REVISIÓN DE LA LEY DE PLANCK Y DE SU DISTRIBUCIÓN

Para hallar el máximo de u( l ,T  ), hay que derivar e igualar a cero, resultando la expresión:

habiendo hecho b=hc/kT . Haciendo ahora  b/l=z hay que resolver la ecuación

       que es la intersección de una exponencial con una hipérbola equilátera. Por aproximaciones sucesivas se encuentra: z=4.96515  y e^z=143.326.

Por tanto hc/klT =4.96515   y       l_maxT=hc/kz =

que es la llamada ley de Wien.

Ahora se puede simplificar la expresión de u(l,T) efectuando todas las operaciones con las constantes halladas  para l_max :

ya que el exponente de e es precisamente la z hallada. Sustituyendo  l_max  por su valor   2.898x10^-3 /T quedará:

P_max (l_max,, T)=1.719x10^-13 T⁵   J/m³ s

Para hallar la distribución relativa a la moda, hay que dividir la expresión (1) por la (2).

Aquí se sustituye hc/k por su valor y  sustituyendo en el exponente  T=2.898x10^-3 /l_max             queda.:

Si ahora se toma l_max  como unidad de medida,  quedará finalmente_

Como puede observarse, en esta expresión  la Pr es independiente de la temperatura T.

Es decir , la distribución de densidad de energía  queda establecida en una función única relativa a la moda de la distribución, empleando como unidad de medida de la longitud de onda,  la longitud de onda  correspondiente a dicha moda, definida por

  m.       junto con      P_max (l_max,, T)=1.719x10^-13 T⁵   J/m³ s

En estas condiciones a la curva de Planck (en negro), se le puede asimilar una DLN (en rojo) en este caso con concentración a=1.89. Como que en esta distribución se conoce la posición de mediana y media  y la DLN difiere poco de la de Planck, se puede determinar con bastante aproximación: Mediana =1.31. l_max   y  Media=1.515. l_{max .}

Como puede deducirse inmediatamente de la representación relativa de la curva de Planck, resulta que para cualquier temperatura, con su correspondiente  l_max,  la densidad relativa de energía para una longitud de onda igual a  k. l_{max .}  es la misma para todas las  l_{max .}  o sea para todas las temperaturas. Si la curva de distribución siguiera una ley log-normal, para longitudes de onda separadas k. l_max   y   l_max /k la densidad de probabilidad sería la misma para ambas.

Para representar la P(l,T), basta multiplicar los valores de Pr por P_max  =1.719x10^-13 T⁵   J/m³ s. En la figura inferior, se ha representado la curva para 400ºK.

La energía total será :

Etotal=      y como se hizo el cambio de variable z=l/l_max  se tiene

dl=l_max  dz  y por tanto 

         (3)

Este valor corresponde (Wikipedia) a 

Para T=400ºK resulta un valor de 1.935x10^-5  J/m3

Aplicando  los valores indicados en el gráfico de la curva de P(l,T) los que  se indican resulta:

Energía total = Area de Pr.Pmax.lmax =1.52x1.751x7.25x10^-6 =1.93 x10^-5

Que se corresponde con el valor teórico dado por la fórmula (3).

Cabe preguntarse ¿por qué  la distribución de Planck no sigue una DLN mucho más racional en su formulación que la clásica ?.

“Max Planck originally produced this law in 1900 (published in 1901) in an attempt to improve upon an expression proposed by Wilhelm Wien which fit the experimental data at short wavelengths but deviated from it at long wavelengths. He found that the above function, Planck's function, fit the data for all wavelengths remarkably well. Planck made this quantization assumption five years before Albert Einstein hypothesized the existence of photons as a means of explaining the photoelectric effect. At the time, Planck believed that the quantization applied only to the tiny oscillators that were thought to exist in the walls of the cavity (what we now know to be atoms), and made no assumption that light itself propagates in discrete bundles or packets of energy. Moreover, Planck did not attribute any physical significance to this assumption, but rather believed that it was merely a mathematical device that enabled him to derive a single expression for the black body spectrum that matched the empirical data at all wavelengths.” (De Wikipedia)

A partir de la distribución relativa de la Energía, curva Pr, se puede determinar la densidad  de probabilidad máxima. Basta calcular 1/Area de Pr =1/1.52=0.65758 y multiplicando Pr por este valor se obtiene la curva de distribución de la energía total E(l,T), que se aproxima a la distribución log-normal con  a=1.89. Se puede comprobar que si se dividen los valores  de la densidad de energía P(l,T) por el valor de la energía total  dado por la fórmula 3, multiplicando previamente por  lmax  para regularizar unidades de medida, se obtiene exactamente la misma curva  E(l,T).

Es decir, el reparto de la energía total a cualquier temperatura, es la misma para todos los valores de la longitud de onda  múltiplos por el mismo factor  de la longitud de onda correspondiente a la de energía máxima.. Parece que esta circunstancia no ha sido destacada  en ningún estudio relativo a la ley de Plank.

Queda por determinar si realmente dicha ley no se corresponde con una función log-normal, la cual era poco conocida en los tiempos en que Planck, Wien y Einstein discutían sobre la distribución de energía y encontraron la función que evitaba la llamada “catástrofe del ultravioleta”. Parece que la curva que adaptaron a los valores empíricos, no se adaptaba muy bien para valores  de poca longitud de onda, que es la zona en que más divergen la curva de Planck y la log-normal.