MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOS

Teoría de control moderna: la tendencia moderna en los sistemas de ingeniería hacia una mayor complejidad, debida principalmente a los requerimientos de las tareas complejas y la elevada precisión. Los sistemas complejos pueden tener entradas y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo. Debido a la necesidad de alcanzar los requerimientos cada vez mas restrictivos en el desempeño de los sistemas de control, al aumento en la complejidad del sistema y a un acceso fácil a las computadoras de gran escala, aproximadamente desde 1960 se ha desarrollado la teoría de control moderna, que es un nuevo enfoque del análisis y diseño de sistemas de control complejos. Este enfoque nuevo se basa en el concepto de estado. El concepto de estado por sí mismo no es nuevo, dado que ha existido durante largo tiempo en el campo de la dinámica clásica y en otros medios.

Debemos definir:

1. Estado

2. Variables de estado

3. Vector de estado

4. Espacio de estado

5. Ecuaciones en el espacio de estado

Estado: el estado de un sistema dinámico es el conjunto mas pequeño de variables (denominadas variables de estado) do modo que el conocimiento de estas variables en t = to, junto con el conocimiento de la entrada para t mayor o igual a to, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t mayor o igual a to

El concepto de estado de ningún modo esta limitado a los sistemas físicos. Se puede aplicar a sistemas biológicos, económicos, sociales y otros.

Variables de estado: las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico.

Las variables de estado no necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente. Las variables que no representan cantidades físicas y aquellas que no son medibles ni observables pueden seleccionarse como variables de estado.

Vector de estado: si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estados se consideran loscomponentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo t mayor o igual a to, una vez que se obtiene el estado en t = to y se especifica la entrada U(t) para t mayor o igual a to.

Espacio de estados: el espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están formados por el eje x1, el eje x2,…., el eje xn, se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.

Ecuaciones en el espacio de estados: en el análisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado.

Ejercicios:

Considere:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

Considere:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

1.1 Ecuaciones diferenciales lineales n-ésimo orden

Tiene una representación en variables de estado:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

Donde:

B0 = b0

B1 = b1 - a1B0

B2 = b2 - a1B1 - a2B0

B3 = b3 - a1B2 - a2B1 - a3B0

Bn = bn - a1Bn - a2Bn-1 -….anB0

Ejercicios:

Obtener las variables de estado, sus derivadas, las constantes Bn y su representación matricial para:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

Obtener la expresión en variables de estado:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

Obtener la expresión en variables de estado:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

" Obtener la expresión en variables de estado:

Variables de estado:

Derivadas de las variables de estado:

1.2 Función de transferencia de un sistema en variables de estado:

Considerando condiciones iniciales es:

Ejemplo:

" Obtener la función de transferencia de:

1.3 Funciones de salida en variables de estado:

Ejemplo:

" Obtener para el sistema:

Tema 2: SISTEMAS TÉRMICOS

Los sistemas térmicos son aquellos que involucran la transferencia de calor de una sustancia a otra. Estos sistemas se analizan en términos de resistencia y capacitancia. Aunque la capacitancia térmica y la resistencia térmica talvez no se representen con precisióncomo elementos de parámetros concentrados, dado que, por lo general, están distribuidas en todas las sustancias. Para lograr análisis precisos, deben usarse modelos de parámetros distribuidos. Sin embargo, para simplificar el análisis, aquí supondremos que un sistema térmico se representa mediante un modelo de parámetros concentrados, que las sustancias que se caracterizan mediante una resistencia al flujo de calor tienen una capacitancia térmica insignificante y que las sustancias que se caracterizan por una capacitancia térmica tienen una resistencia insignificante al flujo de calor.

El calor fluye de una sustancia a otra de tres formas diferentes: por conducción, por conveccióny por radiación. Aquí solo consideraremos la conducción y la conveccion. (La transferencia de calor por radiación solo se aprecia si la temperatura del emisor es muy alta en comparación con el receptor. La mayor parte de los procesos térmicos en los sistemas de control de procesos no involucran transferencia de calor por radiación.)

Conducción: la transferencia de energía térmica mediante la interacción de una molécula a otra se conoce como conducción.

Convección: la convección supone la transferencia de calor por conducción, así como por movimiento de masa. En la convección natural (por ejemplo, cuando el aire caliente sube desde la superficie de la tierra para ser reemplazado por aire mas frío), el movimiento de masas se induce de manera artificial. En ambos casos, el calor debe transferirse inicialmente al medio móvil mediante una interacción molecular (conducción).

Radiación: la trasferencia de calor mediante la propagación de ondas electromagnéticas es llamada radiación térmica.

Para la transferencia de calor por conducción o conveccion,

El coeficiente K se obtiene mediante,

Resistencia y capacitancia térmicas.La resistencia térmica R para la transferencia de calor entre dos sustancias se define del modo siguiente:

La resistencia térmica para una transferencia de calor por conducción o por conveccion se obtiene mediante:

Dado que los coeficientes de conductividad y conveccion térmica son casi constantes, la resistencia térmica para la conducción o la conveccion es constante.

La capacitancia térmica C se define mediante:

C= Cambio en el calor almacenado, kcal

Cambio en la temperatura, ºC

o bien

C= mc

En donde m = masa de la sustancia considerada, kg

c = calor especifico de la sustancia, kcal/kg ºC

Sistemas térmicos: considere el sistema que aparece en la siguiente figura. Se supone que el tanque esta aislado para eliminar las perdidas de calor hacia el aire circundante. También se supone que no hay almacenamiento de calor en el aislamiento y que el líquido del tanque esta perfectamente mezclado, por lo que tiene una temperatura estable. De este modo, se usa una sola temperatura para describir la del líquido en el tanque y la del líquido que sale.

Suponga que la temperatura del liquido que entra se mantiene constante y que el flujo de calor de entrada al sistema (el calor que proporciona el calefactor), cambia repentinamente de a + hi, en donde hi representa un cambio pequeño en el flujo de calor de entrada. El flujo de calor de salida cambiará, entonces, en forma gradual, de a + ho. La temperatura del liquido que sale también cambiara de a + . Para este caso, ho, C y R se obtienen, respectivamente, como:

Observe que la constante de tiempo del sistema es igual a RC o M/G en segundos. La función de transferencia que relaciona con hi se obtiene mediante:

Si este sistema esta sujeto a cambios de temperatura del liquido que entra y en el flujo de calor de entrada, en tanto que el flujo del liquido se conserva constante, el cambio en la temperatura del liquido que sale se obtiene mediante la ecuación siguiente: