COINCIDENCIA DE ESTRELLLAS
EN ALINEACION VERTICAL
Por
José Mª Climent Parcet, Dr. Ingeniero Industrial
Introducción.
Estaba yo observando el cielo a ojo desnudo en mi casa de campo, cuando
me di cuenta de que dos estrellas brillantes, Vega y Deneb, se alineaban en la
vertical definida por una esquina de la
casa. Pensé entonces que este suceso ocurría todos los días a la misma
hora sidérea local. Por tanto, si por
cálculo podía determinarse la hora del suceso a partir de las coordenadas de
ambas estrellas, también podrían calcularse otros parámetros, en especial el
azimut. Con ello sería inmediata la determinación del meridiano del lugar y
quizás podrían encontrarse otras aplicaciones a éste hecho. Puesto que no
conocía ninguna referencia al respecto ni en libros ni revistas, decidí
analizar más a fondo éste tema.
Planteamiento del cálculo.
En el anexo 1, se detalla el
desarrollo del cálculo, describiéndose a continuación las bases empleadas, las fórmulas halladas , así como algunas conclusiones
generales.
Los datos conocidos son: las
coordenadas de las dos estrellas , ascensión recta A y A'; las declinaciones D y D', y la latitud del lugar L.
Aplicando las fórmulas derivadas
de las de Bessel para el cálculo del azimut y altura, a partir de los datos citados y teniendo en cuenta que:
- en el momento de coincidencia
vertical, los azimuts a y a' de ambas estrellas son iguales.
- de la simultaneidad de tiempos
sidéreos T, se tiene para los ángulos
horarios H y H' : T = H'+A '= H+A o bien
H = H' +d, habiendo hecho d = A' -A.
Las fórmulas se transforman
para determinar H'. Para facilitar los
cálculos , se hace:
llegándose a la ecuación : k. sen H' +e' cos H' =1 (1)
Si se resuelve la ecuación (1) poniendo el coseno en función del seno, se llega después de
simplificar a la ecuación de segundo grado:
m
2. sen2 H' - 2.k. sen H' + (1-e'2) = 0 habiendo hecho m2 = k2 + e' 2 o bien :
Las soluciones son, después de
simplificar:
(3)
Para comprobar como se
corresponden las dos soluciones dobles, bastará sustituir en la ecuación (1)
los valores. Se comprueba que el signo más del radical del seno se
corresponde con el menos del coseno y el menos del seno con el más del coseno. Dividiendo ambas (2)
y (3) se tiene la expresión de la tangente, la cual en función de los signos del seno y del coseno
permitirá situar la solución en el
cuadrante correcto, entre 0 y 360 º. Conocido el ángulo horario, sumándole la
ascensión recta se tendrá la hora sidérea de coincidencia vertical.
Condiciones para solución del
problema.
Tal como se puede ver a partir
de las fórmulas, el problema de
coincidencia vertical , tiene dos soluciones o ninguna. Se ha llegado a una
ecuación de segundo grado, que tiene
dos soluciones reales, una solución doble o dos soluciones imaginarias.
De las fórmulas anteriores se
deduce la condición para que haya solución:
m2 ³1 o
sea :
tg 2 D' + tg 2 D - 2. tg D'. tg
D. cos d ³ sen2 d. tg 2 L o bien simplificando
notación b2 ³ c2
condición curiosa, pues equivale
en trigonometría plana a que en el
triángulo formado por los lados tg
D' y
tg D que comprenden el ángulo d
= A'-A, el tercer lado tiene que ser mayor
o igual que sen d.tag L. Esta condición permite efectuar gráficamente
con regla, compás y transportador de ángulos, una comprobación previa en la elección de pares de estrellas.
De la misma condición anterior
se deduce que para un par de estrellas determinado, hay una latitud que
llamaremos límite, a partir de la cual no hay solución al problema, mientras
que en la latitud límite (m= ±1), la solución es doble y como se verá , en sus proximidades hay una
gran sensibilidad en la variación de la hora sidérea de coincidencia con la
latitud. La latitud límite queda pues definida
por tg L lim = b / sen d o bien
tg Llim = m . tg L.
También de la fórmula (3) se
deduce que en la latitud límite
(m=±1), cos H' = e' = tg D' /tg
L. Para que esta relación tenga
solución deberá ser tg D' £ tg Llim y como que en estas condiciones
es indiferente la estrella que se tome por referencia, también deberá ser tg D £ tg Llim. Por lo tanto, la latitud
límite sólo se puede presentar en pares de estrellas en que ambas tengan una
declinación inferior a la latitud del
punto de observación.
