La previsione delle retribuzioni per il calcolo delle formule sui fondi pensione.

Massimo Riccardo COSTANZO

Sommario: Il presente lavoro intende proporre un modello stocastico di previsione per lo sviluppo delle retribuzioni. In pratica, si propone l’utilizzo di formule di valutazione al fine dell’utilizzo nel calcolo per i premi nell’ipotesi di fondi pensione a prestazione definita nelle varie forme: proporzionale, career average formula, final average formula.

1. Introduzione.

Al fine di stabilire il premio tecnico da pagare nel caso di strutturazione dei fondi pensione con prestazione definita è necessaria la corretta determinazione della funzione salario.

I modelli classici proposti da Anderson (1985), da Coppini (1979) e Tomassetti (1995) per i fondi pensione in generale trattano l’argomento della formulazione attraverso il concetto di scala salariale, del tasso di produzione e del tasso di inflazione.

Nell’ipotesi di fondi pensione aziendali essa assume particolare rilevanza ai fini delle scelte di convenienza economica da parte dei partecipanti e dei gestori (Costanzo, 1994).

In questo lavoro si considera un approccio dinamico alla trattazione della formula determinante il salario che consente di prevedere attraverso un’applicazione del modello bivariato CIR proposto da Moriconi (1994) il tasso reale di produttività (tasso nominale produttività e tasso di inflazione).

L’utilizzo del modello CIR per trattazioni concrete è ormai consolidato nelle dinamiche economico-finanziarie (Castellani, De Felice, Moriconi, Mottura, 1993).

Dopo aver esaminato alcune formule di costruzione delle linee salariali (scala salariale) proposte da Volpe e Manca A. (1985) e da Orrù (in Tomassetti 1995), si presenta il modello bivariato CIR definito nel tempo continuo. La trattazione ipotizza un processo stocastico che descrive l’evoluzione del livello dell’indice dei prezzi al consumo e della produttività. Si utilizza in particolare una idonea modificazione del modello standard di Fisher (1975).

Tale valutazione consente di trattare l’incertezza esistente nella valutazione della produzione reale (Roma, Schlitzer,1994) attraverso un modello che richiede che le quantità legate alle preferenze degli agenti, come i premi per il rischio, siano specificate in modo esogeno, diversamente da quanto accade nei modelli di equilibrio economico generale.

Nel paragrafo 2 si introducono concetti di base, nel successivo si analizza la componente retributiva in ipotesi statica. Nel paragrafo 4 si sviluppa l’analisi in ipotesi dinamica attraverso la formulazione di un modello. Nel paragrafo 5 si presentano procedure per la stima del modello. L’ultimo paragrafo raggruppa le conclusioni.

2. Generalità.

Sotto l’aspetto degli impegni assunti, i fondi pensione a capitalizzazione possono essere distinti in fondi a contribuzioni definite e in fondi a prestazioni definite.

I primi prevedono l’accantonamento di contributi prefissati, mentre le prestazioni pensionistiche dipenderanno dal rendimento derivante dalla politica d’investimento attuata. I fondi a prestazioni definite prevedono invece l’erogazione di prestazioni per importi predeterminati o predeterminabili, ed i contributi sono calcolati attualizzando la prestazione a scadenza ad un tasso comprensivo del presunto rendimento finanziario delle somme accantonate e della probabilità di entrata in quiescenza dei diversi iscritti.

Pertanto, la caratteristica dei fondi a prestazioni definite è legata alla garanzia da essi offerta circa l’ammontare della prestazione a scadenza, lasciando quindi ai finanziatori il rischio di investimento; inoltre, qualora la prestazione sia ancorata alle ultime retribuzioni percepite dal lavoratore, i fondi possono configurare una adeguata copertura del rischio di inflazione.

