Consideremos una partícula libre clásica que evoluciona o se mueve desde un lugar a otro. Sin fuerzas que actúen sobre ella, se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea, que asumiremos igual al eje z por ejemplo. Decimos en tal caso que el espacio de posiciones posibles es el eje z. No habrá fuerzas que actúen sobre la partícula y esta no se desviará de tal eje. A este espacio de posibles posiciones lo denominaremos espacio de configuraciones. En nuestro caso, este espacio es la recta real (donde la partícula toma posiciones correspondientes a números reales) correspondiente con el eje z.

La relatividad general nos describe el campo gravitatorio como deformaciones del espacio-tiempo, concrétamente, como una modificación de su métrica (distancias e intervalos temporales). Al igual que la partícula, el campo gravitatorio también puede evolucionar desde una configuración hasta otra. Por ejemplo, para una estrella que explota en supernova, el campo gravitatorio estará evolucionando. El espacio de configuraciones de la relatividad general es el espacio de todas las métricas posibles. A este espacio se lo denomina superespacio.

No obstante, en vez de considerar todas las métricas posibles, que son ciertamente muchas, podemos centrarnos sólo en unas pocas dependiendo del problema que queramos resolver. En cosmología es usual centrarse en las métricas que corresponden con espacios homogeneos e isótropos. Es decir, métricas en las que el espacio dentro del espacio-tiempo tiene características iguales en todos los puntos. Estos espacios pueden no obstante evolucionar con el tiempo, por ejemplo expandir de acuerdo con la ley de Hubble. Al espacio de configuraciones de estas métricas se lo denomina minisuperespacio.

Hasta aquí la teoría clásica. En la cuántica el espacio de configuraciones adquiere un papel algo diferente. La partícula ya no se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea, sino que para cada instante de tiempo existe una distribución de probabilidad en el espacio que nos dice dónde encontrar a la partícula con cierta probabilidad. A este distribución de probabilidad se la conoce con el nombre de función de onda. Si encontramos a la partícula en un tiempo determinado en un lugar, luego, en otro tiempo posterior, podemos encontrarla en otro lugar que no corresponde con el que estaría si hubiese seguido una trayectoria clásica. Incluso, la cuántica predice situaciones en las que una partícula que se encuentra frente a un potencial (por ejemplo una fuerza repulsiva que actúa sobre ella, una pared, etc.) puede traspasarlo pese a que clásicamente chocaría contra él sin pasar. Este es el conocido efecto túnel.

El efecto túnel

En la cosmología cuántica canónica la situación es similar y el efecto túnel adquiere un papel importante. Para entenderlo, un modelo simplificado donde aparecen este fenómeno es el espacio-tiempo de de-Sitter. El modelo de de-Sitter resulta cuando se considera un espacio completamente vacío pero con una constante cosmológica. Este modelo es homogeneo e isótropo no solo en el espacio, sino también en el tiempo. Se trata de un modelo de en el cual cualquier punto del espacio-tiempo es igual a todos los demás. En otras soluciones cosmológicas con singularidad inicial sólo los puntos de una sección espacial son todos iguales, mientras que los puntos en secciones espaciales diferentes no tienen por qué ser iguales, es decir, no tienen por qué tener características iguales de densidad, curvatura, etc. En el modelo de-Sitter, sin embargo, todos los puntos son iguales. Esto significa que el modelo no presenta una singularidad inicial.

Este modelo es de especial interés porque describe una expansión exponencialmente acelerada, tal y como se asume que se dió en el periodo inflacionario (véase esto o esto). Proporciona, por tanto, un modelo descriptivo de esa fase. En la teoría clásica de cosmología el universo o bien fue de-Sitter siempre y fue por tanto infinito en el pasado (sin singularidad inicial, cosa que no concuerda con las nuestra idea actual de universo) o bien fue de otro tipo, pero entonces tuvo una singularidad inicial t = 0. Lo que no puede ocurrir en la teoría clásica es que un universo empezase con singularidad inicial y luego se convirtiese en de-Sitter.