Como puede observarse, en el
problema no interviene para nada la longitud del punto de observación, por lo
cual en todos los puntos de la misma latitud, la coincidencia vertical
tiene lugar a la misma hora sidérea
local.
Determinación del azimut.
En el anexo 1 se determina
también el cálculo del azimut a partir de las mismas fórmulas que para el ángulo horario. La expresión que resulta es :
Si en la anterior fórmula se
sustituye el valor de cos H' encontrado más arriba para la latitud límite,
resulta que el denominador se anula, con lo que tg a = ¥ y por tanto a = ±90º. Es decir,
la coincidencia vertical en la latitud límite tiene lugar en el E o en W. Así,
la coincidencia vertical para alfa Tauro y gama Orión, con coordenadas 1980 ,
tenía lugar en el E en la latitud 41 º 31' 23". Esta coincidencia se podía
observar en Barcelona (41 º 23' ) pero no en Sabadell que está unas nueve o
diez millas más al Norte.
Si en la expresión anterior (4)
sustituimos los valores de sen H' y cos H' (2) y (3) del apartado anterior se llega después de varias
transformaciones (ver anexo II ) a la fórmula más simple:
en la cual no intervienen
variables de tiempo, ya que m depende únicamente de las coordenadas del par de estrellas y de la latitud.
En la fórmula anterior se
observa que las dos soluciones corresponden a ángulos opuestos o
suplementarios. Es decir:
Los azimuts de las dos
soluciones de coincidencia vertical suman o 0º o 180º. Ello es válido también en la
latitud límite, al ser la solución doble.
Nueva formulación del azimut .
A partir de la fórmula (5) se
van a hacer algunas transformaciones que permitirá encontrar propiedades
interesantes de la coincidencia vertical de estrellas y nuevas formas de
cálculo.
Primeramente y para simplificar
las notaciones , se hace m2 = b2 / c2 siendo c = sen d . tg
L y
b2 = tg 2 D' + tg 2 D - 2. tg D' . tg D cos d .
Por tanto m2 - 1 = (b2 - c2 ) / c2
1 b2 - c 2
De la expresión (5) se
tiene: m 2 - 1 =
------------------------- = --------------------- de donde sustituyendo
tg 2 a . sen 2 L c2
el valor de c, queda:
sen 2 d sen 2 d
b2 - sen2 d . tg 2 L = ----------------
y b2. cos2 L - sen 2 L. sen 2 d = -----------------
cos 2 L . tg2 a tg 2 a
1 sen 2 d
y cos 2 L ( b2 + sen 2 d ) = sen 2 d . ( 1 + ------- ) =
-------------- y por lo
tanto :
tg 2 a sen 2 a
(6)
habiendo hecho
Si a = 90º se está en la latitud
límite y por tanto como sen a = 1
será z = ± cos L lim.
Es decir, se ha hallado una
relación importante: sen a. cos L
= ± cos L lim.
Para
un par de estrellas, el producto del seno del azimut de coincidencia vertical
por el coseno de la latitud del punto de observación, es constante e igual al coseno de la latitud límite.
De la fórmula (6) se pueden
sacar algunas consecuencias:
1ª ) Por definición siempre es
z £ 1.
2ª ) Por tanto, como sen a £ 1 , para que haya solución
deberá ser cos L ³cos L lim y por tanto L ³ L lim
3ª ) Una vez determinado el azimut de coincidencia vertical de un par
en una latitud, se puede determinar la latitud límite así como el azimut en
cualquier otra latitud.
4ª) Si se tiene determinada la meridiana, midiendo el azimut se puede
calcular la latitud.
El azimut del par en el Ecuador, con L=0 y cos L =1 será sen a = cos L lim , es decir a
y L lim son complementarios. Por lo tanto,
la latitud límite es el ángulo complementario del azimut del par en el
Ecuador, o bien el azimut en el ecuador
es la colatitud límite.
Se pueden determinar
gráficamente estos ángulos construyendo un triángulo rectángulo de catetos sen
d y b.
