PRECIS DE  COURS   ET                              EXERCICES   CORRIGES 

 

 

 

 

          IN   307

 

           STATISTIQUES

 

 

 

 

 

 

 

PAR :       DJOUBOUI   DAVID

  ETUDIANT  EN  INFORMATIQUE

   A    L’ UNIVERSITE  DE  YDE I

 

 

 

 

 

        CONCEPTION :   Brice BAMA

       (FAC SCIENCES   UNI   YDE I)

 

 

CHAPITRE I     RAPPELS SUR LES LOIS DE                                                                            

                           PROBABILITE  USUELLE

I.1     LOI   DISCRETE

          Distribution uniforme

 

       F(x, k)=  1     x = x1…xn       et    0 ailleurs

                      k

 

     ESPERANCE :  E (X) = Σ xi   =   µ      ( i = 1...n )

                                              K

 

    VARIANCE  :    V(X) = Σ (xi-E (X))² = σ²      ( i = 1...n )

                                                   k

     S² =  Σ (Xi-X)²      Variance empirique

              n           ( i = 1...n )

               

                          _                              

     S² =    Σ (Xi- X) ² variances empiriques modifiées

         n-1         ( i = 1...n )

     _

     X  = Σ Xi          moyenne empirique

                 n           ( i = 1...n )

                           _

    Propriétés  de X et  S²

          _

a)   E(X) =1 Σ E(Xi) = µ    ( i = 1...n )

                 n                 

b)   V(X) = 1 Σ V(Xi) = σ²   ( i = 1...n ) 

                   n²                 n 

                  _                          _

c)     Σ (Xi-X)² = Σ(Xi-µ)²-n(X-µ)²

                                            _

d)  E(S²) = n  E(Xi-µ)²- n  E(X-µ)²      

                 n-1              n+1

               =  n   (σ²-σ² )

                  n-1        n

               = σ²

e)   σ²= V(X)  

 

 

 

EXERCICE 1 :

  F(x)={x   1<x<5   et  0 ailleurs ; Y= 2X-3  

            12

Trouver la fonction densité de Y

 

 

 

 

Solution

  F est continu sur]1, 5[ 

  Soit y=2x-3,      y est bijective  on a   x = y+3  = W(y)

                                                                       2

J = jacobéen =  d(W(y)) =1/2      d’ou selon le théorème 3

                         dy

  G(y) = f (W(y))|J|

          = f(y+3 )|1/2|  = y+3 . ½   =  y+3

                 2                  24                48

    X Є] 1, 5[   d’où    y Є] 2(1)-3 ,2(5)-3[   Þ  y Є]-1, 7[

  

 Donc  g (y) = {y+3     -1<x<7   et   0 ailleurs

                            48

 

 

EXERCICE 2 :

On a deux variables aléatoires X1 et X2  continues de fonction densité

 

     F(x1, x2) = {4x1x2   0<x1<1, 0<x2<1  et  0 ailleurs

Trouver la fonction densité de (Y1, Y2) avec Y1 = X1² et

Y2 = X1X2

 

Solution

 

Y1 = U(x1, x2)= x1²

Y2 = U(x1, x2) = x1 x2

Trouvons w1 et w2 :

                            _                                                 _

Y1=x1²  Þ x1=√y1               d’où  w1(y1, y2) =√y1

Y2=x1.x2   Þ x2 =y2/√y1   d’où  w2(y1, y2) = y2/√y1

 

Selon le théorème 4  g(y1,y2)=f[w1(y1, y2),w2(y1,y2)] |J|

 

Déterminons  J          d w1(y1, y2)              d w1(y1, y2)

                                  dy1                              dy2

                          J =

                                 d w2(y1, y2)               d w2(y1, y2)

                                 dy1                              dy2

                         

                                  1/(2√y1)                  0

                         J =                                               = 1/2y1

                                  y2/(2y1√y1)        1/√y1

 

 

donc   g(y1, y2) = (4.√y1.y2/√y1).1/(2.y1)  =2 y2

                                                                           y1

 

          g(y1, y2) =   2 y2      0<y1<1   0<y2<1   et 0 ailleurs

                                   y1                  

EXERCICE 3   

 Montrons que Y= (X - µ)²  a une  distribution de Khi-deux à un degré 

                                  σ²                

de liberté, lorsque X suit la loi normale  de moyenne µ et d’écart type σ

 

Solution  

  

  X ~N(µ,σ)         on pose    Z = X-µ   ~ N(0, 1)

