Gran parte dei suoi scritti è perduta. I codici rimasti provengono da raccolta normanna passata poi agli Svevi, agli Angiò e al papa. Manoscritti furono dapprima tradotti in latino (da Guglielmo di Moerbecke) su suggerimento di Tommaso d'Aquino (1269), poi a Roma nel '400 (tra gli altri dal Regiomontano, sulla base della cui traduzione si ebbe nel 1544 l'edizione a stampa di Basilea con testo greco e latino). 

Lo studio dell'infinitesimale parte dalle sue osservazioni, sulle quali si basa poi il lavoro di Fermat, Pascal e Newton. Nel Delle spirali dà per la prima volta la definizione di moto rettilineo uniforme e di moto circolare uniforme e si serve di una regola  per avere la somma dei quadrati dei primi n numeri naturali: basandosi su queste pagine Nepero nel 1614 arriva alla prima definizione di logaritmo. Studia per la prima volta l'area dell'ellissi, ma sopratutto  - ne Il metodo (utilizzato anche da Piero della Francesca e da Luca Pacioli) - il volume delle volte a crociera laddove utilizza metodi che si basano sul calcolo infinitesimale.  Ne "I galleggianti" oltre a definire il principio base dell'idrostatica "un corpo immerso in un liquido (o gas) riceve dal basso verso l'alto una spinta uguale al peso del liquido spostato", dà  il metodo per il calcolo "a priori" della stabilità di una nave. In "Misura del circolo" procede alla determinazione del rapporto circonferenza-raggio di un cerchio, dapprima come 3+1/7> p >3+10/71, poi con la limitazione in  decimali 3,14149> p > 3,1417.  Nel breve scritto Arenario dedicato a re Gerone affronta il tema delle grandezze finite o "archimedee"(v. riquadro). 

Tra le tante invenzioni: la coclea per sollevare l'acqua (documentata in un affresco di Pompei).

Archimede ha risolto il problema pratico-computazionale del pi greco, quello di calcolare in modo sempre più raffinato i decimali, rapportando la misura della circonferenza del cerchio alla misura del perimetro di un poligono inscritto con sempre maggiore numero di lati (era partito dal notare che il perimetro di un esagono iscritto in un cerchio è inferiore alla circonferenza del cerchio, mentre il perimetro di un esagono che circoscrive il cerchio è maggiore della circonferenza del cerchio). Tale metodo consentì di raggiungere - con Leonhard Eulero nel 1748 -  il calcolo del ventesimo decimale (14159265358979323846: oggi con i superPC si arriva anche a milioni di decimali, ma il calcolo del π serve solo a misurare i limiti di potenza del pc, non certo ad esaurire la conoscenza del π).

Ma il problema teorico della natura del numero, implicitamente sollevato dal pitagorico Ippaso quando contesta il maestro evidenziando che non esistono solo rapporti tra interi, si apre pubblicamente con la teoria dei numeri irrazionali di Eulero. Nel 1767 Johan H. Lambert dimostrò che  il π è un numero irrazionale (le cifre decimali si succedono senza interruzione, senza ripetizione, senza regolarità) e 27 anni dopo Adrien-Marie Legendre dimostrò che era irrazionale anche il quadrato del π e dunque , non essendo neanche la radice di un razionale, il π era totalmente irrazionale. Nel 1882 si ottiene (con Ferdinand Lindemann) la dimostrazione che π è  un numero trascendente (radice di un'equazione, cioè con valore algebrico: è il caso di tutti i numeri razionali e di molti irrazionali), per cui la quadratura del cerchio (problema posto da Anassagora) non ammette soluzione (nell'ambito della geometria euclidea). 

Il padre della teoria degli insiemi, Cantor, sostiene  che tutti i numeri razionali e tutti gli irrazionali algebrici  formano insiemi "numerabiuli": ovvero insiemi infiniti che possono esser posti in corrispondenza biunivoca con l'insieme infinito dei numeri interi positivi, ma i numeri trascendenti non sono "numerabili" e quindi no possono esser rapportati ai numeri interi positivi. Ci sono dunque degli insiemi infiniti di diverso ordine, descrivibili da nuovi numeri transfiniti ( i numeri cardinali), con una loro specifica aritmetica.  π appartiene a quest'insieme di numeri irrazionali trascendenti (GRECO 2002). 

grandezze archimedee - A. fu il primo a dimostrare che il numero di granelli di sabbia dell'universo - per quanto molto grande - è un NUMERO FINITO. Questa proprietà delle grandezze fu poi definita "proprietà archimedea"e si applica alle grandezze usuali (misure di spazio e tempo). Significa che "se si sommano assieme tante piccole grandezze si può sempre raggiungere anche una grandezza enorme: con un milione di cm. si raggiunge il km., con due lo si supera di gran lunga.". Ma vi sono anche grandezze che NON hanno tale proprietà. Una prima teoria in questa direzione fu costruita da Leibniz (gli " infinitesimi" che dovevano fondare il "calcolo infinitesimale"), ma tale ricerca fu abbandonata nell'Ottocento. Ripresa nel Novecento, ebbe finalmente conclusione matematica con Abraham Robinson negli anni '60.  Queste grandezze non archimedee sono presenti in matura, anche se non facilmente dimostrabili. Un esempio lo fornisce Alessandro Figà-Talamenca (su Repubblica genn. 2000 circa): una testimonianza per"sentito dire" ha valore probatorio(inteso come grandezza)? P.e. il sentito dire che il mafioso Salvo ( il quale nel frattempo era morto) vantava di esser amico di Andreotti, quanto ha valore di prova? Quante testimonianze del genere ci vogliono per dare piena prova? La risposta è che - pur avendo ogni "sentito dire" una consistenza di per sé, nessun numero di "sentito dire" è sufficiente a formare la prova che Andreotti era amico dei Salvo. Al massimo si potrà provare che Salvo diceva che era amico di Andreotti. Si tratta di grandezza non archimedea: sommando tante dicerie non si arriva a provare nessun fatto. (Le testimonianze per sentito dire sono escluse dal diritto anglosassone, mentre nel diritto romano sono accettate anche se - contraddittoriamente- devono essere "provate", il che comporta lungaggini progettuali per mettere assieme più grandezze che in realtà non sono sommabili).