Publicado en Juventud Técnica Digital, Julio 30 2012

http://www.juventudtecnica.cu/Juventud%20T/2012/mundobit/paginas/tomografia.html

Las matemáticas y la tomografía

por Arnaldo González Arias

Por insólito que pueda parecer a algunos, las ideas básicas que se emplean como fundamento de los modernos métodos tomográficos tienen casi 100 años.  Fueron descritas en 1917 por el matemático Johann Radon, en un trabajo estrictamente teórico donde presentó lo que hoy se conoce como la Transformada de Radon. [1] 

Pero vayamos por partes.

De las más de veinte técnicas tomográficas que existen en la actualidad [2] sin dudas las más conocidas son la Tomografía Axial Computarizada (TAC) y la formación de Imágenes por Resonancia Magnética (IRM), muy comunes en los hospitales para obtener información visual e inmediata del interior del cuerpo humano.  Sin embargo, es menos conocido que las técnicas tomográficas también se aplican en otras muy diversas áreas del conocimiento como la arqueología, la geofísica, la oceanografía, la astrofísica, la biología y la ciencia de materiales.

El término tomografía proviene del griego tomos (corte o rebanada) y grafein (escribir). El procedimiento mediante el cual se obtienen las imágenes del interior de los objetos, en dos y tres dimensiones, se denomina reconstrucción tomográfica. 

La formación de Imágenes por Resonancia Magnética sigue un principio similar a la Tomografía Axial Computarizada, descrita en detalle más adelante, pero en vez de rayos X la IRM emplea ondas de radio de alta frecuencia para escanear al paciente. También existen técnicas médicas tomográficas que usan una fuente emisora de radiación dentro del sujeto, no en su exterior.  Ese es el caso de la Tomografía de Emisión de Positrones (TEP), que mide la radiación gamma emitida durante un proceso de aniquilación electrón-positrón en el interior del organismo.  Los compuestos radiactivos que generan la radiación se inyectan al paciente en el momento del análisis tomográfico y tienen un período de actividad muy corto.

  Otras técnicas emplean distintos agentes o principios físicos; también existen, entre otras, la Tomografía de Microscopia Confocal Láser, la de Inducción Magnética, la de Capacitancia, la de Resistividad, la de Impedancias, la Acústica Oceánica, la Sísmica, la Zeeman-Doppler y la Tomografía Cuántica. 

En la Tomografía de Impedancias se obtiene una imagen de la conductividad eléctrica interna de una parte específica del cuerpo humano a partir de múltiples mediciones superficiales.  Para ello se colocan electrodos en la piel del sujeto y se aplica una corriente alterna muy pequeña.  Los voltajes resultantes se registran y el proceso se repite para muchas configuraciones diferentes de los electrodos.

La Tomografía Óptica se emplea de forma similar a la de Rayos X cuando el objeto de estudio es semi-transparente.  Emplea pulsos de luz de gran intensidad en la región roja o infrarroja del espectro, donde el coeficiente de transmisión luminosa de los tejidos es mayor.  Funciona mejor en tejidos que poseen mayor transparencia; por ejemplo, en los mamas o en el cerebro.

En la Tomografía Sísmica se usan explosiones controladas para registrar las ondas T (transversales o de cizallamiento) y las ondas P (longitudinales o de presión) que acompañan a los terremotos, usando un conjunto de sismómetros como sensores.  Al medir las diferencias del tiempo de llegada de las ondas de diverso tipo a cada sensor, se logra identificar las regiones del subsuelo donde éstas avanzan más lento o más rápido.  Con esos datos se puede levantar un mapa tridimensional de las características físicas del terreno en profundidad.  Si el procedimiento se aplica a las ondas sísmicas naturales se obtiene información sobre las características térmicas del planeta en las capas más profundas.

En la actualidad algunas de estas técnicas se emplean de forma simultánea en un mismo instrumento, como es el caso de la TAC y la IRM combinadas.

¿Cómo se adquieren los datos en un tomógrafo?