E’ quindi evidente come tali piani richiedano accurati controlli sull’adeguatezza delle ipotesi finanziarie ed attuariali adottate. Essi possono prevedere diverse modalità di calcolo della prestazione, ciascuna delle quali può produrre particolari riflessi in materia di gestione delle risorse umane. Di norma si considerano le seguenti opzioni:

1) Ammontare fisso predeterminato;

2) Ammontare fisso per unità di tempo (flat benefit);

3) Percentuale fissa della retribuzione di ciascun anno (career average formula);

4) Percentuale fissa per ciascun anno di servizio calcolata sulla retribuzione degli ultimi anni di servizio (final average formula).

Quindi assumono particolare importanza le previsioni sulle retribuzioni (o il reddito da lavoro autonomo) dei partecipanti.

La determinazione dell’andamento delle retribuzioni, pertanto, è essenziale per la corretta individuazione sia delle entrate che delle uscite.

I benefici di un piano pensione e i suoi contributi sono spesso funzione del salario dei lavoratori. E’ pertanto necessaria ai fini di una corretta analisi, una stima dei salari futuri. Stima che dipende essenzialmente da tre fattori: 1) crescita del salario dovuta a meriti del lavoratore, 2) crescita dovuta all’incremento di produttività, 3) crescita dovuta all’inflazione. Lo studio del caso può essere ristretto ad un “contesto” statico oppure esteso ad un “contesto” dinamico, ovvero che tenga in debita considerazione oltre alle componenti anzianità, anche le componenti aumento di produttività e di inflazione.

La stima della crescita dovuta a miglioramento di carriera è rappresentata di norma da una funzione crescente con concavità verso il basso. Cioè, la scala di merito ha un tasso via via decrescente. L’incremento di produttività riguarda l’intero gruppo di dipendenti e non il singolo. Essa varia da impresa ad impresa (Anderson, 1985).

La componente inflazione, come quella di merito, ha di norma andamento generalmente crescente a tasso di crescita decrescente (Anderson, 1985).

Se un piano pensione determina o in termini di benefici o in termini di contribuzione un rapporto con il salario, allora è necessario affrontare lo studio della stima futura del salario (funzione salario).

Sia s(x) il salario corrente di un soggetto x , allora il salario complessivo S(x) dall’età di ingresso y è:

ä s(t) con x>y e con ä valore attuale anticipato (2a)

Per la stima del salario al tempo x s(x), basato sul salario all’età y si ha:

(2b)

dove:

s(y) è il salario d’ingresso

(SS)x è la scala di merito all’età x

(SS)y è la scala di merito all’età y

è il tasso d’inflazione

è il tasso di produttività.

3. La componente retributiva (la scala salariale) in un contesto statico.

Per la strutturazione del problema relativo alla determinazione di una scala di merito in letteratura (Tomassetti ed altri, 1995) esistono due specifiche formulazioni metodologiche. La prima, più usata, riguarda la previsione per linee retributive. La seconda, più recente, si basa sulla simulazione delle carriere.

Le retribuzioni calcolate per linee retributive si basano su metodi di perequazione. Si ricorre all’utilizzo di funzioni di vario tipo rivolte a fornire una buona rappresentazione di carriere.

Si ponga:

· t , l’anzianità di categoria

· T, l’anzianità corrispondente alla retribuzione massima di categoria

, la retribuzione iniziale

, la retribuzione finale,

· k, il rapporto tra retribuzioni finale e iniziale

Nel gruppo delle funzioni lineari si presentano quelle:

1. ad andamento rettilineo

2. ad andamento concavo verso il basso

3. ad andamento concavo verso l’alto

Nel gruppo delle funzioni esponenziali si presentano quelle:

1. ad andamento concavo verso il basso

2. ad andamento concavo verso l’alto

Per la scelte del tipo di funzione da utilizzare si deve verificare la buona rappresentazione delle carriere. Di norma sono buoni indicatori, quelli del tipo 1, che rappresenta bene l’ipotesi di carriere crescenti in progressione aritmetica, del tipo 2, che rappresenta il caso di carriere crescenti con andamento decrescente e del tipo 3, in cui la funzione si adatta a carriere medie con aumenti in progressione geometrica decrescente.

Stabilita la linea perequatrice adatta è necessaria un’analisi di congruità attraverso il confronto tra le retribuzioni reali e quelle attribuite. E’ opportuno precisare che il controllo è utile solo in ipotesi di struttura “a regime” ove l’esame di congruità ha una certa attendibilità. Inoltre è possibile che la linea adottata per una certa categoria di lavoratori sia valida solo per gli attivi in servizio e non per i nuovi ingressi.

Un altro schema di previsione delle retribuzioni è fondato sulla simulazione delle carriere. Per utilizzare tale metodo è necessaria un’analisi dei criteri di gestione delle risorse umane adottati da ogni singola azienda; ciò con riferimento alle probabilità di passaggio di categoria e di qualifica e all’età ed ai tempi occorrenti per il passaggio. E’ quindi possibile: 1) il salto di una qualifica all’interno di una categoria; 2) il salto di una categoria; 3) il passaggio ad una collettività con sistema previdenziale diverso.

Anche in tale ipotesi previsionale è necessario un controllo di congruità almeno quinquennale; ciò al fine di modificare i valori del processo di simulazione non idonei alle ipotesi di probabilità, anzianità ed età prescelte.

4. Un modello in un contesto dinamico.

L’analisi che precede è sostanzialmente rivolta a stabilire in modo statico una procedura che permette di valutare i possibili passaggi di qualifica o categoria dei lavoratori; essa non considera due particolari variabili esogene che hanno effetto sulla complessiva determinazione della funzione salario. Esse sono la produttività, che misura in pratica l’entità del valore dei rinnovi contrattuali e l’inflazione, che misura le perdite del potere d’acquisto del lavoratore.

La retribuzione con tutte le sue modalità è definita dai contratti collettivi stipulati dai lavoratori e dai datori di lavoro oppure è regolamentata da leggi. Il suo andamento è legato alle previsioni sull’incremento del prodotto interno lordo e della produttività, nonchè dalla politica dei redditi concordata nel Paese e dall’andamento del costo della vita.

L’inflazione ha andamento collegato alle prospettive nazionali ed internazionali, nonchè al trend pregresso.

Di norma in sede di rinnovo contrattuale l’effetto inflattivo è preso in considerazione.

Il modello che qui viene proposto è un’applicazione dinamica della procedura di calcolo che tiene in giusto conto le variabili suindicate.

Poichè la valutazione delle due variabili è posta su prospettive di incertezza, è possibile, allora, rappresentarle tramite processi stocastici.

Il quadro teorico è il modello bivariato definito nel tempo continuo realizzato dal modello di diffusione univariato di Cox, Ingersoll e Ross (CIR), modificato per la componente produttività, e un processo stocastico che descrive il livello dell’indice dei prezzi al consumo. Si suppone, anche se è ipotesi forse semplificatrice, che l’incertezza sul livello della produttività sia non correlata a quella sul livello dei prezzi.

Il modello univariato CIR nasce come un caso particolare di un modello generale di equilibrio economico con tecnologia esogena. La dinamica della produttività è caratterizzata in modo endogeno.

Nel modello utilizzato l’incertezza è generata dall’evoluzione aleatoria delle due variabili di base. Si ipotizza che le variabili seguano un processo markoviano con traiettorie continue (processi diffusivi).

Il mercato sarà definito nel tempo continuo e dotato delle caratteristiche di perfezione tipiche della modellistica consolidata.

Inoltre, in ipotesi di markovianità, tutta l’informazione rilevante, e quindi la misura di probabilità, è completamente data al tempo t una volta osservato il valore corrente delle variabili di base.

4.1. La produttività.

Al fine di determinare il tasso di produttività (t) utilizzato nella formula (2a) al tempo t, si considera che questa variabile segua una dinamica di tipo diffusivo descritta dall’equazione differenziale stocastica:

d r (t) = f_r(r,t)dt + g_r(r,t) dZ_r(t) (4.1.a)

con [Z_r(t)] un moto browniano standard.