Lo sorprendente es que la cosmología cuántica canónica en el minisuperespacio hace posible un modelo de universo que tiene una singularidad inicial en t = 0, pero se comporta como de-Sitter un instante después en t > 0. El mecanismo involucrado es precisamente el efecto túnel. La situación aquí es básicamente análoga a la de la partícula que se encuentra frente a un potencial, aunque aquí la noción de potencial es de un potencial efectivo (una correspondencia matemática) con el que se encuentra el universo en t = 0 para tunelar hacia el modelo de-Sitter. Esta evolución temporal es una legítima solución a las ecuaciones de la cosmología cuántica canónica.

Pero para determinar la solución de forma única hay que imponer condiciones iniciales, como es usual en los problemas de la física. Dos propuestas se pueden considerar como las más importantes:

• La propuesta de Hartle y Hawking.
• La propuesta de Vilenkin.

De ambas propuestas resultan dos soluciones para la función de onda del universo que se conocen respectivamente con los nombres de función de onda de Hartle-Hawking y función de onda de Vilekin. Hemos visto que en la mecánica cuántica una partícula libre ya no se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea, sino que para cada instante de tiempo la función de onda nos dice dónde encontrar a la partícula con cierta probabilidad. Pues bien, esta idea se puede reformular diciendo que la partícula toma realmente todos los caminos a la vez, cada uno de ellos con cierta probabilidad. Nótese que en el fondo no es mas que decir lo mismo que antes, pero ahora desde un punto de vista ligéramente diferente. Esta reflexión es el orígen de lo que se conoce como integral de caminos de Feynman.

Caminos posibles de una partícula que va desde here en t1 hasta there en t2. Todos ellos contribuyen con cierta probabilidad al resultado final

Igual que en la mecánica cuántica, la cosmología cuántica canónica se puede reformular en términos de la integral de caminos. Ésta formulación permite calcular probabilidades de la transición entre dos configuraciones espaciales determinadas, sumando las probabilidades sobre todas las geometrías del espacio-tiempo intermedias posibles.

La propuesta de Vilenkin consiste en tomar como condición inicial una métrica espacial inexistente. Tal estado no tiene correspondencia física en la teoría clásica de la relatividad general y fue denominado "nada" por Vilenkin. Este es probablemente el orígen del mito popular de un universo creado de la nada. La pregunta sobre el orígen de esta transición se reduce a la misma categoría que la pregunta sobre la razón de que el decaimiento de un átomo ocurra en un instante de tiempo y no en otro o a la pregunta sobre si la partícula cuántica pasará el potencial por medio del efecto túnel o no. Cuestión de probabilidades, de naturaleza aleatoria en el marco de la física cuántica.

El modelo de Vilenkin

Vilenkin ha mostrado que tal probabilidad de transición es máxima para universos con secciones espaciales cerradas (de geometría en la cual los ángulos de un triangulo forman más de 180°).

Por su parte, la propuesta de Hartle-Hawking consiste en tomar como condición inicial el conjunto todas las geometrías euclídeas compactas posibles, como por ejemplo una 4-esfera (geometrías sin dimensión temporal). Intuitivamente consiste en acoplar el espacio-tiempo en expansión a todas las formas posibles de cerrarlo o redondearlo suavemente, sin picos o singularidades, en su inicio. En palabras del mismo Steffen Hawking: las condiciones de contorno del universo consisten en que el universo no tiene condiciones de contorno.

El modelo de Hartle-Hawking

En definitiva, tenemos un modelo de universo que aparece de o bien de un estado de geometría nula o bien de una geometría puramente espacial (sin eje temporal) a través del efecto túnel hacia un universo en expansión como el que conocemos hoy. Esta es una elegante respuesta a la pregunta sobre la creación del universo que observamos.

Los modelos de cosmología cuántica canónica quedan hoy algo anticuados al basarse en una teoría, la gravedad cuántica canónica, de la que se cree que no puede estar bien debido a ciertas ambigüedades e inconsistencias matemáticas. Además, el problema básico de los modelos cosmológicos es que en general no eliminan la singularidad, aunque en algunos casos sus soluciones la eviten clásicamente debido a potenciales efectivos. No obstante, estos modelos podrían ser ciertos en algunas de sus predicciones en en régimen semiclásico.