Resulta conveniente seleccionar la Tomografía Axial Computarizada como ejemplo ilustrativo de la reconstrucción tomográfica de imágenes. 

Radiografía convencional.  En una radiografía convencional, la región del cuerpo que se desea ‘fotografiar’ se irradia empleando una fuente emisora de Rayos X en reposo, capaz de ‘iluminar’ de forma más o menos homogénea la región deseada. Al atravesar el cuerpo, la radiación forma una imagen en la placa fotográfica o pantalla detectora ubicada del otro lado del sujeto, que también se encuentra en reposo.  Las regiones claro-oscuras de la radiografía ya procesada corresponden a la menor o mayor opacidad de los Rayos X en cada región atravesada por el haz; es mayor en los huesos y menor en los tejidos blandos.  Note que en las radiografías convencionales siempre se emplea el negativo de la foto, por lo que los contrastes aparecen invertidos.  Es por eso que los huesos, más opacos a los Rayos X, se ven más claros que el tejido blando que los rodea.  En resumen: en una radiografía convencional la fuente emisora genera un haz de Rayos X capaz de iluminar la región deseada en su totalidad. El sujeto, la fuente emisora y el detector no cambian de posición mientras se realiza la radiografía.

Tomografía. En un tomógrafo de Rayos X tanto el paciente como la fuente y el detector están en movimiento durante el registro de datos.  Una camilla móvil desplaza la región de interés a través de una abertura circular, donde se encuentra el sistema de formación de imágenes (figura 1).  Mientras la camilla y el paciente avanzan, la fuente de Rayos X rota en la parte interior de la abertura, generando un haz de pequeño grosor en forma de abanico.  Este haz cubre una sección transversal muy estrecha del paciente, de 1 a 10 mm según el equipo de que se trate, y es perpendicular al movimiento de la camilla. 

El resultado de los movimientos combinados es una espiral que permite recoger información de la parte deseada del cuerpo en forma continua, desde todas las direcciones posibles en cada plano de rotación (figura 2). Los datos tomados en cada circunferencia, después de procesados, proporcionan una imagen bidimensional de la correspondiente sección transversal, denominada ‘rebanada’ o ‘corte’ (figura 3) [3].  Estos ‘cortes’ se recombinan posteriormente para formar una imagen de tres dimensiones.

Componer la imagen tomográfica del ‘corte’ a partir de los datos registrados en los detectores requiere de una enorme cantidad de cálculos que hacen imprescindible el uso de una computadora; de ahí el nombre ‘computarizada’. Algo similar sucede con la formación de la imagen tridimensional a partir de los ‘cortes’.

 Figura 2.  Al avanzar la camilla el haz va barriendo la parte del cuerpo a analizar.  La información que se obtiene al barrer cada circunferencia se procesa matemáticamente para formar una imagen en dos dimensiones (una ‘rebanada’ o ‘corte’ transversal del paciente).  Combinando las imágenes en dos dimensiones se crea una imagen tridimensional que se puede proyectar en un monitor, almacenar en algún soporte, o imprimirse.

Figura 3. ‘Corte’ tomográfico del abdomen de una persona.  Se observan claramente las costillas, riñones, columna vertebral y otros órganos

¿Cómo se forma la imagen a partir de los datos?

Para ilustrar cual fue el problema matemático resuelto en 1917 que posibilitó la existencia de la tomografía, consideremos un objeto plano dividido en pequeños cubos como aparece en la figura 4 y un fino haz de Rayos X que atraviesa el objeto en una dirección arbitraria. La mayor o menor opacidad a la radiación está representada por cubos oscuros y claros respectivamente.  A mayor cantidad de cubos oscuros a lo largo de una dirección dada, menor cantidad de radiación llegará al detector.  Obviamente, el procedimiento sólo proporciona información sobre la opacidad de los cubos que se encuentran a lo largo de esa dirección particular.  Además, la información sobre cada cubo individual es parcial, porque el detector sólo registra un promedio de la opacidad de todos los cubos atravesados por el rayo en cada dirección (la que corresponde a un valor particular del ángulo θ y la distancia D en la figura 4).

