Ministerio de Educación

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN DE JÓVENES Y ADULTOS

INSTITUTO PROFESIONAL Y TÉCNICO NOCTURNO DE COLÓN

 

 

 

 

 

 

 

FORTALECIENDO LOS CONOCIMIENTOS, HABILIDADES Y DESTREZAS

 

 

 

 

 

MÓDULO INSTRUCCIONAL PARA PARTICIPANTES DE 7mo DE LA EDUCACIÓN BÁSICA GENERAL

 

 

 

 

 

Prof. Demetrio Antonío Lu

 

 

 

 

2002

HACIA DONDE VOY

 

 

 

 

PRESENTACIÓN

 

 

El presente módulo se elabora con la firme intención de proporcionar al(a) participante una guía de los contenido que se van a tratar durante el trimestre.

En el se pretende dar elementos importantes para el auto estudio y auto aprendizaje de los tópicos tratados; incluye definiciones, explicaciones, investigaciones, prácticas, pruebas de conocimientos, cuadros, tablas, ilustraciones y datos interesantes, que les ayudarán a su compresión.

Esperamos  que el mismo cumpla con el propósito con que se ha confeccionado

 

 

 

Pensamiento

 

“La experiencia no consiste el número de cosas que sean visto; sino las que se han aprendido”

 

TABLA DE CONTENIDO

 

 

1.      Números Naturales

1.1.   Operaciones  con números Naturales

1.1.1.      Adición y sustracción

1.1.2.      Multiplicación y división

1.1.3.      Potenciación y radicación

2.      Divisibilidad, múltiplos y submúltiplos

2.1.   Caracteres de divisibilidad

2.2.   Números primos y compuestos

2.3.   Mínimo común múltiplo

2.4.   Máximo común divisor

3.      Números Racionales

3.1.   Concepto

3.2.   Términos

3.3.   Representación como parte de la unidad

3.4.   Fracciones comunes

3.5.   Fracciones homogéneas y heterogéneas

3.6.   Fracciones propias e impropias

3.7.   Fracciones equivalentes

3.7.1.      Fracciones equivalentes por amplificación y simplificación

3.8.   Operaciones con números racionales

3.8.1.      Adición y sustracción de fracciones homogéneas y heterogéneas

3.8.2.      Multiplicación y potenciación

3.8.3.      División

4.      Fracciones decimales

4.1.   Concepto

4.2.   Operaciones

4.2.1.      Adición y sustracción

4.2.2.      Multiplicación y potenciación

4.2.3.      División

5.      Conceptos Geométricos Básicos

5.1.   El punto

5.2.   La línea

5.2.1.      Clasificación de las líneas

5.2.2.      Segmentos

5.2.2.1.Clasificación de segmentos

5.3.   El plano geométrico

5.4.   El ángulo

5.4.1.      Medición de ángulos

5.4.1.1.Sistemas de unidades de medidas angulares

5.4.2.      Clasificación de los ángulos

5.4.2.1.Por su amplitud

5.4.2.2.Por su posición

5.4.3.      Figuras geométricas

5.4.3.1.Polígonos

5.4.3.1.1.      Puntos notables

5.4.3.1.2.      Polígonos de tres lados, cuatro lados, cinco lados, etc.

5.4.4.      Triángulos

5.4.5.      Clasificación de los triángulos

5.4.5.1.Por sus lados

5.4.5.2.Por sus ángulos

6.      Unidades de Medidas

6.1.   De longitud

6.2.   De masa

6.3.   De tiempo

6.4.   De volumen

7.      Números enteros

7.1.   Representación

7.2.   Definición

7.3.   Enteros positivos y enteros negativos

7.3.1.      Números opuestos

7.3.2.      Valor absoluto y valor relativo

7.3.3.      Operaciones con números enteros

7.3.4.      Adición (ley de los signos)

7.3.5.      Sustracción (ley de los signos)

7.3.6.      Multiplicación  y Potenciación

7.3.7.      División (ley de los signos)

7.3.8.      Operaciones combinadas

8.      Razones y proporciones

8.1.   Razón

8.1.1.      Razón geométrica y razón aritmética

8.1.2.      Términos de la razón

8.1.3.      Reducción de razones

8.2.   Proporción

8.2.1.      Concepto

8.2.2.      Propiedad fundamental de las proporciones

8.2.3.      Proporción directa e inversa

8.2.4.      Resolución de problemas

8.2.5.      Tanto por ciento

8.2.6.      Problemas de aplicación

INFORMACIÓN PARA EL (LA) PARTICIPANTE:

 

 

eñores(as) participantes quiero aprovechar estas línea para hacerles saber que este documentos es una guía  importante para el desarrollo del trimestre; en él aparecen los contenidos que ustedes deben ampliar, investigar, desarrollar, estudiar, practicar y aprender a fin de obtener una evaluación satisfactoria.

Aprovecho para señalarles algunas recomendaciones para organizar su trabajo:

1.      Lea, realice una lectura panorámica y luego una lectura analítica.

2.      Busque la idea principal en cada contenido.

3.      Investigue las definiciones y conceptos fundamentales de cada contenido.

4.      Subraye los temas que no domine.

5.      Busque aplicaciones de los contenidos adquiridos.

6.      Analice cada uno de los pasos, operaciones, procedimientos utilizados.

7.      Señale los temas difíciles; para solicitar las ampliaciones (explicaciones).

8.      Anote sus dudas para plantearlas en clase.

9.      Busque aclaraciones de los aspectos que no ha podido comprender.

10.  Aplique las reglas y los procedimientos en la resolución de problemas.

11.  Practique las operaciones; para adquirir destrezas.

 

 

 

 

“El fracaso de muchos obedece más a la falta de resolución que a la falta de capacidad”

                                                                              Anónimo

 

 

 

 

 

INTRODUCCIÓN

 

 

a Educación Básica General de Jóvenes y Adultos se ofrece a los (as) jóvenes y adultos de 15 años y más; que no han podido culminar esta etapa de escolaridad.

Este módulo Instruccional está elaborado para esta población que regresa o inicia su educación básica general; dentro de la nueva orientación educativa de la Dirección Nacional de Jóvenes y Adultos.

El mismo es pieza fundamental para el desarrollo de la unidad trimestral, para los (as) participantes de 7mo. grado de educación básica; ya que contiene temas que renuevan los conocimientos previos e incluye nuevos que sin duda alguna fortalecerán y contribuirán en su formación y capacitación.

Esta elaborado de acuerdo a los contenidos básicos que se presentaron en el nuevo programa de matemáticas. Incluye los conjunto numéricos y las operaciones que se ejecutan con los números; también tiene conocimientos básicos de Geometría.

La metodología utilizada la constituye, el autoaprendizaje, la reflexión, el auto estudio y la autorrealización involucrando a cada participante en el proceso. En el se enuncian pautas procedímentales de las operaciones que se desarrollan en el curso.

Esta organizado en secciones que contienen los temas tratados en cada una de ellas. Las pautas operacionales de cada conjunto numérico; tiene investigaciones, cuadros, así como cuadros, y algunos problemas de aplicación. Se presentan actividades de ejecución y reflexión; promoviendo la participación y el análisis de los contenidos.

