Newton 與 Leibniz

作者 : 曹亮吉 (當時任教於 台灣大學 數學系)
出處 : 阿草的葫蘆 之 9.5 節

微積分經過一段時期的醞釀, 終於在 Newton 與 Leibniz 兩人的手中, 成為有系統的學門, 所以簡單的說法就認定他們兩人是微積分的發明者. 雖然如此, 他們兩人的微積分風格不同, 貢獻各異, 甚至為了 "誰發明了微積分", 還爭吵不休.

Newton (1642-1727) 首先得到一般指數的二項式展開式, 利用它及微積分基本定理, 將主要的函數都表成冪級數, 然後用逐項積分與逐項微分的方法, 來處理這些函數的微積分. 所以他是深知微積分基本定理的人, 而且用冪級數的方法處理微積分的計算.

此外, Newton 最大的貢獻就是把微積分用到物理上. 他從 Kepler 的行星運動三大定律及 Galileo 的落體運動及拋物運動出發, 構思了 自己的運動定律及萬有引力定律, 而他自己的定律都可以用微積分的式子表示. 而且在僅有太陽及一顆行星的簡化系統上, 他能用微積分的方法, 證明Kepler的三大定律與萬有引力定律之間可以互相導出. Newton 在其巨著 "自然哲學的數學原理" (Philosophie Naturalis Principia Mathematica) 中, 不但做了這樣的推演, 更用微積分的方法, 討論了潮汐, 月球的不規則運動, 歲差等現象, 甚至預測了人造衛星的可能性.

Leibniz (1646-1716) 最主要的貢獻則是把微分與積分的技巧整理得很清楚, 包括微分的四則定理 -- 亦即函數的四則運算與微分運算的交換法則, 也包括了積分的 分部積分技巧 -- 它是經由微積分基本定理導得的.

另外, Leibniz 的微積分符號更是影響深遠, 直到現在大家都樂於使用. Leibniz 的微分符號 , 不 但具有無窮小觀點的直觀, 而且像連鎖規則 看起來就是 自然的結果 (雖然它是必須嚴格證明的定理), 不但方便記憶, 也方便運算. Leibniz 的積分符號 , 一 樣深具無窮小觀點的直觀, 許多物理中的積分公式, 只要懂得物理內涵, 積分公式就自然寫出. 變數代換, 分部積分在這樣的符號下, 變成為符號的形式操作.

Newton 在 1660 年代就開始思考微積分及相關的應用, 但直到 1687 年出版其巨著時, 才正式公諸於世. Leibniz 要到 1670 年代才開始了微積分的創造, 但在 1684 年就發表了這方面的論文. 所以誰先發明微積分就成了問題. 更關鍵的是, 1676 年 Leibniz 透過英國皇家學會的秘書通信, 與 Newton 交換了彼此對微積分的研究結果.

Newton 在推銷自己想法方面是被動的, Leibniz 則較積極, 而且他的符號又具直觀, 非常好用. 於是 Leibniz 逐漸成為一群活躍數學家 的領袖, 這使英國學者很不是味道. 他們認為 Leibniz 從與 Newton 間接通信中得到重大的啟示 -- Newton 也這麼認為 -- 但居然未公開如此 表示過, 所以令人感到不高興, 於是公開指控 Leibniz 抄襲的罪行. 其實在通信中, Newton 提到的只是結果, 從未透露得到結果的方法.

英國科學家有了這樣的反感, 於是沈醉於 Newton 的成就, 執著於 Newton 的微積分符號, 難懂的極限觀念, 自外於歐陸的進展 而不自覺. 等到英國部分科學家幡然夢醒, 逾 1813 年成立 "分析學社", 譯介歐陸的科學著作, 採用 Leibniz 的符號與想法時, 英國早就失去了科學研究 的主導地位.

在 Newton, Leibniz 之前, 微分及積分的計算都是個案的. Leibniz 不但提供了微分的方法, 也提供了積分的方法, 而積分的公式, 實際上都是 利用特徵三角形所得的 "微分" 方程式轉過來的; 也就是說他體會到求積的問題可從曲線的切線性質著手, 而且也善於應用微積分基本 定理 -- 他曾於 1693 年在 "Acta Eruditorum" 發表微積分基本定理. 此外他的微積分符號不但使人很快了解微積分的內涵, 也使人在微積分的計算上得心應手, 因此 Leibniz 的微積分掩蓋了 Newton 的, 而成為日後微積分學的主流. 有了這些貢獻, Leibniz 自然也成了微積分的創始人之一.