Al rotar el emisor y el detector alrededor del objeto, se obtiene un conjunto de valores promedio para distintas direcciones, que obviamente difieren entre si y contienen información sobre los cubos restantes.  Mientras más direcciones o mas valores de θ se consideren, mayor información existirá para procesar los datos posteriormente y más precisos serán los resultados, aunque la complejidad del problema a resolver aumenta enormemente, por el gran número de variables que aparecen.  Como resultado final se obtiene una gran cantidad de datos sobre ángulos y opacidades promedio, que contiene información sobre todos los cubos, pero sin que se conozca la opacidad particular de cada uno de ellos. 

Y la pregunta que surge de inmediato es la siguiente: ¿existirá alguna forma de obtener la opacidad de cada cubo a partir del conjunto de promedios medidos para los diferentes ángulos θ? 

Pues sí, existe.  De hecho, la descripción anterior es una forma de presentar el problema resuelto por Radon en 1917.  Sin embargo, no fue hasta más de 40 años después que Allan M. Cormack y Godfrey N. Hounsfield, investigando de forma independiente, lograron construir el primer equipo práctico que trabajara sobre la base de este principio.  Ambos compartieron el premio Nobel de medicina en 1979.[4]^,[5]  

No es posible explicar o representar en forma sencilla las matemáticas que se requieren para procesar los datos y resolver el problema de los cubos.  El resultado se basa en nociones de cálculo avanzado, que incluyen tanto la transformada de Radon como la de Fourier.  Se puede encontrar información adicional sobre estas funciones matemáticas en http://plus.maths.org/content/saving-lives-mathematics-tomography.

Figura 4. El detector registra la opacidad promedio μ a lo largo de una dirección dada, representada por el ángulo θ.   Mediante la transformada de Radon se puede obtener la opacidad de cada cubo individual siempre que se procesen los datos correspondientes a una gran cantidad de pares de valores μ,θ.

La Tomografía de Haz Electrónico

La Tomografía de Haz Electrónico (THE) es una variante reciente de la Tomografía Axial Computarizada.  Se creó para lograr un barrido del haz muy rápido y así conseguir imágenes más nítidas del corazón, que nunca deja de latir.  Si el objeto de estudio no permanece en reposo durante el barrido la imagen saldrá borrosa, en forma similar a lo que a veces sucede en una fotografía ordinaria.

En la Tomografía de Haz Electrónico un valor típico de barrido es de 0.025 segundos, más de 10 veces menor que en los mejores equipos TAC contemporáneos.  En vez de usar un tubo de Rayos X convencional rotando alrededor del sujeto, la THE emplea un tubo de Rayos X gigante, con una geometría que rodea la cabeza y torso de paciente (figura 5).   Los Rayos X se crean de la misma manera en cualquier tubo convencional, generando electrones que chocan con un ánodo metálico a gran velocidad (radiación de frenado).  La diferencia estriba en que ahora el ánodo ya no es una pequeña placa metálica, sino que está formado por secciones semi-circulares de tungsteno que se ubican rodeando parcialmente al paciente.   El haz de electrones se hace recorrer las secciones de tungsteno por medios electrónicos, y al impactar sobre ellas generan haces de Rayos X, que también hacen un recorrido semi-circular, en este caso a través del paciente hasta llegar al detector

La supresión de los movimientos mecánicos de emisores y detectores es el ‘ardid’ que permite al haz de Rayos X sondear al paciente en diversas direcciones y recolectar los datos a mucha mayor velocidad que en un tomógrafo convencional.  Sin embargo, los equipos de Tomografía por Haz Electrónico son caros; cuestan el doble y su tamaño es mayor que el de sus antecesores.  En 2004 existían solamente unos 120, una cantidad muy pequeña comparada con los miles de tomógrafos TAC que existen en todo el mundo.