 

GALILEO GALILEI (1564 – 1642)

 

 

“La naturaleza es un libro abierto y el lenguaje en que está escrito es el de la matemática”

 

 

 

 

Nombre del Módulo  Fortaleciendo los Conocimientos Habilidades y Destrezas Nivel 7mo. Grado de Educación Básica General  Áreas Aritmética y Geometría

Requisitos previos:  Tabla de multiplicar, Conceptos de la actividad diaria

No. de horas requeridas   a.       Presencial                 10 b.      Tutorías                    10 c.       Autoaprendizaje       10

Este módulo se prepara para lograr los siguientes objetivos   a.       Resolver operaciones con números racionales b.      Reconocer los enteros positivos y enteros negativos c.       Resolver operaciones con números enteros negativos y enteros positivos d.      Encontrar los múltiplos y submúltiplos de cantidades e.       Aplicar las reglas de divisibilidad f.        Reconocer conceptos geométricos básicos g.       Reducir razones h.       Calcular el tanto por ciento

Estrategia de Evaluación:   Se proponen tres estrategias para la evaluación:   a.       Auto evaluación (apreciación):   en ella se evaluarán los siguientes criterios, puntualidad, participación y desempeño. b.      Coeva lución: se hará a través de una hoja de cotejo donde se verificará el aprendizaje de los contenidos, procesos y habilidades. c.       Evaluación unidireccional: se realizará a través de ejercicios cortos, investigaciones y un examen trimestral en este se verificará los conceptos, procesos y operaciones que se incluyen en la unidad.

Observación: la distribución de la estrategias para la evaluación es 33 1/3 % para cada uno.

 

 

 

 

 

 

Operaciones Aritméticas

En esta sección encontrarás:

1. Suma o Adición
2. Resta o Sustracción
3. Multiplicación
4. División
5. Potenciación
6. Radicación

Suma o Adición

La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir o agrupar varias cantidades en una sola. Para esto, las diferentes cantidades se van añadiendo la una a la otra. Esta representada por el signo + (más).

Veamos algunos ejemplos de sumas simples:

Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 349 + 183

Resta o Sustracción

La resta o sustracción es una operación que tiene por objeto quitarle una parte determinada a una cantidad. Esta representada por el signo - (menos).

Veamos algunos ejemplos de restas simples:

Puede darse el caso de restas más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 342 - 163

Multiplicación

La multiplicación es una operación que tiene por objeto hallar el resultado o producto de sumar un número (multiplicando) tantas veces como lo indica otro (multiplicador).

Por ejemplo, queremos multiplicar 4 x 5.

Existen las llamadas tablas de multiplicar que nos ayudan a conocer los resultados de las multiplicaciones. Es muy importante recordar estas tablas.

Ahora, también podríamos tener sumas más complicadas, es decir, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 863 x 487

División

La división es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

Por ejemplo, queremos dividir 20 ÷ 5.

Puede darse el caso de divisiones más difíciles, o mejor dicho, entre cantidades más grandes, como por ejemplo el caso de 745 ÷ 12

Es muy importante saber las tablas de multiplicar también para realizar estas operaciones.

Potenciación

Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por si mismo la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se representa bⁿ, donde b es la base y n el exponente

Ahora voy a resolver la siguiente potencia: 5⁴.

Algunos ejemplos de potenciación:
2² = 2 x 2 = 4
4³ = 4 x 4 x 4 = 64
7⁵ = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 16807

Tenemos también dos casos especiales:
a) Cuando el exponente es cero:
    Si el exponente es cero, no importara cual sea la base, el resultado siempre será 1.
    Ejemplos:
    5⁰ = 1
    11⁰ = 1
    123⁰ = 1

b) Cuando el exponente es uno:
    Si el exponente es 1, el resultado será la base.
    Ejemplos:
    0¹ = 0
    3¹ = 3
    43¹ = 43

Radicación

Es una de las operaciones inversas de la potenciación y se representa por ⁿ√ , donde n es el grado del radical, √ es el signo radical y dentro de este ultimo ira un número denominado cantidad subradical.

Se buscara un número que elevado a un exponente igual al grado del radical me de como resultado la cantidad subradical.

Veamos el caso de ²√25:

Algunos ejemplos se detallan a continuación:
³√27 = 3        Porque 3³ = 27
³√64 = 4        Porque 4³ = 64
⁴√81 = 3        Porque 3⁴ = 81

Podemos profundizar más el tema, podemos ver el método para resolver una raíz cuadrada (grado 2).

 

Criterios de Divisibilidad

En esta parte del curso de aritmética se incluye todo lo referente a múltiplos, divisores, números primos, mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

En esta sección encontrarás:

1. Múltiplos y Divisores
2. Caracteres de Divisibilidad
3. Números Primos
4. Máximo Común Divisor
5. Mínimo Común Múltiplo

Múltiplos y Divisores

a) Múltiplos:
    Decimos que un número es múltiplo de otro cuando se puede dividir entre este.
    Por ejemplo, 8 es múltiplo de 2, porque si dividimos 8÷2 nos da resultado exacto.

    A continuación presentamos algunos ejemplos:
    20 es múltiplo de 5, porque 20÷5 nos da resultado exacto
    28 es múltiplo de 7, porque 28÷7 nos da resultado exacto
    81 es múltiplo de 3, porque 81÷3 nos da resultado exacto

b) Divisores:
    El divisor, también llamado factor o submúltiplo, es lo inverso al múltiplo.
    Por ejemplo, 4 es divisor de 24, ya que 24 se puede dividir entre 4.

    Algunos ejemplos de divisores:
    5 es divisor de 20, porque 20 se puede dividir entre 5
    7 es divisor de 28, porque 28 se puede dividir entre 7
    3 es divisor de 81, porque 81 se puede dividir entre 3

Caracteres de Divisibilidad

Evaluaremos algunas técnicas para conocer, por simple inspección, si un número es divisible por otro.

a) Divisibilidad por 2:
    Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o número par.

Ejemplo:
Podemos decir que 1184 es divisible por 2, ya que termina en número par.

b) Divisibilidad por 3:
    Un número será divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos nos de múltiplo de 3.

Por ejemplo, tenemos 6345, entonces hacemos 6+3+4+5= 18, y como 18 es múltiplo de 3, concluimos que 6324 es divisible por 3.

c) Divisibilidad por 4:
    Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4

Veamos un ejemplo:
El número 4548 es divisible por 4, porque sus dos últimas cifras forman 48 que es múltiplo de 4.

d) Divisibilidad por 5:
    Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco.

Por ejemplo, el número 530 es divisible por 5, ya que termina en 0.
Otro ejemplo seria el caso de 1995, número que también es divisible por 5, pues termina en 5.

e) Divisibilidad por 6:
    Un número es divisible por 6 cuando es divisible a la vez por 2 y por 3.

