Até onde pesquisei, existem três métodos diferentes para resolução do cubo de Rubik. Antes, é bom definir o que são os métodos e o que são as soluções. Entenda por método uma linha de raciocínio que difere das outras em sua estrutura para resolver o cubo. As variações dos métodos, através de diferentes algoritmos e movimentos é chamado de solução. A partir de três métodos existentes, foram criadas dezenas de soluções. Cada pessoa pode criar sua própria solução a partir de um método. Espero que eu não tenha complicado mais ainda. 

Então os três métodos conhecido são: camada-por-camada (layer-by-layer), cantos-primeiro (corners-first) e bordas-primeiro (edges-first).

Camada-por-camada: O método camada-por-camada se resume em resolver o cubo uma camada por vez. O cubo é dividido mentalmente em três camadas. Resolve-se a primeira camada, depois a segunda e por fim a terceira. A maioria das soluções existentes é baseada nesse método.

Cantos-primeiro: O cantos-primeiro, como o próprio nome já diz, é resolver o cubo começando pelos seus cantos. Este método é um pouco mais complicado porque exige a memorização de muitos algoritmos (conjunto de movimentos). Pouco utilizado.

Bordas-primeiro: A mesma idéia do método anterior, primeiro resolve todas as bordas depois os cantos. Muito pouco utilizado.

Um outro método diferenciado destes três acima, é o método de Lars Petrus que segue o método camada-por-camada, mas no entanto nas duas primeiras camadas é bastante particular. Primeiro constroe-se um cubo de dimensão 2x2x3 dentro do cubo e depois expande para 2x3x3 sobrando a última cada. Muito bom para quem quer resolver o cubo rapidamente.

Para saber mais a respeito de movimentos, algoritmos, cantos, bordas, vá até a página sobre terminologia.