
5x + 6y = 4 6y = 4 -5x y = 4 -5x 6	Ahora hemos resuelto para "y" la segunda ecuación. El resultado o valor obtenido, lo emplearemos más adelante.
5 -2x = 4 -5x 3 6	Procedemos a igualar ambas ecuaciones. Ahora atención: los términos que están dividiendo pasaran a multiplicar
6(5 -2x) = 3(4 -5x) 30 -12x = 12 -15x 15x -12x = 12 - 30 3x = -18 x = -18 = -6 3	Resolvemos la ecuación como si se tratase simplemente de una ecuación de primer grado. Hallaremos el valor numérico de la variable "x"
5(-6) + 6y = 4	Reemplazamos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones.
y= 17 3	Finalmente hallamos el valor de la variable "y"

3x + y = 4 6x + 2y = 4	Si quisiera resolver empleando el método de reducción, tendría que multiplicar a la primera ecuación por -2
-6x - 2y = -8 6x + 2y = 4 0 = -4	Observamos que al realizar este paso, ambas variables se eliminan (desaparecen las dos). Es entonces cuando decimos que el sistema es incompatible (sin solución).

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