Por ejemplo, digamos que tenemos el número 2484. Como termina en número par podemos decir que es divisible por 2. Además al sumar sus cifras 2+4+8+4= 18 vemos que es divisible por 3. Como es divisible a la vez por 2 y por 3, concluimos que es divisible por 6.

g) Divisibilidad por 8:
    Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

Por ejemplo, el número 86064, es divisible por 8, ya que sus ultimas tres cifras forman 064 que es igual a decir 64, y este número es múltiplo de 8.

h) Divisibilidad por 9:
    Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos da como resultado múltiplo de 9.

Podemos decir entonces que el número 7893 es divisible por 9, ya que 7+8+9+3= 27 y dicho número es múltiplo de 9.

Números Primos

Un número primo es aquel que solamente es divisible por si mismo y por la unidad.

Algunos ejemplos son:
El número 2, solo es divisible por 2 y por 1
El número 3, solo es divisible por 3 y por 1
El número 17, solo es divisible por 17 y por 1

Máximo Común Divisor

El máximo común divisor (o simplemente MCD) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Tenemos una forma práctica para encontrarlo.

Si a la hora de querer hallar el MCD no encontramos ningún divisor común, el MCD será igual a la unidad: MCD = 1. Si por ejemplo queremos hallar el MCD de 21, 11 y 16, vemos que no tienen ningún divisor común a los tres, entonces su MCD = 1.

Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo, o simplemente MCM, de dos o más números es aquel número que contiene exactamente a cada uno de ellos.

Tenemos una forma práctica para hallarlo:

15 - 30 - 18	Queremos hallar el MCM de 15, 30 y 18
15 - 30 – 18 5     10     6	Buscamos un número que divida exactamente a todos los números, o en todo caso a la mayor cantidad posible. Tenemos al número 3 que puede dividir a todos, los resultados los ponemos abajo.
5     10     6 5       5     3	Buscamos un número que divida exactamente a 5, 10 y 6 o a la mayor cantidad posible de ellos (trabajaremos con 2 que puede dividir a 10 y a 6) y efectuamos las divisiones. Los resultados los ponemos abajo.
5       5     3 1       1     3	Ahora buscamos un número que divida exactamente a 5, 5 y 3 o a la mayor cantidad posible de ellos (resulta ser el número 5), efectuamos las divisiones y ponemos los números abajo.
1  1  3 1  1  1	Finalmente, buscamos un número que divida exactamente a 3 (los otros dos números ya fueron reducidos a su mínima expresión). Este número es 3. El resultado del MCM será el producto de todos los números que hemos ido encontrando: MCM = 3 x 2 x 5 x 3 = 90

Encontráremos algunos casos especiales en el MCM, por ejemplo:
a) Si los números dados son primos: Para hallar el MCM multiplico directamente todos los números.
    Por ejemplo: 3, 5 y 7 son números primos, entonces su MCM = 3 x 5 x 7 = 105

b) Si el mayor de los números es múltiplo de los otros: El MCM será el número mayor
    Por ejemplo, si tenemos 2, 4 y 16, vemos que 16 es múltiplo de 2 y de 4, entonces MCM = 16

 

 

Completa el siguiente cuadro, coloca un gancho (ü) donde sea válido algún criterio de divisibilidad

	DIVISIBLE POR
NÚMERO	2	3	4	5	6	8	9	10
693
450
180
365
537
422
4852
700
1075

 

Complete la siguiente tabla con los divisores comunes (DC) y con el Máximo Común Divisor de cada grupo de números (M.C.D.)

 

a	b	c	DC(a,b)	DC(a,b,c)	MCD(a,b)	MCD(a,b,c)
12	18	14
12	45	18
90	45	81
36	24	48
16	20	32
4	8	6

 

Complete la siguiente tabla con los múltiplos comunes (MC) y con el Mínimo Común Múltiplo de cada grupo de números (M.C.M)

 

a	b	c	MC(a,b)	MC(a,b,c)	MCM(a,b)	M.C.M(a,b,c)
14	38	45
21	39	60
7	10	108
25	48	60
11	33	66
13	19	39

 

Números Fraccionarios

Los números fraccionarios surgen de la necesidad de representar cantidades inexactas. Podríamos dar muchas definiciones sobre lo que es un número fraccionario, fracción o quebrado, pero básicamente una fracción es una forma de representar una división inexacta

En esta sección encontrarás:

1. Fracciones: Simplificación y Fracciones Equivalentes
2. Comparación
3. Adición y Sustracción
4. Multiplicación
5. División
6. Potenciación
7. Radicación

Fracciones: Simplificación y Fracciones Equivalentes

a) ¿Qué son las fracciones?:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, por lo general vienen de una división inexacta. Por ejemplo:

8 ÷ 5	El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8             5	El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número fraccionario

Ahora, este número fraccionario, o simplemente fracción tendrá sus partes definidas:
    8   ~>  es el numerador
    5   ~>  es el denominador

Además cabe resaltar que la raya o división central representa el operador matemático de división.

b) Números Mixtos:
Cuando el numerador sea mayor que el denominador, tendremos la posibilidad de representar la fracción como número mixto, es decir, una parte entera y otra parte fraccionaria. Veamos nuevamente nuestro caso:

8 ÷ 5	El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)
8 ÷ 5 = 8 5	El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número fraccionario o también como número mixto.
8 = 1  3 5        5	Para representarlo como número mixto debemos realizar la división. De ella el cociente o resultado será la parte entera y el residuo será el numerador de la parte fraccionaria
8 = 1  3 5        5	Nótese que el denominador no cambia. Este número se leerá como 1 entero (parte entera) y tres quintos (parte fraccionaria).

Claro que también podría darse el caso de que tengamos un número mixto y lo tengamos que llevar a su forma fraccionaria. Veamos el siguiente caso:

3  5     9	Tenemos tres enteros (parte entera) y cinco novenos (parte fraccionaria)
3  5     9	Para empezar, debemos multiplicar la parte entera por el denominador de la parte decimal, para nuestro caso haremos: 3 x 9 = 27
3  5     9	Al resultado que teníamos le añadimos (en otras palabras le sumamos) el numerador, para nuestro caso será: 27 + 5 = 32
3  5 = 32     9     9	El número que hemos encontrado, es decir, el 32 será el numerador de nuestra fracción. Nótese también que el denominador no cambiara.

c) Fracciones Equivalentes:
Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos fracciones que valen exactamente lo mismo aunque se escriban de diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar fracciones equivalentes y son por simplificación y por ampliación.

En este primer ejemplo veremos una simplificación:

Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones para tener una mejor presentación.

Pero ahora veamos un ejemplo de ampliación:

3 4	En esta fracción no se puede simplificar, pero si se podrá ampliar de acuerdo a lo que nos convenga.
3 ~> x3 ~>  9 4 ~> x3 ~> 12	Podemos multiplicar a ambos números por un mismo número (por ejemplo 3) y hallamos una fracción equivalente.