La hipotenusa será
Como que cos L. sen a = z = Cte.
se puede trazar un haz de hipérbolas equiláteras que dará los valores de cos L
y sen a para distintos valores de z, curvas que habrá que limitar en la latitud
lími
También es interesante ver, diferenciando a partir de (6), que
En las proximidades de la latitud límite sen a
tiende a 1, permaneciendo z menor que sen a. Pero como tg a tiende a
infinito. una pequeña variación de latitud dará lugar a una gran variación de
azimut. Así por ejemplo, si z= 0,5,
para 88 º de azimut da /dL
=50 , es decir a un desplazamiento de un segundo en latitud, corresponderían 50
segundos de azimut, (si los segundos se pudieran considerar infinitésimos ) y
para 89º la relación es de 99 . Por lo tanto, aunque el azimut de una
coincidencia vertical esté algo apartado
del punto E u W, en un corto desplazamiento hacia el N se podrá ver la
coincidencia en latitud límite en el E u W exactos.
Aplicaciones prácticas.
Determinación
del meridiano de un lugar.
Habiendo
calculado previamente el azimut de coincidencia vertical para un punto de
latitud conocida, basta observar el momento de coincidencia vertical y medir el ángulo correspondiente
para situar el meridiano. Aunque no se
disponga de instrumentos, también es posible situar el meridiano con un simple
reloj o cronómetro. Efectivamente, si en tablas de coordenadas estelares se
encuentra una estrella cuya ascensión recta sea relativamente próxima y
menor que el tiempo sidéreo de coincidencia, basta esperar la
diferencia de tiempo ( previa corrección de intervalos de tiempo sidéreo a
tiempo universal) en cuyo momento la tercera estrella pasará por la meridiana.
Además, por medirse diferencias de tiempo, no es preciso que el reloj marque la
hora exacta.
Determinación
de la longitud de un punto.
Si se puede
medir la coincidencia vertical con suficiente precisión, será fácil determinar
la longitud del punto de observación, ya que se conoce la hora sidérea local
por el cálculo de la coincidencia, la hora el suceso en tiempo universal ( con
un reloj que marque correctamente) y mediante tablas se puede saber la hora
sidérea en Greenwich. La diferencia de tiempos sidéreos dará la longitud del
punto, después de la corrección pertinente de tiempo universal a sidéreo.
Determinación
de la latitud.
La
aplicación más interesante del método de la coincidencia vertical de pares de
estrellas, podría ser la determinación de la latitud del punto de observación,
de un modo quizás más simple que otros métodos como el de las observaciones de
la polar. En efecto, si se determinan los tiempos sidéreos de coincidencia en
vertical de dos pares de estrellas para diferentes latitudes, se observa
que la diferencia de tiempo entre las dos coincidencias varía con la latitud. Así, para los pares Alderabán- Bellatrix y
Vega - Deneb, a 40º de latitud la diferencia de tiempos es de 1 h. 44 m. 40 s.,
mientras que a 41 º la diferencia es únicamente de 1 h. 26 m. 45 s. y a 41,5 º la diferencia se reduce a 59 m. 7
s.
Aunque no
existe proporcionalidad entre
diferencias de tiempo y diferencias de latitud, existen otros pares
(ver tablas anexas) en los que se puede
admitir la proporcionalidad entre pequeños intervalos. En cualquier caso, con
un ordenador se pueden construir tablas
con relativa facilidad y por lo tanto,
disponiendo de ellas y efectuando las observaciones de coincidencia vertical con precisión, se
podrá determinar la latitud. Incluso por medirse diferencias de tiempo, no es
preciso conocer la hora de los acontecimientos. Hay que señalar que la falta de
proporcionalidad indicada, se acentúa en las proximidades de la latitud límite.
Determinación
de la posición.
Si por el
procedimiento anterior se ha determinado la latitud, acudiendo a las tablas se
podrá conocer la hora sidérea local de alguna de las dos coincidencias
verticales y por tanto, si con un reloj que marque correctamente se sabe la
hora del suceso en tiempo universal, se
podrá determinar la longitud tal como ya se ha indicado anteriormente.
Es decir,
con tablas, un reloj y por ejemplo una plomada, se puede determinar la posición
geográfica de un punto, mediante la observación de dos coincidencias verticales
de dos pares de estrellas.
Determinación
de la latitud y posición.
A partir de
la fórmula (6) se puede determinar la
latitud de un punto si se conoce la línea meridiana. Para ello basta medir el
azimut de una coincidencia vertical y aplicando la fórmula, despejar cos L.
Sin embargo, a continuación se verá que por diferencia de azimuts de dos
coincidencias verticales, se puede determinar la latitud sin conocer la meridiana y sin mediciones de tiempos.
De la
fórmula (6) se tiene: sen a = z / cos
L y para un segundo par de estrellas, sen a' = z' / cos L .