Si è verosimilmente teorizzato che il processo [ r (t)] sia come nel modello univariato di Cox, Ingersoll e Ross, ovvero nella forma:

d r (t) = a[g-r(t)]dt + d(t) dZ_r(t), a,g ,d> 0.

Il drift f_{r =}a[g-r] è caratterizzato da una tendenza a ritornare ad un livello di lungo periodo g con una forza di richiamo determinata dal valore del parametro a. Il coefficiente di diffusione = r è di tipo square-root, per cui la volatilità del processo cresce monotonamente con il corrente tasso di produttività. Inoltre, risulta garantita la non-negatività del tasso di produzione nominale, ciò in forza che il termine di disturbo Z_r(t) per valori nulli di r si annulla. Si precisa che la distribuzione è del tipo chi-quadro non centrata.

La media e la varianza di r (t+t) sono date, da:

E_t [r (t+t)] = g-[g-r(t)]

V_t [r (t+t)] =

La media E_t [r ()] rappresenta il il di tasso di lungo periodo attribuito a g.

4.2. Il livello del prezzo.

Il livello (t) dei prezzi al consumo segue un processo di diffusione che può essere rappresentato dall’equazione differenziale stocastica:

d s (t) = w s (t) dt + e s (t) dZ_s(t), w, e >0.

L’incertezza del processo dei prezzi implica l’incertezza del tasso istantaneo d’inflazione. Si è ipotizzato che il tasso istantaneo di inflazione aspettato è costante dato il w.

La componente stocastica è rappresentata da un moto browniano geometrico con drift w e volatilità e. La distribuzione probabilistica è di tipo lognormale, con media e varianza:

E_t [log s (t+t)] = s(t) (w-/2) t

V_t [log s(t+t)] = t

Si evidenzia altresì un’ipotesi restrittiva, ma nella realtà pressochè valida, e cioè che il livello dell’incertezza sul tasso di produttività sia non correlata con l’incertezza sul livello del prezzo:

dZ_r(t) dZ_s(t) = 0.

4.3. Il premio di rischio.

Il premio al rischio di produttività, è assunto in modo esogeno, come in un modello di equilibrio parziale.

F_r(r,s,t) = - p r(t), p = costante.

Il premio al rischio di prezzo sarà:

F_s(r,s,t) = =

E’ possibile stabilire una relazione per il tasso di produttività reale x(t) attraverso la seguente relazione che utilizza in versione stocastica l’equazione di Fischer e che individua il tasso nominale come somma del tasso reale e del tasso aspettato di inflazione:

r(t) = x (t) + = w -

4.4. L’equazione di valutazione nell’economia reale.

Poichè il tasso reale e quello nominale di produttività differiscono per una costante allora risultano descritti dalla stessa equazione differenziale stocastica:

d x(t) = a[g-r(t)]dt + d(t) dZ_r(t), a,g ,d> 0.

La rappresentazione probabilistica del processo è in pratica la stessa del tasso nominale di produttività cioè del tipo chi-quadro non centrata con traslazione negativa di ampiezza .

Premesso quanto precede e considerando l’effetto di Fisher e il modello CIR è possibile rappresentare in forma esplicita l’equazione di valutazione nell’economia reale (produttività ed inflazione):

(4.4.a)

secondo la relazione: B(s; ?_s) = ?_s.

Dove con B(s; ?_s) si indicherà il valore reale di un ipotetico titolo rappresentante l’economia reale che garantisce in s la consegna di ?_s unità del bene di consumo. Il valore del titolo reale è legato al valore del titolo nominale dalla relazione: B(s; ?_s) = 1/p(t)V(s; A_s). Per determinare il fattore di produttività reale b(t,s) si deve impostare ?_s. = 1, ovvero pari al valore reale di uno ZCB reale unitario.

