La relatividad general es una teoría de la gravitación complicada y sutil. Una de sus características es la covarianza general, un término que sin duda asusta a cualquiera que no lo haya oído antes. El significado de este concepto y su relevancia en la teoría fue puesto de manifiesto por Albert Einstein en un experimento mental que ha pasado a la historia con el nombre de argumento del agujero o "hole argument" en inglés.

Albert Einstein disfrutaba planteando experimentos mentales

La consecuencia de la covarianza general es que espacio y tiempo sólo tienen sentido cuando existe materia o campos materiales en el espacio-tiempo. Esta afirmación puede parecer trivial pero recordemos que son las aguas tranquilas las más profundas. La covarianza general y el argumento del agujero son esenciales a la hora de abordar la cosmología cuántica.

Cuando uno no considera materia en las ecuaciones de Einstein, obtiene varias clases de soluciones de espacio-tiempos vacíos. Por ejemplo, soluciones el espacio-tiempo estático y plano de la relatividad especial, u ondas gravitacionales propagándose causalmente (a partir de unas condiciones iniciales impuestas a las ecuaciones) sobre un fondo estático como el de la relatividad general. Esto nos indica que, en general, la distribución de materia que entra en las ecuaciones de Einstein no determina la métrica del espacio-tiempo de forma única. Esta situación es similar al electromagnetismo en el cual las distribuciones de carga tampoco determinan las soluciones a las ecuaciones de Maxwell de forma única. Dada una distribución de carga determinada, por ejemplo ninguna (cero carga) en todo el espacio, puede haber perféctamente ondas electromagnéticas viajando por el espacio siempre que las condiciones de contorno o las condiciones iniciales sean las adecuadas. Resumiendo, no es la distribución de materia la que determina de forma única una solución a las ecuaciones de Einstein, sino distribución de materia y adicionalmente unas unas condiciones iniciales.

En su formulación moderna el argumento del agujero dice lo siguiente. Consideremos un espacio-tiempo lleno de materia excepto en una zona o agujero. Para imaginarlo adecuadamente pensemos en 2+1 dimensiones (dos espaciales y una temporal) en vez de las usuales 3+1. Hay que notar que se trata de un agujero en el espacio-tiempo y no en el espacio. Un agujero en el espacio 2+1 sería una circunferencia y sería la sección de un cilindro en el espacio-tiempo 2+1. Este agujero se encuentra entre dos superficies materiales que determinan sus condiciones iniciales y finales. Imaginemos que en la sección siguente a la primera superficie material que determina sus condiciones iniciales, aparecerá y ya visible el agujero. El agujero evolucionará con el tiempo y, luego, con la segunda superficie material desaparecerá del espacio-tiempo. Se podría decir también que es una burbuja de espacio-tiempo vacío, la cual aparece y desaparece.

Con este espacio-tiempo tomemos una transformación o desplazamiento de todas las variables dinámicas en él. Esta transformación será tal que en las partes del espacio-tiempo donde existe materia todo quedará igual (la transformación es la identidad). Sin embargo, en el agujero habrá una pequeña modificación la cual afectará o desplazará sólo a la métrica del espacio-tiempo y no a la materia (al estar el agujero vacío). Este tipo de transformaciónes que pueden ser distinan sobre distintos puntos, pero han de ser suaves (diferenciables) y en un punto determinado ha de actuar de igual forma sobre todas las variables dinámicas, tanto la geometría del espacio-tiempo como la posición de la materia, se denominan difeomorfismos activos.

Tenemos ahora, por tanto, dos espacio-tiempos iguales salvo en el agujero. Las ecuaciones de movimiento de la relatividad general no determinan la métrica de forma única, salvo que se fijen unas condiciones iniciales determinadas. Pero para la parte donde ambos espacio-tiempos son distintos es eso precisamente lo que hemos hecho antes: hemos determinando una superficie que sirve como condición inicial a la dinámica del agujero. Esta es la primera superficie material, perféctamente determinada y que existe justo antes de la aparición del agujero o burbuja. Por tanto el agujero ha de ser solución única a las ecuaciones de movimiento. Si ambos espacio-tiempos fueran dos soluciones distintas, la relatividad general sería una teoría no determinista, ya que la imposición de fuentes y condiciones de contorno no sería suficiente para determinar la física.

Todo esto se resume diciendo que la relatividad general se basa en el principio de covarianza, el cual afirma, en su versión "activa" y moderna, que un mismo cambio o desplazamiento en todas las variables dinámicas (un difeomorfismo activo) ha de resultar en la misma solución a las ecuaciones de movimiento. En general, ha de resultar en la misma física. Esto a veces se conoce como equivalencia de Leibniz. La conclusión es que siendo los dos espacio-tiempos con el agujero iguales, el significado físico de los puntos del espacio-tiempo como entidades per se (substantivismo del espacio-tiempo) queda cuestionado. Es importante notar que las propiedades observables son invariantes o son iguales en ambos espacio-tiempos, únicamente las posiciones como etiquetas de puntos no lo son. Esto es algo que habría que probar con rigor, pero que se sale del marco de este artículo. Si tenemos una teoría en la que este no fuera el caso el argumento del agujero perdería validez. En definitiva, el espacio-tiempo sólo parece adquirir un sentido tal y como lo conocemos cuando existe materia que permite "calibrar" posiciones para calcular distancias. Las posiciones, sin más, no tienen sentido en la relatividad general.

La siguiente analogía con el electromagnetismo es válida también para entender el argumento del agujero. En el electromagetismo existe el potencial electromagnético, el cuál puede redefinirse o calibrarse como uno quiera, poniendo su valor nulo en el infinito o en otro punto. Esto es algo arbitrario y físicamente irrelevante, ya que lo que importa son las diferencias entre potenciales entre dos puntos. Esto no quiere decir que el potencial electromagnético no exista, sino que hay un grado de libertad en la teoría, el cual no es físico, sino sólo de representación, que nos permite cambiarlo sin consecuencias físicas. Algo similar ocurre con el espacio-tiempo vacío en la relatividad general. Otra forma de aproximarse a la conclusión del argumento del agujero es decir que los puntos del espacio-tiempo no existen con individualidad. Para analizar la conclusión de la falta de individualidad de los puntos del espacio-tiempo, John Stachel usa los términos ingleses quiddity y haecceity, que provienen del latín quidditas y haecceitas y que en español corresponden a quididad y ecceidad. Muchas veces se usan como sinónomos, refiriendo a ambos la esencia, pero estríctamente se distingue entre el primero como refiriendo a las cualidades genéricas o la substancia y el segundo refiriendo a cualidades individuales o la forma individualizadora.

as partículas en la cuántica no tienen ecceidad, pero sí quididad. De ahí que sean indistinguibles y puedan ser intercambiadas sin dar lugar a diferencia alguna, cosa que se expresa matemáticamente con el formalismo que da lugar a la invarianza de las ecuaciones frente a la simetría de permutaciones en los elementos de un sistema de múltiples partículas. Esta simetría de permutación da lugar a situaciones como los condensados de Bose-Einstein, donde todos las partículas del sistema se comportan como una sola.

Algo similar ocurre con los puntos del espacio-tiempo. No obstante la simetría aquí es distinta y no de permutación. Esta simetría es la covarianza general.