Comparación de Números Fraccionarios

En el caso ideal de comparación se tienen fracciones de igual denominador, entonces la de mayor numerador será la mayor. Por ejemplo:
4 y 5        la mayor de ellas es 5 porque tiene igual denominador pero mayor numerador.
7    7                                           7

Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de diferentes denominadores, entonces tendremos que hacer un par de multiplicaciones para determinar cual es mayor, cual es menor, o si son iguales:

Adición y Sustracción de Números Fraccionarios

Los números fraccionarios nos ofrecen la ventaja de poder trabajar sumas y restas al mismo tiempo. Para resolver una suma o resta debemos seguir los siguientes pasos:

3 + 5 - 2 4    3    9	En este ejemplo tenemos suma y resta a la vez. Lo primero que debemos hacer es hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3 + 5 - 2 4    3    9	El mínimo común múltiplo de 4, 3 y 9 es 36. Este número pasara a ser el denominador de mi respuesta.
3 + 5 - 2 =                4    3    9        36	Ahora tenemos que dividir el mínimo común múltiplo entre el primer denominador, es decir, 36 ÷ 4 = 9
3 + 5 - 2 =                4    3    9        36	Ese resultado que nos va dando lo multiplicamos ahora por el primer numerador, es decir, 9 x 3 = 27
3 + 5 - 2 = 27+         4    3    9        36	El 27 que nos da lo colocamos en el numerador y como después viene el signo más (+) en nuestra operación también lo colocamos
3 + 5 - 2 = 27+         4    3    9        36	Ahora trabajaremos de manera similar para la segunda fracción. Dividimos el mínimo común múltiplo entre el segundo denominador: 36 ÷ 3 = 12
3 + 5 - 2 = 27+         4    3    9        36	Ese resultado que nos va dando lo multiplicamos ahora por el segundo numerador, es decir, 12 x 5 = 60
3 + 5 - 2 = 27+60-     4    3    9        36	Colocamos el 60 en el numerador y colocamos el signo que viene a continuación, es decir, menos (-)
3 + 5 - 2 = 27+60-     4    3    9        36	Repetimos el mismo trabajo para la tercera fracción. Primero dividimos el mínimo común múltiplo entre el tercer denominador: 36 ÷ 9 = 4
3 + 5 - 2 = 27+60-     4    3    9        36	El resultado que nos da lo multiplicamos ahora por el tercer numerador, es decir, 4 x 2 = 8
3 + 5 - 2 = 27+60 -8    4    3    9        36	Finalmente colocamos 8 en el numerador. Solo nos faltara resolver la operación que se presenta en el numerador: 27 + 60 -8 = 79
3 + 5 - 2 = 79  4    3    9    36	El resultado de mi operación será el que dejo indicado. En este caso no se puede simplificar, pero si deseamos podríamos llevarlo a número mixto.

Multiplicación de Números Fraccionarios

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.

Si por ejemplo tenemos:
2 x 3 x 5            tendremos que multiplicar:    2 x 3 x 5 = 30
5    4   3                                                             5 x 4 x 3    60

Claro que aun podríamos simplificar:
30 = 1               (hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30)
60    2

Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:

2 x 3 x 5 5    4   3	Esta es la operación original
2 x 3 x 5 5    4   3	Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a ambos entre 2.
1 x 3 x 5 5    2   3	Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a ambos entre 3.
1 x 1 x 5 5    2   1	Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para ello dividimos a ambos entre 5.
1 x 1 x 1 = 1 1    2   1     2	Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada

División de Números Fraccionarios

Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación cruzada. Por ejemplo:
2 ÷ 3 = 8                (hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8)
5    4   15               (hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador 15)

También podemos convertir la división a multiplicación, para esto cada vez que veamos una operador ÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y cuando invirtamos la fracción que viene después del operador. Veamos el ejemplo anterior:
2 ÷ 3 =  2 x 4 = 8              (hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y además 
5    4      5   3   15              hemos invertido la fracción que venia después del ÷)

Lo más recomendable es llevarlo a multiplicación ya que así la operación la podemos hacer directamente sin importar la cantidad de fracciones que tengamos y además podemos simplificar antes de multiplicar. Por ejemplo:
4 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 1                    (si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo tendremos
5    2    5     3                     que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar antes)

4 x 2 x  5 x  3                    (ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver todo
5    3    2      1                    directamente y además podemos simplificar antes)

Solamente podemos simplificar antes de operar en la multiplicación

Potenciación de Números Fraccionarios

En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda ella.

Si por ejemplo tenemos:
(4)³ = 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
 3        3³    3 x 3 x 3    27

Pero si lo tenemos sin paréntesis:
4³ = 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
3      3            3           3

En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la potenciación de fracciones.

Radicación de Números Fraccionarios

En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo:
³√8   =   ³√8   =   2        (porque 2 x 2 x 2 = 8)
   27     ³√27        3        (porque 3 x 3 x 3 = 27)

Fracciones Decimales

Los números fraccionarios se pueden representar también como números decimales. En esta sección estudiaremos a fondo cuales son y como se trabaja con ellos.

En esta sección encontrarás:

1. Fracciones Decimales
2. Adición y Sustracción
3. Multiplicación
4. División
5. Potenciación
6. Conversión de Fracción a Decimal
7. Conversión de Decimal a Fracción

Fracciones Decimales

a) ¿Qué son las fracciones decimales?:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, y que presentan una parte entera y una parte decimal, mismas que se encuentran separadas por la coma decimal (,). Por ejemplo:

0,65	Este número es una fracción decimal o simplemente un decimal pues encontramos la coma decimal
0,65	La parte entera se encontrara a la izquierda de la coma decimal, en este caso será 0.
0,65	La parte decimal se encuentra a la derecha de la coma decimal, en este caso será 65.

Existen dos clases de decimales: los finitos y los infinitos.

b) Decimales Finitos:
Cuando la parte decimal tiene un final determinado y no va mas allá, decimos que se trata de un decimal finito.

El ejemplo anterior nos decía que teníamos 0,65. Aquí vemos que la parte decimal termina con el número 65 y no sigue por lo tanto se trata de un decimal finito.

c) Decimales Infinitos:
Son aquellos en los que la parte decimal no tiene un final determinado. Dentro de ellos tenemos dos que son muy importantes y son:
    c.1) Decimales Periódicos Puros:
    En ellos se repite siempre el mismo número o periodo. Por ejemplo:

    c.2) Decimales Periódicos Mixtos:
    Encontramos una parte que no se repite y otra que se repite infinitas veces.

 

Adición y Sustracción de Decimales

Podemos sumar y restar decimales de una manera simple y directa siempre y cuando los ordenemos de acuerdo a la coma decimal. Por ejemplo, digamos que queremos sumar 18,36 con 1,172:

Veamos ahora el caso de una resta, por ejemplo 5 - 1,976:

 

Multiplicación de Decimales

En la multiplicación de decimales no importara la cantidad de decimales que se tengan, no será necesario ni recomendable completar con ceros, simplemente tenemos que empezar a realizar la multiplicación sin importarnos la cantidad de decimales que se tengan. Si por ejemplo quisiéramos multiplicar 3,87 x 18,9:

 

División de Decimales

Para dividir números decimales debemos tener exactamente la misma cantidad de decimales en el dividendo como en el divisor. Por ejemplo:

Claro que también puede darse el caso que tengamos fracciones con diferente cantidad de decimales. Por ejemplo:

Recuerda que cuando tengas residuo debes aumentar la coma decimal y automáticamente se coloca cero al costado de ese residuo.