                                                     σ         

f(z) = 1  exp(-z²/2)      z    appartenant à 3

       √2Π     

Y = Z² Þ  z1= - √y  et   z2=  √y

 

 | J1| = |d(-√y) | = |-1|  = 1

             dy          2√y    2√y

 

  | J2| = |d(√y) | = 1 

             dy          2√y

Selon le théorème 4 

 g(y) = |J1| [ f(-√y) + f(√y)]   car    |J1| =   |J2|

 

        =  (  1   ) 2  [ ( 1  )    exp(-y/2) ]     car f(-√y) =f(√y)

            2√y        √2Π       

 

 g(y) =  (. 1     . ) exp(-y/2)

            √ (2Πy)

d‘ou   Y  suit  la loi de Khi – deux    χ²(1)

par l‘application du théorème 5

 

 

 

II- ELEMENTS D’ECHANTILLONAGE

 

EXERCICE 4 : Soit la distribution

 

     F(x)=1/4   x=0,1,2,3   et 0 ailleurs

Trouver la probabilité qu’un échantillon aléa de taille 36 choisi avec remplacement donne une moyenne d’échantillonnage

1,4<µ<1,8   lorsque la moyenne est mesurée à 2 chiffres décimaux près

 

Solution

f(x) est discrète uniforme et sa moyenne est donnée par

  µ = Σ xi f(xi )       ( i = 1...n )

     = 1/4(0+1+2+3)

     = 3/2

σ² = E(X²) - (E(X)²) =E(X)²- µ²

     = Σ xi² f(xi ) - µ²  ( i = 1...n )

     =11/4 - 9/4

     = 5/4

x suit N(µ, σ/√n)       car n>30

 

Z= x -µ    suit N(0,1)      or 1,4< x <1,8

     σ/√n

Þ                    1,4 - µ< Z <1,8 - µ

                                           σ/√n             σ/√n

Þ                    -0,53<  Z  <1,6

 

 Pr (-0,53<Z<1,6)= Pr(1,6)-Pr(-0,53)

                            = Pr(1,6) – (1-Pr(0,53))

                            =0,646

EXERCICE 5  

 La moyenne de vie des tubes de télévision de l’usine A : 6,5 ans et un écart type de 0,9

Celle de l’usine B  6ans et d’écart type 0,8 quelle est la probabilité qu’un échantillon de taille 36 de l’usine A ait une moyenne de vie qui soit au moins 1 ans plus grande que celle de B d’un échantillon de taille 49

 

Solution

µ1=6,5 ans     σ1= 0,9        n1= 36

µ2=6ans         σ2= 0,8        n2= 49

 

on veut la probabilité pour que   x1 - x2 ≥1

 

x1 suit N(µ1, σ1/√n1)       car n1>30

x2 suit N(µ2, σ2/√n2)       car n2>30

                                                             .                .  

d’ou     x1 - x2  suit N(µ1 - µ2, √ σ1²/n1 + σ2²/n2 )

    AN :   

                             .                 

  √ σ1²/n1 + σ2²/n2   = 0,189

      µ1 - µ2 = 0,5

 d’ou   

        ( x1 - x2) – (µ1 - µ2 )

   Z=                                . ≥    1 – 0,5

             √ σ1²/n1 + σ2²/n2                 0,189

 

Þ                    Pr(Z≥2,646) =1- Pr (Z≥2,646)

                                                                 =1 – 0 ,9958

                                                                 =0,0042

 

EXERCICE 6

Un producteur de batterie de voiture garanti la vie moyenne de ses batterie  à 3 ans avec un écart type de 1 an . Si 5 batteries prise au hazard ont une vie moyenne de 1,9 ;2,4 ;3,0 ;3,5 ;4,2     ; le producteur serait –il toujours convaincu que l’écart type est 1 an ?

 

 

 

Solution

Soit S² la variance empirique de l’échantillon

S² =  Σ (Xi-X)²   (i = 1…n)   

          n-1

     =(1,9 – 3)²+(2,4 – 3)² + (3,0 – 3)²+(3,5 – 3)²+(4,2 – 3)²

                                     4

     =0,815

on sait que    (n-1)S²  suit  χ²(n-1)

                         σ²

or Pr(χ²1-α/2<(n-1)S²< χ²α/2) = 1-α

                       σ²

d‘ou l‘intervalle de confiance   [ (n-1)S² , (n-1)S² ]

                                          χ²α/2     χ²1-α/2

à 95%  dégré de confiance   avec α=0,05

          χ²0,025(4) = 11,143       χ²0,975(4) = 0,484

d‘ou l‘intervalle de confiance est [0,29; 6,73]

 

comme 1 appartien à l‘intervalle le producteur a raison à 95%

dégré de confaince

 

EXERCICE 7

Un producteur d’ampoule électrique prétend que les ampoules ont une durée que vie