Data la precedente proprietà di non correlazione la funzione b(t,s) è indipendente da s e la (4.4.a) si semplifica, essendo nulle le corrispondenti derivate. Si ricava così l’espressione in forma chiusa (Cox, Ingersoll, Ross, 1985):

b(x(t),t, t+t) = M (t), t ³ 0,

dove

M (t) =,

N (t) = ,

d: = ,

5. Risultati empirici.

Per la stima dei parametri è possibile utilizzare una procedura a “tre fasi” che utilizza sia l’informazione storica, sia l’informazione sullo stato del mercato nell’istante di valutazione.

1. Si stimano i valori di a, g, w, e, d²su gli indici di produzione rilevati da modelli econometrici su serie storiche, sia della Banca d’Italia, sia dell’ISTAT, sia dall’Institute for Social Research, che dalla Confindustria, che di norma sono pubblicati su giornali finanziari. La metodologia è quella della regressione lineare basata sull’equivalente discreto dell’equazione differenziale stocastica indicata in (4.1.a).

2. Viene proposta, quindi, la stima allo stato di analisi del tasso di produttività e del tasso di inflazione utilizzando i valori determinati dall’ISTAT su base mensile attraverso una procedura di regressione non-lineare sulla cross-section.

3. Infine, sulla base dei parametri a, g, w, e, d² stimati, il valore di p viene determinato sulla cross-section.

6. Conclusioni.

Concludendo, l’attuale lavoro vuole essere un primo tentativo di definizione di un modello quantitativo previsionale delle retribuzioni trattato in ambiente dinamico attraverso il modello CIR bivariato.

La valutazione complessiva della funzione salario può essere quindi proposta attraverso il modello di calcolo delle linee retributive e delle due variabile esogene relative a produttività ed inflazione effettuata tramite il modello. Ovviamente le due variabili esogene devono essere coerenti con le altre ipotesi di natura economica e finanziaria adottate nel complessivo quadro previsivo.

Ulteriori studi devono essere condotti nella determinazione dell’analisi empirica, che deve essere sviluppata tenendo in considerazione le modalità tecniche di calcolo delle formule sui fondi pensione. L’analisi empirica può utilizzare gli strumenti di analisi econometrica realizzti dall’ISTAT, dalla Confindustria, e dall’Istituto di Ricerca Sociale.

Inoltre, occorrerà determinare un procedimento tecnico tale da consentire una verifica dei risultati ottenute e l’eventuale loro adeguamento alla realtà.

Si è consci dei limiti del presente studio con riferimento ai tassi di cambio e alle variabili riguardanti le politiche dei redditi concordate nel Paese. Si lascia il loro sviluppo a futuri possibili studi.

BIBLIOGRAFIA

1. Anderson A. W. (1985): “Pension Mathematics for Actuaries”

2. Coppini M. A. (1979): “ Lezioni di tecnica delle assicurazioni sociali”, Veschi, Roma

3. Costanzo M. R. (1994): “ FONDI PENSIONE: Aspetti tecnici ed economici di gestione”, tesi di laurea in Matematica finanziaria presso l’Università degli Studi di Catania, PREMIO Fondazione Mario Gasparri - Alleanza Assicurazioni

4. Castellani G., De Felice M., Moriconi F., Mottura C. (1993), “Un corso sul controllo del rischio di tasso di interesse”, Roma

5. Cox J.C., Ingersoll J.E., Ross S. A., (1985) “A Theory of the Term Structure of Interest Rates”, Econometrica 53

6. Fisher, S. (1975): “The Demand for Index Bond”, Journal of Political Economy

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8. Roma A. e Schlitzer G. (1994): “The deteminants of the Italian Stock Market returns: some preliminary evidence”, Roma

9. Tomassetti A. ed altri (1995): “Tecnica attuariale per Collettività” , Edizioni Kappa, Roma

10.Volpe di Prignano E. e Manca R. (1985): “Algoritmi per la gestione di fondi previdenziali su microelaboratori”, Atti del IX convegno AMASES, Levico Terme (Tn)

STAMPATO IN PROPRIO

OTTOBRE 1996