Potenciación de Decimales

Simplemente debemos observar la definición fundamental de potencia, misma que dice que: Una potencia es una multiplicación sucesiva, donde un número (base) se multiplica por si mismo la cantidad de veces que lo indica otro número (exponente). Por lo general se representa bⁿ, donde b es la base y n el exponente.

Entonces si tenemos un número cualesquiera elevado a una potencia, significara que debemos multiplicarlo por si mismo la cantidad de veces que la potencia lo indique. Por ejemplo:
(3,11)³ = 3,11 x 3,11 x 3,11
(3,11)³ = 3,11 x 3,11 x 3,11
(3,11)³ = 9,6721 x 3,11
(3,11)³ = 30,080231

Conversión de Fracción a Decimal

Podemos convertir una fracción a decimal si dividimos el numerador entre el denominador. Esto lo podemos realizar para cualquier fraccionario que tengamos.

Por ejemplo, queremos convertir a decimal la fracción 5
                                                                                              2

Veamos otro ejemplo, queremos convertir a decimal la fracción 2
                                                                                                              3

 

Conversión de Decimal a Fracción

En este caso tendremos tres posibilidades, una para cada tipo de decimal estudiado en el apartado 1.

a) Decimales Finitos:
    Veamos directamente un ejemplo para entenderlo mejor:

Se coloca el número sin coma decimal como numerador y en el denominador se coloca 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga el número en su forma decimal.

b) Decimales Periódicos Puros:
    Veremos un ejemplo para entenderlo mejor:

Se formara primero un Número Mixto, se separa la parte entera y la parte decimal ira como numerador y en el denominador se colocaran tantos nueves como decimales tenga el periodo del decimal.

c) Decimales Periódicos Mixtos:
    Vayamos directamente a un ejemplo:

5,246	Tenemos un decimal periódico mixto, en el 2 es la parte que no se repite y 46 es la parte que se repite infinitas veces.
5,246	Son dos los decimales que se repiten.
5,246	Es un solo decimal el que no se repite.
5 246 -2      990	Separamos la parte entera de la decimal. En el numerador restare toda la parte decimal menos la parte que no se repite. En el denominador colocare un 9 por cada número que se repite y un 0 por cada número que no se repite.
5  244     990	Efectuamos la resta y llegamos a este número mixto que se presenta. Podemos aún simplificar la parte fraccionaria.
5  122     495	Una vez simplificado podríamos llevarlo a su forma fraccionaria aún, para lo cual seguiremos el procedimiento de llevar un número mixto a fracción
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1. Conceptos Geométricos Básicos

1.1 LUGAR GEOMÉTRICO: es un punto o conjunto de puntos (Plano Geométrico, Recta, semirrecta, segmento de recta, rayo, cuerda, etc.) que tiene propiedades.

Los puntos, rectas y planos son conceptos geométricos que no tienen una definición formal, es decir, la idea que tenemos de ellos están sugeridos por objetos reales.

1.2 EL PUNTO: (lugar geométrico que no tiene dimensión, solo posición) en geometría la idea de punto está sugerida por:

ü       La señal que deja sobre el papel la punta bien afilada de un lápiz.

ü       El hueco o marca que produce la punta de un alfiler sobre un objeto cualquiera.

ü       La marca que se hace en el tablero con la tiza.

ü       O un granito muy pequeño de arena.

Todas estas ideas nos sugieren la idea de punto geométrico. El punto es una idea abstracta. Es imposible dar una definición real y formal de un punto, de modo que en nuestro estudio de geometría, el punto es uno de los conceptos no definidos.

Para designar (nombrar), los puntos se emplean letras mayúsculas, o por un círculo o una cruz sobre un trazo.

                . A          x  B; representan al punto A y el punto B

ü       El punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión. ü      Un punto tiene únicamente posición, no tiene longitud, extensión, ni espesor. ü       Hay infinitos puntos.

1.3 LA RECTA

Al igual que representamos a un punto, al hacer una marca, también mediante la consideración de objetos concretos podemos llegar al concepto de recta. Nos dan idea de recta geométrica:

     Un rayo luminoso.

     El hilo tenso de una plomada.

      Al dibujar sobre el papel un trazo con lápiz, teniendo como guía el borde de una regla.

      El borde de la hoja de un libro.

   El doblez en una hoja.

Establecidos los objetos que nos sugieren el concepto de línea podemos decir que la recta es un conjunto infinito de puntos, que se prolonga (extiende) sin limites en direcciones opuestas y no termina en ningún punto determinado.

La recta la denotamos (designamos) por dos de sus puntos sobre ella con letras mayúsculas o bien por una letra minúscula cerca de ella, o con el símbolo             encima de dos de sus puntos.

                               _______________________________    l

                                     A         B          C          D

Así, tenemos la recta AD o la recta DA o la recta l que pasa por los puntos A, B, C y D para mencionar algunos, lo que también se puede designar por AD; donde los puntos A, B, C y D se llaman puntos colineales, ya que pertenecen a la misma recta. Sin embargo el punto F no pertenece a este conjunto, por tanto es un punto no colineal.

Una recta se extiende sin límites en direcciones opuestas y no termina en ningún punto. Una recta es ilimitada. Por dos puntos para una recta y solamente una. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto en común. Una recta no tiene anchura (espesor) Una recta solo tiene una dimensión: Largo A la recta se le considera como un conjunto infinito de puntos.

Existen tipos especiales de conjuntos de puntos, entre los cuales podemos mencionar:

ü       La línea recta. (horizontal y vertical)

ü       La línea curva.

ü       La línea quebrada.

ü       La línea mixta. 

REPRESENTE CADA TIPO

línea recta	línea curva	línea quebrada	línea mixta

1.4 EL PLANO

Cualquier superficie plana, como una hoja de papel, la cubierta de una mesa, el piso del salón, una puerta, el tablero, los espejos, etc., nos sugieren la idea de plano en geometría. Plano por consiguiente la conceptualizaremos como el conjunto de todos los puntos que conforman un espacio de dos dimensiones (largo y ancho).

Un plano, en matemáticas, se imagina de extensión ilimitada. Se suele representar por una figura cerrada, generalmente un paralelogramo. Ocasionalmente se usan otras formas, aunque el plano tenga dos dimensiones ilimitadas, y se nombran por tres de sus puntos no alineados o por una letra griega.

 

                Plano R                                             Plano R S                                            Plano ά

Si tomamos una hoja de papel, que nos sirve para representar un plano y la doblamos formando un pliegue. Desdoblando el papel, se revela una marca. Esta marca que hemos dejado al doblar el papel nos divide el plano en dos semiplanos.

 

Es decir al trazar una recta que corte al plano en dos porciones quedan determinados dos semiplanos.

 

2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

 2.1 SEGMENTOS: si en la recta l, se consideran dos puntos cualesquiera A y el B,

 2.1 SEGMENTOS: si en la recta l, se consideran dos puntos cualesquiera A y el B,

                 _______________________________    l

                              A                              B

 

 

 

La porción de la recta l formada por esos dos puntos y todos los puntos comprendidos entre ellos, se llama segmento AB.