Se tiene :
cos ( a' - a) = cos a' .cos a + sen a' . sen a Sustituyendo los valores de los senos y poniendo los cosenos
en función de los senos quedará:
Haciendo
para simplificar las notaciones x = cos 2 L , se tiene:
Después de
desarrollar y simplificar se llega a la
expresión final:
y por lo
tanto
Obsérvese la
analogía de la expresión anterior, con la ya hallada anteriormente para la
latitud límite: z y z' son los lados de un triángulo plano que forman un ángulo
a'-a y tienen por lado opuesto cos L . sen (a'-a).
Si además
queremos determinar la longitud, habrá que medir el tiempo en que sucede una de
las dos coincidencias y comparar con el teórico calculado para la coincidencia
vertical, a partir del conocimiento de la latitud.
Por lo
tanto, se ha determinado la latitud y longitud, es decir la posición.
Determinación
de la vertical.
La esquina
de una casa o edificio, puede servir de forma aproximada, aunque la
rugosidad de la obra, si es acentuada
puede ser un inconveniente para tener una buena precisión en la observación.
Usando una
plomada con hilo algo grueso, se puede obtener una mayor precisión, aunque lo
ideal seía usar un teodolito o un telescopio en posición azimutal, siendo mayor
la precisión si el ocular está provisto de retículo.
El
acoplamiento de un dispositivo complementario a los aparatos, permitiría una
gran precisión. Se trata de situar frente al objetivo o boca del telescopio, un
espejo o prisma con giro alrededor de un eje horizontal, de forma que permita
reflejar al interior del telescopio, la imagen de una de las estrellas (la de
mayor altura), mientras se enfoca la otra, siempre que se trabaje con estrellas brillantes, ya que en
este caso no se necesita mucha superficie de reflexión. Con ello se puede
conseguir ver las imágenes de ambas estrellas casi superpuestas, unos segundos
antes de la coincidencia vertical. A partir del momento de tener ambas
estrellas en el campo del ocular, se ajusta bien el espejo y se efectúa el
seguimiento hasta la coincidencia en el retículo vertical.
Coincidencia
vertical en el Ecuador.
Las fórmulas
empleadas hasta ahora no sirven para el Ecuador, ya que tg L =0 y al aparecer
en el denominador, no son posibles algunos cálculos.
Sin embargo,
a partir de las fórmulas de Bessel se tiene para L =0:
cos h. cos a= -sen D
cos h. sen a= cos D. sen H
Por tanto:
tg a = - senH /tg D y también tg a= - sen H' /tg D' para la
segunda estrella , por lo cual:
sen H = sen H' . tg D/ tg
D' y como H = H'+d, sustituyendo y
desarrollando se llega a:
sen d. tg D'
tg H' = -
---------------------------
tg D' .
cos d- tg D
Sensibilidad a variaciones de los datos de base.
En la tabla 6 se
indica a título orientativo y para dos pares de coincidencias, las
sensibilidades a las variaciones de los datos iniciales. Puede observarse que la
ascensión recta es la medida que necesita más precisión.
En los cálculos efectuados en el
presente escrito, se han utilizado las coordenadas tomadas del Anuario del Observatorio de Madrid para 1980, sin corrección por precesión ni otras,
ya que se dan los cálculos únicamente a título de ejemplo. La influencia de la
corrección se ha calculado también en esta tabla para dos pares: alfa Tauro- gama Orión y alfa Orión-
gamma Géminis. Como puede observarse, la corrección (para 1993) afecta mucho más al primer par, el cual se halla
próximo a la latitud límite.
Datos orientativos.
Hay varios grupos de estrellas brillantes que se prestan bien a
observaciones de coincidencia vertical. Lo ideal es recurrir a estrellas
circumpolares, que tienen dos soluciones observables, aunque son útiles otros
grupos si se quiere tener una variedad de horarios a lo largo del año.
Nota final.
En la revista "Crónica de
la Técnica" en su número 3, se publicó la siguiente nota:
"Instrumento
egipcio de observación astronómica"
Hacia 2.500 A.C, para poder
hacer con precisión las observaciones de las cuales depende la vida litúrgica,
los sacerdotes utilizaban un instrumento sencillo de medición denominado merkhet
, consistente en un nervio de palmera hendido en su extremo más ancho. La
hendidura se coloca cerca del ojo y el observador mira en dirección a una
plomada sostenida por otra persona, sentada a cierta distancia del observador;
la plomada está suspendida de una reglilla sostenida horizontalmente. El
merkhet se utiliza para la observación de las estrellas y para determinar la
hora durante la noche."
¿ Aplicarían los egipcios un
método parecido al descrito?
Sant Cugat 1998