 

________

A           B

Un segmento AB es el conjunto de puntos que contiene a  A, B y todos los puntos entre A y B. La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une. Se dice que dos segmentos son consecutivos si tienen un extremo en común

2.1.1 MEDIDA DE SEGMENTOS: Medir un segmento es compararlo con otro elegido como unidad.

2.2 RAYO: es el conjunto de todos los puntos que pertenecen al segmento AB y a su prolongación por extremo B. Esta misma definición se aplica para el rayo BA.

                                           A                                 B

2.3 SEMIRRECTA: si al rayo AB le quitamos el origen A, el resto de los puntos reciben el nombre de semirrecta.

                       A                                          B

La semirrecta se denotará AB y se lee semirrecta AB.

PRUEBA DE CONOCIMIENTOS

1. ¿Cuántos extremos tiene un segmento?

2. ¿Cuántos extremos tiene un rayo?

3. ¿Cuántos extremos tiene una recta?

4. ¿Cuántos extremos tiene una semirrecta?

5. Nombre el o los puntos extremos del SEGMENTO AB.

6. ¿Nombran AB y BA el mismo segmento?

7. Nombre el o los extremos de PQ.

8. ¿Nombran ST y TS al mismo rayo? Explique

9. Nombra tres segmentos de la figura.

                            ________________________

                                    S             T              R

INVESTIGACIÓN

1. ¿Qué son segmentos consecutivos?

2. ¿Qué son segmentos adyacentes?

3. ¿Qué son segmentos disjuntos?

4. ¿Qué son segmentos incidentes?

5. Representa gráficamente 

a) Segmentos Consecutivos

b) Segmentos Adyacentes

c) Segmentos Disjuntos

d) Segmentos Incidentes.  (Elabora un cuadro como el siguiente)

Segmentos Consecutivos	Segmentos Adyacentes	Segmentos Disjuntos	Segmentos Incidentes

6. ¿Qué es el vértice?

7. ¿Qué es un ángulo?

8. ¿Cuáles son los elementos de los ángulos?

9. ¿Cómo se denotan los ángulos? Esboce un ejemplo para cada patrón

 UNIDAD DE APRENDIZAJE No. 2

1. Concepto de Ángulo

INVESTIGACIÓN

1. ¿Qué es un ángulo?

2. Los elementos de un ángulo son:

a.___________________

b.___________________

3. En una hoja aparte traza una ángulo e identifica sus elementos

4. El instrumento para medir los ángulos es el: ______________________

5. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90°, entonces cada ángulo es el _________________ del otro.

6. Un ángulo cuya medida es menor que 90° se llama  __________________

7. Un ángulo cuya medida es mayor que 90° se llama ___________________

8. Un ángulo cuya medida es 90° se llama _______________________

9. La suma de las medidas de dos ángulos complementarios es ________; la suma de las medidas de dos ángulos suplementarios es _____________

10. Los ángulos con medidas iguales se llaman __________________

11. Los sistemas de unidades de medidas de ángulos son:

a.  _______________________

b. _______________________

c. _______________________

 

1.2 Medición de Ángulos

 

INVESTIGACION

1. ¿Qué es medir un ángulo?

2. ¿Qué instrumento se utiliza para medir los ángulos?

3. ¿Cuáles son los sistemas de unidades de medidas angulares? Menciónelos.

4. ¿Cómo están divididos los diferentes sistemas de unidades de medidas de ángulos?

5. ¿Cuál es la relación entre el grado sexagesimal y el radián?

 

PROCEDIMIENTO PARA LA MEDICIÓN DE ÁNGULOS. 

1. Colocamos el centro del transportador sobre el vértice del ángulo y el punto 0 de una de las escalas sobre uno de los rayos.
2. Usamos la escala que comienza en ese 0, para averiguar el número de grados que marca el otro rayo.
3. Si los lados del ángulo que se está midiendo no tienen la longitud suficiente, se prolonga tanto como sea necesario.
4. Se lee en el transportador el número de grados.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

INSTITUTO PROFESIONAL Y TÉCNICO NOCTURNO DE COLÓN

 

Material para la entrega de trabajos

 

I.               Investigue, dibuje y defina que es una:

 

Línea recta	línea curva	línea quebrada	línea mixta

 

INVESTIGACIÓN

 

1.            ¿De cuántas maneras se pueden denotar los ángulos?

2.            ¿Explique cada una de ellas?

3.            ¿Qué es un ángulo anterior?

4.            ¿Qué es un ángulo exterior?

5.            Dibuje y defina

Ángulos consecutivos	Ángulos adyacentes	Ángulos opuestos por el vértice

 

INVESTIGACIÓN

 

1.            ¿Qué es un polígono?

2.            ¿Qué es la poligonal?

3.            ¿Cómo se le llaman a los segmentos de rectas de la poligonal?

4.            ¿Cómo se le llama al punto donde se unen los segmentos (lados)?

5.            ¿Cómo se llama al área comprendida entre dos de los lados consecutivos del polígono?

6.            ¿Cómo se le llama al segmento (rayo) que une dos vértices no consecutivos de un polígono?

 

INVESTIGACIÓN

 

1.            ¿Cómo se le llama al polígono de:

a.             tres lados;

b.            cuatro lados;

c.             cinco lados;

d.            seis lados;

e.             siete lados

f.              ocho lados; dibújelos

 

 

INVESTIGACIÓN

 

1.            ¿Qué es un polígono regular?

2.            ¿Qué es un polígono irregular?

3.            ¿Qué es un triángulo?

4.            ¿Cuántos lados, ángulos y vértices tiene un triángulo?

5.            ¿Cómo se denotan las triángulos?

6.            ¿Qué son ángulos interiores y exteriores?

 

 

INVESTIGACIÓN

 

1.            ¿Que es la altura de un triángulo?

2.            ¿Que es la mediana de un triángulo?

3.            ¿Que es la bisectriz de un triángulo?

4.            ¿Que es la mediatriz de un triángulo?

5.            Complete el siguiente cuadro con las tres alturas, medianas, bisectrices y mediatrices y diga ¿cómo se llama el punto donde se intersecan cada segmento?

 

SEGMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

 

alturas	medianas	bisectrices	mediatrices

 

 

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIANGULOS

Dibuje y defina

 

Clasificación  por sus ángulos	Acutángulo	Obtusángulo		Equiángulo		Rectángulo
Clasificación por sus lados	Equilátero		Isósceles		Escaleno

 

 

Sistemas de Unidades de Medidas

Medir significa compara una magnitud con otra que se toma como patrón a la cual denominaremos unidad.

La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad.

Los sistemas de unidades de medidas se utilizan para comparar magnitudes de longitud (largo o ancho), peso y capacidad; que son las mas importantes pues no las únicas pues existen otras magnitudes como el tiempo, la temperatura, la intensidad de corriente eléctrica, la intensidad luminosa, la cantidad de materia, el ángulo, el volumen, etc.

A un conjunto de unidades principales y secundarais de unidades se les da el nombre de sistemas de unidades de medidas.

La observación de un fenómeno es en general incompleta a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física.

Magnitud	Nombre	Símbolo
Longitud	Metro	m
Masa	Kilogramo (kilo)	Kg.
Tiempo	Segundo	s
Volumen	litro	l
Intensidad de corriente eléctrica	Ampere	A
Temperatura termodinámica	Kelvin (grados)	K
Cantidad de sustancia	Mol	mol
Intensidad luminosa	Candela	Cd

 

INVESTIGACIÓN

1. ¿Diga cuáles son las unidades de longitud, masa, tiempo, volumen que se utilizan como patrón en Panamá?
2. ¿Qué otras unidades de medidas se utilizan en nuestro territorio?
3. Investigue y elabore un cuadro cada unidad de medida (longitud, masa, tiempo, volumen). Utilice el siguiente cuadro como patrón para cada unidad.

 

Nombre de la unidad		Abreviatura	Vale
MULTIPLOS
UNIDAD PRINCIPAL
SUBMULTIPLOS

Instrucciones: coloque el nombre de la unidad en la casilla UNIDAD PRINCIPAL; enliste de mayor a menor los múltiplos y submúltiplos.

Números Enteros

Rápidamente nuestro sistema numérico quedo limitado, pues no nos permitía representar numéricamente muchas cosas, como por ejemplo, una deuda, una temperatura bajo cero o un saldo en contra. Para solucionar este problema aparecen los números enteros, mismos que pueden ser positivos o negativos.

En esta sección encontrarás:

1. Números Enteros Positivos y Negativos
2. Comparación
3. Adición y Sustracción
4. Multiplicación
5. División
6. Potenciación

Números Enteros Positivos y Negativos

a) Números Enteros Positivos:
Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.
El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8
El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24
Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).

b) Números Enteros Negativos:
Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.
El número -8 es un entero negativo.
El número -24 es un entero negativo.
Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.

c) Valor Absoluto:
El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo.
Para hallar el valor absoluto de -33:    |-33| = 33
Para hallar el valor absoluto de +15:   |+15| = 15

Comparación de Números Enteros

Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:
a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.
Por ejemplo:
4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo.
+3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.

b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad.
Por ejemplo:
+5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3.
16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8.
+13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.

c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad.
Por ejemplo:
-2 es mayor que -5, ya que 2 representa meenor cantidad que 5.
-11 es mayor que -13, ya que 11 representaa menor cantidad que 13

Adición y Sustracción de Números Enteros

Tendremos dos posibilidades, las cuales son:

a) Si tenemos números de igual signo:
Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.

Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11

Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21

b) Si tenemos números de signos diferentes:
Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.

Veamos: 35 -46

Otro ejemplo: -12 +28

Multiplicación de Números Enteros

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:

Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5

(-20) (5)	Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.
(-20)(+ 5)	En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.
(-20)(5) = -100	Según la ley de los signos negativo por positivo es negativo
(-20) (5) = -100	Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo

Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.

División de Números Enteros

Cuando tengamos que dividir números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a dividir los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos (que es prácticamente la misma que la que utilizamos en multiplicación):

Por ejemplo, queremos dividir (-80) ÷ (-5)

(-80) ÷ (-5)	En esta operación tanto -80 como -5 son números negativos.
(-80) ÷ (-5) = 16	Según la ley de los signos cuando se dividen cantidades de igual signo el resultado es positivo
(-80) ÷ (-5) = 16	Recordando siempre que cuando un número es positivo no es necesario ponerle signo

El mismo procedimiento se empleara para cualquier caso de división de números enteros o con signo que se nos presente.

Potenciación de Números Enteros

Ya hemos definido previamente lo que es la potenciación, por lo cual en esta sección nos orientaremos a definir que signo llevara la respuesta de una potencia.

Si el exponente es un número positivo (recordando que cuando no tiene signo es número positivo también), podemos afirmar que de acuerdo al signo de la base y si el exponente es número par o impar, tendremos:

Por ejemplo:
16³ = 16 x 16 x 16 = 4096
-14² = -14 x -14 = 196
-17³ = -17 x -17 x -17 = -4913<

Ahora, pasara diferente si el exponente es negativo. Cuando encontremos un exponente negativo haremos lo siguiente:

Razones y Proporciones

Las razones y las proporciones son el resultado de comparar dos cantidades. Veremos cada una de ellas y además veremos su aplicación más conocida: la regla de tres.

En esta sección encontrarás:

1. Razones y Proporciones
2. Magnitudes Proporcionales
3. Regla de Tres Simple
4. Regla de Tres Compuesta

Razones y Proporciones

a) Razón o Relación:
Se llaman así al resultado de comparar dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente. Estas cantidades las presentaremos en forma fraccionaria (aunque no es exactanete una fracción), de la siguiente manera:
                        antecedente
                        consecuente

Por ejemplo si tenemos la razón de 7 a 4, el antecedente será 7 y el consecuente será 4.
Nuestra razón quedara: 7
                                         4

b) Proporciones:
Las llamamos así cuando tenemos una pareja de razones que son iguales.
Por ejemplo, tenemos: las razones 2 es a 3 y 6 es a 9.
Se escribirán: 2 y 6
                         3    9

Entonces las comparo (como si se tratara de fracciones comunes):
2     6                        Recordemos que en comparación de fracciones multiplico cruzado
3     9                        Tenemos entonces que 2 x 9 =18 y 6 x 3 = 18

Como los resultados son iguales (en ambos casos es 18) podemos afirmar que son fracciones equivalentes, pero además están formando una proporción. La proporción se lee 2 es a 3 como 6 es a 9.

En las proporciones encontramos los extremos y los medios. Extremos para nuestro caso son 2 y 9 (en rojo), mientras que los medios son 6 y 3 (en azul).

Magnitudes Proporcionales

Las magnitudes proporcionales pueden ser de dos clases:

a) Magnitudes Directamente Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra también debe ser multiplicada por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra también debe ser dividida por el mismo número.

Por ejemplo si tenemos: 7
                                           4

Se quiere formar una proporción, entonces tendremos que multiplicar o dividir por el mismo número tanto a 7 como a 4:
7  ~> x4 ~>  28
4  ~> x4 ~>  16

Hemos formado: 7 = 28                Nótese que en este caso ambas cantidades aumentan
                              4    16

Son magnitudes directamente proporcionales:
- El tiempo y las unidades de trabajo reallizadas (a mayor tiempo, mayor trabajo realizado)
- La cantidad y el precio (a mayor cantidaad, mayor precio)
- El peso y el precio (a mayor peso, mayorr precio)
- El tiempo de trabajo y el sueldo de un ttrabajador (a mayor tiempo, mayor sueldo)
- El espacio con la velocidad (recorremos mayor distancia si vamos a mayor velocidad)
- El espacio con el tiempo (recorremos mayyor distancia en mayor tiempo)

b) Magnitudes Inversamente Proporcionales:
Son dos magnitudes tales que, multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número; o dividiendo a una de ellas por un número, la otra debe ser multiplicada por el mismo número.

Por ejemplo si tenemos: 4
                                           7

Queremos formar una proporción (empleando el criterio de magnitudes inversamente proporcionales:
4  ~> ÷4 ~>   1                Nótese que mientras una cantidad aumenta la otra disminuye
7  ~> x4 ~>  28

Son magnitudes inversamente proporcionales:
- El número de obreros y el tiempo para reealizar una obra (mas obreros, menos tiempo)
- Las horas de trabajo y los días que se ttrabaja (mas horas, menos días)
- La velocidad y el tiempo (a mayor velociidad, menor tiempo en recorrer una distancia)

Regla de Tres Simple

La regla de tres simple se apoya en los criterios de las magnitudes proporcionales, entonces tendremos dos clases:

a) Regla de Tres Simple Directa:
Esta se utiliza para magnitudes directamente proporcionales.

Por ejemplo, si tenemos que 5 libros me cuestan 26 soles, queremos saber cuanto costaran 15 libros

Supuesto        5 libros    ~>    S/. 26
Pregunta        15 libros  ~>         x

Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar cruzado los datos que si tenemos:
Supuesto        5 libros    ~>    S/. 26
Pregunta        15 libros  ~>         x                                        15 x 26 = 390

Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado:
Supuesto        5 libros    ~>    S/. 26
Pregunta        15 libros  ~>         x                                        390 ÷ 5 = 78

Finalmente decimos que 15 libros nos costaran 78 soles.

b) Regla de Tres Simple Inversa:
Esta se utiliza para magnitudes inversamente proporcionales.

Por ejemplo, si 4 obreros hacen una pequeña construcción en 12 días, ¿cuántos días demoraran 6 obreros?

Supuesto        4 obreros    ~>    12 días
Pregunta         6 obreros    ~>         x

Para hallar el valor de x, empezamos a multiplicar directamente los datos que si tenemos:
Supuesto        4 obreros    ~>    12 días
Pregunta         6 obreros    ~>         x                                        4 x 12 = 48

Y ahora dividimos la cantidad obtenida entre el número que aún no habíamos empleado:
Supuesto        4 obreros    ~>    12 días
Pregunta         6 obreros    ~>         x                                        48 ÷ 6 = 8

Finalmente decimos que 6 obreros completaran su trabajo en 8 días.

Regla de Tres Compuesta

Es una aplicación sucesiva de la regla de tres simple. Debemos tener mucho cuidado al ver si estamos trabajando con regla de tres simple o regla de tres compuesta, por ello es recomendable hacerlo por partes.

Veamos un ejemplo:
Si 3 hombres avanzan 80 metros de una obra en 15 días, ¿cuantos días necesitaran 5 hombres para avanzar 60 metros de la misma obra?

Distinguimos en nuestro ejemplo:
Supuesto        3 hombres    ~>    80 metros    ~>    15 días
Pregunta         5 hombres    ~>    60 metros    ~>         x

Podemos decir que la relación entre cantidad de hombres y días trabajados esta formando una regla de tres simple inversa (a mayor cantidad de hombres menos días), entonces podríamos decir:
3 x 15
    5

Además sabemos que la cantidad de hombres y la cantidad de trabajo avanzada forman una regla de tres simple directa (a mayor cantidad de hombres, mas trabajo se puede realizar, entonces:
3 x 15 x 60   =   2700   = 6,75
    5 x 80              400

Entonces decimos que el trabajo se realizara en 7 días (hemos redondeado)

 

TANTO POR CIENTO

Una de las aplicaciones más frecuentes de la proporcionalidad es el cálculo de tanto por ciento o porcentaje. Este concepto está ligado con el de razón geométrica, ya que el tanto por ciento es una razón que establece en base a 100 partes de una cantidad y se indica por el símbolo %.

Es decir, el tanto por ciento de un número es una o varias partes iguales en que se puede dividir dicho número.

Entre las aplicaciones del tanto por ciento podemos señalar; los problemas sobre descuentos en compras y en ventas, intereses bancarios y financieros, comisiones, impuestos, ganancias y pérdidas.

CONVERSIÓN DE UN DECIMAL A TANTO POR CIENTO

Para convertir decimales a tanto por ciento se corre la coma decimal dos lugares hacia la derecha y se le agrega el signo %

Ejemplo

1.              0.07 = 0.07 x 100% = 7%

2.              0.045 = 0.045 x 100% 4.5%

3.              0.25 = 0.25 x 100% = 25%

4.              6.26 = 6.26 x 100% = 626%

Esto concepto de correr la coma decimal se debe a que al multiplicar un decimal por

100; la coma decimal queda ubicada dos lugares a la derecha del numeral.

CONVERSIÓN DE TANTO POR CIENTO A FRACCIÓN COMÚN

Para convertir un tanto por ciento a fracción común, se elimina el signo % y se cambia escribe una fracción donde la cantidad será el numerador y el denominador será 100. Es necesario indicarle que al eliminar el símbolo %, la cantidad se multiplico por 100. Por ello si el numeral es un decimal la multiplicación se hará por 1000, 10000; dependiendo de los decimales que aparecen.  Si la fracción así estructurada es reducible se simplifica, se simplificará hasta obtener una fracción irreducible

Ejemplo

1.              40% =  40  =    2 

                     100       5

2.              75% =  75  =    3 

                     100       4

Para convertir fracciones a tanto por ciento; se divide el numerador entre el denominador, este cociente se multiplica por 100 y se le coloca el símbolo de %

Ejemplo

1.               1  = 0.2 x 100% = 20%

 5

2.              = 0.83 x100 = 83.33%

CONVERSIÓN DE TANTO POR CIENTO A DECIMALES

Para convertir un tanto por ciento a decimal, se corre el punto dos lugares hacia la izquierda y se elimina el signo de tanto por ciento.

Ejemplo

1.  45% = 0.45              2.  7% = 0.07                3.    5.5% = 0.055                4.  150% = 1.50

 

ESTRATEGIA PARA LA EVALUACIÓN

 

Se propone tres estrategias para la evaluación:

 

1.             Autoaprendizaje

2.             Coevaluación

3.             Evaluación unidireccional

 

Autoevaluación (apreciación): en ella se evaluarán los siguientes criterios:

a.       Puntualidad

b.      Participación

c.       Desempeño

 

La coevaluación: se hará a través de una hoja de cotejo donde se verificará el aprendizaje de los contenidos, procesos y habilidades.

 

La evaluación unidireccional se hará a través de ejercicios cortos, investigaciones y un examen trimestral en este se verificará los conceptos, procesos y operaciones que se incluyen en la unidad.

 

 

BIBLIOGRAFÍA

 

Diana de Lajón                                           Matemáticas I

Ricardo Lajón

 

Editorial Santillana                                      Matemática 7

 

Editorial Bruño                                           Base 7 Matemáticas

 

Ministerio de Educación                              Aprendo Matemáticas

Universidad de Panamá

 

Panamá Solís                                              Matemática para 1er año

Diana de Lajón

 

Editorial Norma                                          Matemática Progresiva

 

Aurelio Baldor                                            Aritmética

 

Félix H. Cuevas                                          Matemática de Vto. Grado

 

Félix H. Cuevas                                          Introducción al Álgebra

 

Félix H. Cuevas                                          Álgebra